（应用数学专业论文）动力系统中的同宿轨问题.pdf

h o m oc l i n i co r b i t so f d y n a m i c a ls y s t e m s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f b rt h ea c a d e m i cd e g r e eo fd o c t o ro fs c i e n c e b y d i n gj i a n s u p e r v i s e db y p r o f e s s o rx uj u l l ) 【i a n g d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y m a y2 0 1 0 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 研究生签名：盈 日期：研究生签名： j 业 日期： 进q 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理 研究生签名：_ 三二i 二建 一各蛔 嘲掣 动力系统中的同宿轨问题 研究生丁建导师：徐君祥教授 东南大学 摘要：本文研究了动力系统中同宿轨的存在性问题，包括二阶系统，h a m i l t o n 系统和 d i r a u c 方程在一些新的或更宽泛的条件下我们得到了上述问题同宿轨的存在性，主要内 容安排如下： 第一章叙述相关研究工作的背景与发展概况，并概述本文的主要工作 第二章研究了带有超线性或渐进线性非线性项的非周期二阶系统我们应用变分法 考虑这一问题，为了克服紧性缺失的困难，我们首先研究了与此问题相关的一列零边值问 题的解，然后证明原问题的解即为此列解的极限 第三章研究带有超线性非线性项的二阶系统的偶同宿轨，我们不做周期假设借助于 定义在某个偶函数空间上的一列零边值问题的解，我们逼近原问题的解 第四章考虑渐近线性二阶系统的同宿轨，系统是非周期的，允许出现共振情形，利用 推广的山路定理，我们得到了多个同宿轨 第五章研究超线性周期h a m i l t o n 系统，这里。可以是算子一歹枭+ l 的连续谱，这给 紧性条件的验证带来很大的困难，而且由于这里考虑的问题是强不定的，经典的临界点理 论不再适用我们应用最近得到的弱环绕定理研究这一问题，得到了同宿轨的存在性 第六章考虑超线性非周期h a l i l t o n 系统，系统是强不定的借助于与此系统的极限 方程相关的辅助系统和某个抽象的环绕定理，我们成功验证了紧性条件，从而得到了原 问题的解 第七章考虑非周期d i r a u c 方程的稳态解，方程也是强不定的我们这里考虑一类更一 般的位势和超线性项，我们用约化方法研究原方程的极限方程，由于我们直接分析约化 泛函，证明过程更加简洁 关键词：同宿轨，变分法，h 锄i l t o n 系统，d i r a u c 方程，强不定问题 h o m o c l i n i co r b i t so fd y n a m i c a ls y s t e m s s t u d e i l t ：d i n gj i a n i l l t o r ：p r o f e s s o rx uj u n x i a n g s o u t h e 鹊tu n i v e r s i t y a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n c e r 璐w i t ht h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t si i ld y n a m i - c 出s y s t e m s ，i n c l u d i n gs e c o n do r d e rs y 8 t e m s ，s t r o n yi n d e f i n i t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s 趾dd i r a c e q u a t i o i l s u n d e rs o m en e wo rm o r eg e n e r a lc o n d i t i o n s ，w eo b t a i nh o m