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毕 业 论 文 2009 届 经济问题中的数学方法经济问题中的数学方法 学生姓名 周宇来周宇来 学 号 05042337 院 系 数理信息学院数理信息学院 专 业 数学与数学与应应用数学用数学 指导教师 盛宝盛宝怀怀 填写日期 2009 年年 6 月月 1 日日 绍兴文理学院本科毕业论文 I 经济问题中的数学方法经济问题中的数学方法 摘摘 要要 经济学是研究如何配置和使用相对稀缺的资源，来满足最大化需求的社会科学，数 学在经济学中的运用不断扩展，已成为经济学中最重要的方法之一，是经济理论研究取 得突破的重要工具.经济学与数学贯穿结合，将经济问题转化为数学问题，建立经济数学 模型，用数学方法对经济问题进行分析求解.本文采用实例解释说明极限、微积分、概率 统计、线性规划、博弈论、矩阵理论等高等数学方法在解决经济学问题中的应用，提倡 学数学不仅要领悟其思想，更要注意其应用. 关键词：经济学；数学方法；极限；边际；博弈论 绍兴文理学院本科毕业论文 II ECONOMIC PROBLEMS IN THE APPLICATION OF MATHEMATICS ABSTRACT Economics is one that researching how to collocate and make use of resources relatively scarce, in order to satisfy the maximum- requirement of social science. The application of mathematics in economics is expanding constantly, and has become one of the most important methods, also the very concernment tool for the study of economic theory to get breakthrough. Economics get in connection with mathematics, translating economical matter into mathematical issue, and build economical math model, using mathematical methods to analyze economical problems for the solution. My thesis mainly make use of examples to explain the application of dvanced-mathematic methods in solving economical matters, including Limitation , Calculous , Probability Statistics, linear Programming,Game Theory as well as matrix theory. We advocate that the purpose of learning mathematics is not just for digesting its ideology, but should also pay more attention to its application. KEY WORDS economics; mathematical method; limit; marginal; game theory 绍兴文理学院本科毕业论文 III 目目 录录 中文摘要 .I 英文摘要 .II 目 录 .III 前 言 .1 1. 导数和积分在经济分析中的应用 .2 1.1 边际分析在经济分析中的的应用.2 1.1.1 边际需求与边际供给 .2 112 边际成本函数 .2 113 边际收益函数 .2 114 边际利润函数 .2 1.2 弹性在经济分析中的应用.3 121 弹性函数 .3 122 需求弹性.3 123 收益弹性 .4 1.3 最大值与最小值在经济问题中的应用.4 131 最低成本问题 .4 132 最大利润问题 .5 1.4 积分在经济中的应用.5 1. 数学期望挑选最优方案 .6 2.1 离散型随机变量的数学期望 .6 2.2 连续型随机变量的数学期望.6 2.3 随机变量函数的数学期望.6 2.3.1 保险公司获利问题 .7 2.3.2 决定生产批量问题 .7 2.3.3 机器故障问题 .8 2.3.4 进货问题 .8 3 线性规划在经济分析中的应用 .9 3.1 线性规划的数学模型及经济含义 .9 3.2 线性规划在经济活动分析中的应用.11 3.2.2 应用影子价格分析技术创新对总利润的影响 .13 绍兴文理学院本科毕业论文 IV 3.2.3 应用影子价格合理选购原材料 .13 3.2.4 应用影子价格决策投资项目 .13 3.2.5 应用影子价格制定新产品开发方案 .13 4. 