o c l i i l i co r b i t so ft h ea b o v l e p r o b l e 珈i s i nt h ef i r s tc h a p t e rw er e 、r i e ws 咖e 删o p m e n to ft h er e l a t e dp m b l e m sa n ds m 玎m 撕z e t h em a i nw o r ko ft h ep r e s e n td i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，、) l ，es t u d yh o m o c l i n i co r b i t sf o rs o m en o n p e r i o d i cs e c o n do r d e rs y s t e mw i t h a s y m p t o t i c a l l yl i n e a ro rs u p e rl i n e a rn o n l i 删t i e s w 色c o n s i d e rt h i sp r o b l e mv i av 撕a t i o n a l m e t h o d s t bo v 凹c o m et h ed i m c u l t yi n d u c e db yt h el 翻ko f m p a c t n e s s ，w ef i r s tc o n s i d e ra c e r t a i ns e q u e n c eo fn i l - b o u n d a w - 、赳u ep r o b l e m 8r e l a t e dt ot h es e c o n do r d e rs y s t e m o n eh 0 - m o c l i i l i co r b i to ft h es e c o n do r d e rs y s t e mi so b t a i n e da sah m i to ft h i ss e q u e n c eo fs o l u t i o 璐 i nc h 印t e r3 ，w ec o i l s i d e rt h ee ) 【i s t e n c eo fe v e nh o m o c l i n i co r b i t sf o rs o m es e c 伽【do r d e r s y 8 t e mw i t has u p e rl i n e a rn o n l i n e 撕t y - h e r et h e8 y 8 t e mi s n tp e r i o d i c b yv i r t u eo fs o l u t i o 璐 o fas e q u e n c eo fn i l b 伽【i l d a r y v a l u ep r o b l e m sd e f i n e d0 ns o m ee v e nf u n c t i o 璐s p a c e ，r e 印p r 假一 i m a t et h eh o m o c h i l i co r b i to ft h i ss y s t e m c h a p t e r4c o n c e r l l sw i t ht h ee ) c i s t e n c e0 fh o m o c l i n i co r b i t sf 研s o m ea s y m p t o t i c a l l yl i n e a r s e c o n do r d e rs y s t e m t h es y s t e mi sn o n p e r i o d i ca n da 1 1 删t ob e 嗍a n t b yv i r t u eo fs o m e g e n e r a l i z e dm o u n t a i np a s st h e o r e m s ，w e0 b t 面nm u l t i p l eh o m o c l i i co r b i t so ft h i ss y s t e m c h 印t e r5d e a bw i t hs o m ep e r i o d i ch 锄i l t o n i a ns y s t e mw i t has u p e rl i n e a u ri l o n l i 删t y h e r eoi sa u 砌t ob e l o n gt o ( 一了爰+ l ) ，w h i 出b r i n g sm u 也d i 伍c l d 够t oc h e c kt h ec o m p a c t n e 鹃c o n d i t i o n m o r 帆r ，s i n c et h ep r o b l e mc o n s i d e r e dh e r ei ss t r o n g l yi i l d e f i n i t e ，t h ec l a 骚i c a l c r i t i c 出p o i n tt h e 0 巧i s n t 印p h e d w | es t u d yt h i sp r o b l e mb yv i r t u eo fs o m er e c e n t l yd e v e l o p e d w e a kl i n k i n gt h e o r e ma n do b t a j no n eh o m o c l i n i co r b i t i nc h 印t e r6 ，w ec o i l s i d e rs 0 1 u t i o 璐0 fs o m en o n p e r i o d i ch 锄i l t o n i a ns y 8 t e mw i t has u p e r l i n e a rn o n l i n e 盯蚵n ep r o b l 锄i ss t r o n g l yi n d e 五n i t e b y 、，i r t u eo fs o m e 籼( i l i a r ys y s t e m 融 l 曲e dt ot h e l i m i te q u a t i o n ”o ft h eh a 1 i l t o n i 趾s y s t e ma n ds o m ea b s t r a c t1 i n l 【i n gt h e o r 锄，w e m a n a g bt oc ：h e ( 教t h ec o m p a c t n e s sc o n d i t i o n 柚dt h e no l b t a i no n es o l u t i o n 一 l t h el a s tc l l 印t e rc o n c e m sw i t ht h es t a t i o n a 珂s 0 1 u t i o 璐o fn o n p e r i o d i cd i r a u ce q u a t i o n s t h e p r o b l e mi sa l s os t r o n 酉yi n d e 矗n i t e w - ec o n s i d e rh e r es o m em o r eg e n e r a l lp o t e n t i a la n ds u p e r l i n e a rn o n l i n e a r i t y w bs t u d yt h e “l i m i te q u a t i o n o ft h ed i r a u ce q u a t i o nb yar e d u c t i o np r o - c e d u r e h e r ew ep r 嘶d eam o r ec o n c i s ea r g u m e n tb yd i r e c t l ya n a b z i n gt h er e d u c t i o nf h c t i o n a l h o m o c l i n i co r b i t ，v a r i a t i o n a lm e t h o d s ，h 锄i l t o n i a ns y 8 t e m ，d i r a ce q u a t i o n ， s t r o n 舀yi n d e f i n i t ep r o b l 锄 二-、0 r，、 1 2 1 3 第二章 2 1 2 2 2 3 第三章 3 1 3 2 第四章 弘1 4 2 4 3 4 4 第五章 5 1 5 2 5 3 5 4 第六章 6 1 6 2 6 3 6 4 目录 前言 1 变分法与临界点理论简介 1 强不定问题简介 6 本文的主要工作1 0 一类超线性或渐进线性非周期二阶系统的同宿轨 1 7 引言1 7 基本假设和主要结果1 7 主要定理的证明1 9 一类超线性非周期二阶系统的偶同宿轨 2 7 基本假设和主要结果2 7 主要定理的证明2 8 一类渐进线性非周期二阶系统的多同宿轨 3 4 引言。3 4 基本假设和主要结果3 5 两个推广的山路定理3 6 主要定理的证明3 7 一类周期h 锄i l t o n 系统的同宿轨 4 3 引言4 3 基本假设和主要定理4 4 变分框架4 5 主要定理的证明4 8 一类非周期h 锄i l t o n 系统的同宿轨 5 7 引言 5 7 基本假设和主要结果5 8 变分框架5 9 辅助问题一极限方程6 1 j v 6 5 主要结果的证明6 7 第七章一类非周期d i r a c 方程的稳态解 7 5 7 1 引言 7 5 7 2 基本假设和主要结果7 7 7 3 变分框架7 9 7 4 辅助问题一极限方程8 0 7 5 主要定理的证明8 8 参考文献 附录一攻博期间完成论文列表 附录二致谢 9 7 1 0 2 1 0 3 第一章前言 1 1变分法与临界点理论简介 变分法有着极为丰富的应用背景，从经典力学到场论，其中研究的一切物质的运动规 律都遵循咬分原理，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程是它的e u l e r 方程因此， 求这些e u l e r 方程的解便可化归为求其对应泛函的临界点 古典变分原理旨在确定泛函的极值和极值点，其起源于d i r e c h l e t 原理，即求d i r e c h l e t 问题 札( z ) = o ， z q 乱( z ) = ( z ) ， z a q ( 其中qcr 2 是一有界开集，= 警1d ；是l a p l a c e 算子， ：a q 一酞是一给定函数) 的 解可转化为在某一特定函数空间上求下述d i r e c h l e t 积分 聊) = 上陬1 2 d z 的极小值点但是，上述积分的极小值点的先验存在性很长一段时间并不为正确的推理所 支持，直到a r z e l a 【l 】和h i l b e r t 【2 】的工作发表他们的工作不但证实了d i r e c h l e t 原理，而 且使得由此产生的极小化序列方法连同上世纪初意大利数学家t o n e l l i 系统发展起来的泛 函下半连续的概念，共同构成了变分理论直接方法的基础 直接方法对于研究泛函非极值点的临界点是无能为力的，这促进了以拓扑学知识为 主要工具的大范围变分法的产生和发展早在上世纪二三十年代m o r s e ，l u s t e m i c l ( 和 s c h n i r e l m a n 就开始用紧流形自身的拓扑不变量来估计其上函数临界点的个数，这就是最 初的m o r s e 理论及l l l s t e m i c k _ s c h n i r e l m 锄重数定理( 【5 2 】，【5 0 】) ，但上述理论在相当一段时 间内对多数分析问题却难以应用上世纪六十年代，p a l 撕s 和s m 以e ( 【5 8 】， 6 0 】，【6 6 】) 将m o r 8 e 理论推广至无穷维硒e m a n 流形上，r d t h e 特别在h i l b e r t 空间上推广了m o r s e 理论，见【6 1 】 p a l a l i s e 也将l u s t 咖i 出s c h n i r e l m a n 重数定理推广至无穷维b a n a c h 流形，其引入畴数这个 拓扑不变量来构造子集族，利用极小极大方法以得到泛函的多个临界点由于畴数的计算 比较困难，定理应用起来并不方便，为此，有数学家引入紧拓扑群的指标来代替畴数得到 了相应的重数定理由于一些特殊紧群( 如z 2 群，s ，群等) 的指标便于计算，这为重数定 理广泛应用到分析问题提供了便利为了应用方便，我们这里引述一个b a n a c h 空间上的 2东南大学博士学位论文 较为一般的l u s t e n ，i c k - s c h n i r e l i i l 缸重数定理( 见【5 5 】) ，其对应的z 2 指标( 亏格) 的形式最 早是由c l a r k 【1 5 】给出的，相关的工作也可见【l 】 l u s t e r n i c k - s c h n i r e l m a n 重数定理 在叙述定理之前，我们先来介绍几个相关概念 定义1 1 1 群的表示设g 是一拓扑群，g 在b 肌n c 九空间x 上的表示是一族线性算 子 t ( 9 ) ) 蚱g ，其中的每个算子t ( 夕) ：x _ x 满足 t ( 0 ) = ，d ， t ( 9 1 + 9 2 ) = t ( 9 1 ) t ( 夕2 ) ， ( 9 ，让) _ t ( 9 ) 让连续 如果对所有9 g 和牡x 有l i t ( 9 ) u 0 = l i u 0 ，则称表示 t ( 9 ) 9 g 是等距的 定义1 1 2 不变子集acx 称为x ( 在群表示下) 的不变子集，如果对所有9 g ， t ( 9 ) a = a 定义1 1 3 等变映射x 的两个不变子集间的映射r 称为( 在g 的表示下) 等变的， 如果对所有9 g 有r ot ( 9 ) = t ( 夕) o 冗 定义1 1 4 指标设表示b 肌口曲空间x 中一切t ( g ) 不变的闭子集的全体日表 示x 到自身的一切t ( g ) 等变的连续映射的全体映射i ：_ z + u + o 。) ( z + 表示非负 整数集) 称为是一个t ( g ) 指标，如果下列条件成立； ( 1 ) i ( a ) = 0 车今a = o ； ( 2 ) ( 单调性) v a ，b ，acb = 令i ( a ) i ( b ) ； ( 3 ) ( 次可加性) i ( a u b ) i ( a ) + i ( b ) ，b ； ( 4 ) ( 超变性) i ( a ) i ( ( a ) ) ，v ( a ，| 1 ) 日j ( 5 ) ( 连续性) v a ，若a 紧，则存在a 的一个邻域，使得aci 秕( ) c ，满足 ( ) = ( a ) 设妒是b a i l a c h 空间x 上的实连续泛函， t ( 9 ) ) 蚱g 是紧拓扑群g 上的等距表示对 歹l ，定义 = a c x 是紧不变集，i ( a ) 歹) 第一章前言 3 以及 显然， c + 1 0 2 ) ，因此 勺。般擎妒 一o 。c 1 c 2 一o o ，则勺是妒的临界值而且，如果对某个 七歹，勺= 吼，则 i ( 琏；) 七一j + 1 ， 其中是临界值为勺的临界点的集合 进入上世纪七八十年代，变分理论又取得了重大进展，一方面上述理论在微分方程问 题中得到了更广泛的应用另一方面，极小极大方法取得了新的理论突破，特别是山路引 理的提出引出了一系列的极小极大定理，这些定理可以处理既无上界也无下界的泛函的 变分问题，因此得以迅速而又广泛的应用，在超线性椭圆边值问题，超线性弦振动的周期 解问题以及h 锄i l t o n 方程组的周期轨道问题的研究中取得了很有意义的结果为了比较 自然地介绍本文的工作，我们首先简要回顾一下极小极大原理的相关知识，详细内容请参 考【8 0 】 极小极大原理 设x 是一b a n 础空间，妒c 1 ( x ，r ) ，记妒的临界集为k ，即k = z x ，( z ) = 0 记蠡，c = z x ，妒( z ) = c ，妒n = z x ，妒( z ) n ，矿= z x ，妒( z ) c ) ，妒：= 妒6nt 阢，矿 称为妒的水平集 极小极大原理的依据是形变引理，即若函数妒在两个不同的水平集之间没有临界点， 那么在一定条件下，其中的一个水平集便可以形变收缩到另一个去，也就是说妒具有下 述的强收缩性质或形变性质 定义1 1 5 强收缩性质设妒c 1 ( x ，酞) 满足妒( k ) 是闭集并且v 口，6 r ，n 6 ，如 果kn 妒一1 b ，6 】= 毋蕴含了v c ( n ，6 ) ，j 叩：【0 ，l 】x x 连续，满足 7 7 ( 0 ，) = ，妇，( 1 1 1 ) ，7 ( t ，) l 俨= ，如，( 1 1 2 ) 4东南大学博士学位论文 则称妒满足强收缩性质 ，7 ( 1 ，矿) c 矿， 妒( 叼( t ，z ) ) 妒( z ) ，v ( ，z ) 【o ，1 】x ， ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 定义1 1 6 形变性质设妒c 1 ( x ，r ) 满足妒( k ) 是闭集并且，6 r ，o n ，使得 s 哆妒( z ) q ， ( 1 1 9 ) 2 a q 始妒( z ) p ， ( 1 l 1 0 ) 则有下列环绕定理 5 定理1 1 3 ( 环绕定理【8 0 】) 设x 是一个b 口佗o c 危空间妒c 1 ( x ，r ) 满足( 1 1 9 ) ，( 1 1 1 0 ) ， 并且在妒一1 ( q ，o o ) 上满足( p s ) 条件如果s u q 妒( 功 0 时，c = i i 如r s u p t 【o ，1 1 妒( ( ) ) 是妒的临界值，且c 乜，其中 f = c ( 0 ，1 1 ，x ) ： ( o ) = 口， ( 1 ) = z o ) 1 2 强不定问题简介 尽管上述环绕定理在微分方程问题中已经取得了相当广泛的应用，可以用以处理既 无上界也无下界的泛函的变分问题，但它们却并不适用于一类更为复杂的问题，即强不 定问题 定义1 2 1 强不定问题考虑方程 a 牡= v 皿( 仳) ，t 日( 1 2 1 ) 其中日是历舭付空间，a ：日) d ( a ) 一日是自共轭算子，v 皿：日) d ( a ) 一日是非线 性梯度映射问题( 1 2 1 ) 称为强不定的，如果啦( a ) ：= 盯( a ) n r 士都是无穷集合，这里 r 一= ( 一o o ，o ) ，r + = ( 0 ，o 。) 根据a 的谱结构，日有正交分解 日= 日一0 俨0 日+ ，t 正= u 一+ u o + t 正+ 使得a 1 日一 o ，日o = 七e r ( a ) 令e = d ( 川 ) ，赋予范数 萨( 猢备+ 备) 5 ， 则e 是一h n b e r t 空间，有正交分解 e = e 一0 伊。矿，e 士= en 日士，伊= 俨 由于盯士( a ) 是无穷集，d i m ( e 士) = 。o 定义泛函：圣：e _ r ， 西( t 1 ) ：= 三( o t 上+ o 刍一o t 正一l i 刍) 一皿( u ) 第一章前言 则圣的临界点对应( 1 2 1 ) 的解 由于问题( 1 2 1 ) 是强不定的，变分泛函的所有临界点有无穷大的m o r s e 指标，因此 m o r s e 理论不再适用而且，对此类强不定问题，( p s ) 条件一般是不成立的另外，由于 梯度算子v 圣不能表示成恒等+ 紧映舯的形式，这使得应用之前的临界点理论讨论 不同流形间的相交敦问题变得非常困难为了克服上述困难，【1 3 1 推广了之前的环绕定 理他们引入了( p s ) c 条件，( c ) ) 。条件，( p s ) 吸引子，( c ) 。吸引子等较弱的紧性条件 来代替( p s ) 条件 7 定义1 2 2 ( p s ) c 条件列( 牡n ) 称为泛函圣的一个( p s ) 。列如果西( t l n ) 一c ，l i 西7 ( 让n ) 0 _ o 若西的任一s ) 。列有一收敛子列，则称圣满足( p s ) 。条件 定义1 2 3 ( c ) c 条件列( u n ) 称为泛函圣的一个( c ) 。列如果西( 仳n ) _ c ，( 1 + u n ) i l 圣7 ( ) 0 _ 0 若圣的任一( c ) c 列有一收敛子列，则称西满足( c ) c 条件 记西! ：= 珏l n 圣( ”) 6 ) ，集合a 的e 邻域记为阢( a ) 定义1 2 4 ( p s ) c 吸引子集合ace 称为一个( p s ) 。吸引子如果v ，6 o 和( p s ) c 列，存在礼o n ，使得当几伽，仉( an 圣：；) 定义1 2 5 ( c ) 。吸引子集合ace 称为一个( c ) 。吸引子如果v ，6 o 和( c ) 。列， 存在伽n ，使得当n 伽，阢( an 西2 ；) 为了克服相交数的困难，b a r t s c l l 和d i n g 引入了个非距离空间g a g e 空间，其 上的拓扑由“弱拓扑+ 范数拓扑构成在此空间上建立了l i p s c h i t z 单位分解，研究了与 泛函的向量场有关的常微分方程解的存在唯一性，从而在g a g e 空间上建立了形变，得到 了几个比较深刻的极小极大定理为了应用方便，我们简要回顾这一结果，详细内容请参 考【1 3 】 设e = xoy 是一b a n a c h 空间，其中x 是可分且自反的子空间，scx + 稠v 5 s ， 定义半范数 p s ：e _ r ，p 。( 仳) = l s ( z ) l + i i y i f ，让= z + ! ， 以记其诱导拓扑 对一局部凸的拓扑空间z 的子集a ，记l ( a ) ：= ；丽可为包含a 的最小闭线性子空 间，记a a 为a 在l ( a ) 中的边界对线性子空间fcz ，记a f ：= anf 令j ：= 【0 ，1 】 8 东南大学博士学位论文 定义1 2 6 有限环绕两个子集q ，scz 满足s n a q = o ，称q 与s 是有限环绕的，如 果对任一有限维线性子空间fcz 满足f n s 0 ，以及任一连续形变 ：j q f f + l ( s ) 满足对所有仳， ( o ，让) = 牡且 ( ，a q 尸) ns = o ，有 ( t ，q p ) ns d ， 回到前述强不定问题，对上述定义的泛函圣：e r ，如果q ，sce ，q 与s 有限环 绕，我们定义映射族 r q ，s ：= 九c ( j q ) ： 满足下述( 1 ) 一( 蚝) ) ( 九1 ) ：，( q ，露) _ ( e ，五) 连续； ( 2 ) 对u q ， ( 0 ，缸) = 牡； ( b ) 对所有t j ，u q ，西( ( t ，让) ) 西( u ) ； ( 地) ( ，a q ) ns = 曰； ( h 5 ) 每个( t ，u ) f q 有一孓开邻域使得集合 一 ( s ，u ) ：( s ， ) wn ( j q ) 含于 e 的一个有限维子空间中 定理1 2 1 抽象的环绕定理【1 3 】若圣满足 ( 西o ) 西c 1 ( e ，r ) ，西：( e ，墨) _ r 上半连续，对每个n r ，圣：( 亚o ，乃) 一( 矿，瓦) 连续 设q ，sce 满足qs 一紧，q ，s 有限环绕若s u p 圣( a q ) i n f 西( s ) ，则对 c ：= 。j 碧f s u p 圣( ( 1 ，牡) ) 【i n f 西( s ) ，s u p 圣( q ) 】 _ l i 。口，st 上q 存在一( p s ) c 列如果c = i n f 西( s ) 且如果对所有j o ，集合妒：= 札e ：掘咖( u ，s ) 6 是s 闭的，则存在一( p s ) c 列( 牡n ) 满足依范数让n _ s 为了得到圣多临界点的存在性，需要假设圣满足某种对称性，即存在群g 的作用， 使得圣在g 的作用下是不变的除了( 圣o ) ，我们还假设 ( 西1 ) 圣是g 不变的； ( 圣2 ) 存在r o ，使得七：= i n f 圣( s y ) 圣( o ) = o ，这里s y ：= 矽y ：l = r ) ； ( 圣3 ) 存在有限维g 不变子空间殇cy 和r r ，使得对岛：= x 殇和b o ：= 牡马： l r ) ，我们有6 ：= s u p 圣( 肠) 以及s u p 圣( 岛岛) ，使得对取：= 牡x k ： 第一章前言 9 l ) 我们有s u p 西碥) o ，使得对所有u 西：，i ，y i l 辟札1 1 定理1 2 3 如果圣满足( 西o ) ，( 圣1 ) ，( 圣2 ) ，( 西4 ) ，且对任一紧区间，c ( 0 ，o o ) ，圣满足( 圣班 则垂有一无界的临界值列 上述抽象的环绕定理虽然减弱了泛函对紧性条件的要求，但即使是这些减弱的紧性 条件，如( p s ) c ，( c ) 。条件，在实际应用中验证起来也不容易，主要困难之一是( p s ) 。列 或( c ) 。列的有界性难以验证另外，上述定理并不适用于。是a 的本质谱的强不定问题 ( 1 2 1 ) 最近，s c h e t h t e r 和z o u 在【7 1 】中提出了个新的环绕定理，这一定理允许我们先研 究一列逼近问题西a ，入【l ，2 】( 初始问题对应入= 1 ) 对几乎每个a 【l ，2 】，可以得到西a 的 一个有界( p s ) 列利用单调性，我们可以找到一列 h ) 和 伽n ) 使得a n _ 1 ，圣i 。( 叫n ) = o 且圣h ( ) d 由于 叫n ) 由西a 。的临界点组成，其有界性可以被验证，这样就降低了验 证紧性条件的难度而且，这一定理也可以用来处理。是本质谱的情形下面我们简述这 一结果 设e 是一h i l b e r t 空间，其上的范数为i | 1 i e 有一直和分解e = o m ，其中ce 是 闭的可分的子空间由于可分，我们可以定义一个新范数 满足叫i ，v z ， 使得由此范数导出的拓扑在的有界集上等价于其弱拓扑对名= 口+ t t ，e ，u ， 叫m ，我们定义乞= 川乏+ 1 1 2 ，则 i ，比e 特别地，如果锄= + 是 | 1 有界的且在范数l i 意义下，钿一z ，则在上n t ，在m 上一 ，在e 上 钿一口+ 加令qc 是一1 1 0 有界开凸子集，伽q 是一定点令f 是e 到上的一 i 1 埘连续映射且满足 ( i ) f i q = i d ；f 映有界集到有界集； ( i i ) 存在e 的有限维子空间岛，使得f ( 札一口) 一( j f l ( u ) 一f ( 移) ) c 岛，讹， e ； ( 谢) f 映e 的有限维子空间到有限维子空间 令a ：= a q ，b ：= f _ 1 ) ，其中a q 为q 的”0 边界对圣c 1 ( e ，r ) ，我们引入映射 1 0东南大学博士学位论文 类p ，其中的映射i l ：【0 ，1 】国一e 具有性质： ( n ) 7 l ：【o ，1 】囝一e 是i i 埘连续的； ( 6 ) 对任一( s o ，让o ) 0 ，1 】国，存在| k 邻域。，加) ，使得 让一 ( t ，札) ：( 友让) 职眠如) n ( 【o ，1 】亩) ) c 研溉这里毋饥表示e 的有限维子空间； ( c ) 九( 0 ，让) = 牡，圣( ( s ，u ) ) 圣( 乱) ，讹q 定理1 2 4 ( 弱环绕定理 7 1 】) 设c 1 函数类( 圣a ) 有形式 圣a ( t 工) ：= ，( t 正) 一a t ，( t 上) ，v 入【l ，2 】 若下述条件成立 ( 1 ) ，( u ) 0 ，讹e ；亚1 ：= 西； ( 2 ) 当l i u 0 _ ，( 也) 一或j ( 仳) 一o o i ( 3 ) 西a 是i i 加上半连续的i 畎在e 上是弱列连续的，且圣a 映有界集到有界集j ( 4 ) s u p a 圣入 o ，y p ，y 一1 及p 工1 ( r ，【0 ，o o ) ) ，使得对所有( t ，t 1 ) r ， ( w 乞( z ，让) ，u ) 一2 ( t ，t i ) 如l u i p p ( ) ； 第一章前言 ( a 4 ) 存在常数? o ，冗 1 及伽l ，使得对t 【_ 正卅，当l 牡i 册，w ( t ，口) o 当 i u l r ，( ，牡) 簪汗； ( a 5 ) k ( ，o ) = o ，o o ，使得 u i l 。c o o i i u f l 日l ， 让日1 我们还假设 ( a 6 ) ，c ( r ) ，( ) o ，对i t l 正，( ) = o m a x t 【一e 卅i ，( t ) i 岛：= m i n ，鱼) 赢 我们的主要结果为 定理1 3 1 若假设( a 1 ) 一( a 6 ) 成立，则( 1 3 1 ) 有一个非平凡同宿轨 2 一类超线性非周期二阶系统的偶同宿轨 我们考虑下述二阶系统的偶同宿轨 证( ) + k ( 亡，让( t ) ) = 0 ， ( 1 3 2 ) 其中y ( ，札) = 一k ( z ，u ) + w ( t ，仳) c 1 ( r r n ，r ) ，满足y ( 一，t ) = y ( ，钍) 我们假设： ( c 1 ) y ( ，札) = 一k ( ，让) + ( t ，牡) c 1 ( r r n ) 对所有( ，u ) r r n ，y ( 一亡，钍) = y ( ，仳) 对所有t o 及讹r n ，k ( ，札) o ； ( c 2 ) 当i u i _ o ，k ( t ，牡) = d ( i u i ) 关于t r 一致； ( c 3 ) k ( ，o ) = o ，o 垒：= i i l f 惟r ，：1 k ( ， ) 否：= 8 u p 忙r ，矧；1 k ( ，f ) o 。，且对所有 0 ，让) r r n ，0 ( 毛( t ，u ) ，让) 2 k 0 ，t 正) ； ( c 4 ) m ：= i n f 忙r ，：1 ) 彬( t ，) 石+ 譬，m ：= s u p r ，：1 ( t ，) 2 ，使得对 所有t r 及t l 舯 0 ) ，o o ，使得下述条件之一成立 ( t ) c 1 ( r ，r 2 ) ，对i 引 r 及i z i = 1 ，i l 7 ( t ) z i n l 0 ) z l ； ( i i ) l 俨( r r 2 )