矩阵在企业经济管理中的应用 .14 4.1 矩阵在企业设备更新中的应用.14 4.2 矩阵在产品成本核算中的应用 .15 5. 微分方程解决经济问题 .17 5.1 逻辑斯谛(Logstic)方程.17 5.2 价格调整问题.18 6. 博弈论在经济学中的应用 .19 6.1 垄断的情形 .19 6.2 库诺特(Cournot)寡头垄断模型 .20 7. 结论 .22 参考文献 .22 绍兴文理学院本科毕业论文 1 前前 言言 如何有效地配置并合理利用稀缺的经济资源，从而最大限度满足人类的欲望始终是 经济学研究的主题.这不可避免会涉及到效率和最优化问题，而有关效率和最优化问题的 研究不仅有定性分析，更重要的是要有定量分析.数学作为定量分析的重要工具，以其严 密性、客观性正好适应了这一要求.因此，在经济学中引入数学工具，可以更好地表述经 济学原理，将经济问题转化为具体的数学模型；可以使分析变得更具体，从而把研究从 初步的想法推向深入的探索，推动经济学走向精密化、正确化. 数学是现代经济学研究中最为重要的工具.现代经济学中几乎每个领域都要用到数学 的知识.根据不完全的统计，自 1969 年设立诺贝尔经济学奖以来的 40 多位获奖者中，计 量经济学家有 23 位.其中 10 位还曾担任过世界计量经济学会的会长，有 6 位直接靠计量 经济的研究和应用成果获奖.他们都是借用统计数学、最优化方法及计量经济方面的知识 而获此殊荣的.由此可见没有较强的数学基础，在现代经济学中想取得佳绩几乎是不可能 的. 本课题通过六个高等数学的分析方法来阐述经济问题中所应用到的不同种数学方法： 1.导数和积分的应用解决了经济中如何使成本最低，收入最多，利润最大，费用最少的 问题.2.利用数学期望挑选最优方案.3.线性规划的对偶理论的经济意义影子价格的 应用.4.矩阵在企业经济管理中的应用.5.微分方程价格调整问题.6.博弈论在经济学中的 应用. 绍兴文理学院本科毕业论文 2 1. 导数和积分在经济分析中的应用 1.1 边际分析在经济分析中的的应用 1.1.1 边际需求与边际供给 设需求函数在点处可导（其中 Q 为需求量，P 为商品价格） ，则其边际函)(pfQ p 数称为边际需求函数，简称边际需求.类似地，若供给函数可导（其中)(pfQ )(PQQ Q 为供给量，P 为商品价格） ，则其边际函数称为边际供给函数，简称边际供给3.)(pQQ 112 边际成本函数 总成本函数，其中为固定成本，为可变成本；平均成本函)()( 10 QCCQCC 0 C 1 C 数；边际成本函数.称为当产量为时的边际成本，其经济意 Q QC QCC )( )()(QCC 0 Q 义为：当产量达到时，如果增(减)一个单位产品，则成本将相应增(减)个单位. 0 Q)( 0 QC 113 边际收益函数 总收益函数；平均收益函数；边际收益函数 3. )(QRR )(QRR )( QRR 称为当商品销售量为时的边际收益,其经济意义为：当销售量达到时，)( 0 QR 0 Q 0 Q 如果增(减)一个单位产品，则收益将相应地增(减)个单位.)( 0 QR 114 边际利润函数 利润函数；平均利润函数；边际利润函数)()()(QCQRQLL)(QLL .称为当产量为时的边际利润，其经济意义是：当产量达到)()()( QCQRQLL 0 Q 时，如果增(减)一个单位产品，则利润将相应增(减)个单位. 0 Q)( 0 QL 例 1 某企业每月生产(吨)产品的总成本(千元)是产量的函数，QCQ .如果每吨产品销售价格 2 万元，求每月生产 10 吨、15 吨、20 吨时2010)( 2 QQQC 的边际利润. 解：每月生产吨产品的总收入函数为：Q 绍兴文理学院本科毕业论文 3 302)2030()( 2030 )2010(20)()()( 20)( 2 2 2 QQQQL QQ QQQQCQRQL QQR 则每月生产 1O 吨、15 吨、2O 吨的边际利润分别为: ；吨千元 ；吨千元 ；吨千元 )/(1030202)20( )/(030152)15( )/(1030102)10( L L L 以上结果表明：当月产量为 10 吨时，再增产 1 吨，利润将增加 1 万元；当月产量为 15 吨时，再增产 1 吨，利润不会增加；当月产量为 20 吨时，再增产 1 吨，利润反而减少 1 万元.显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润. 1.2 弹性在经济分析中的应用 121 弹性函数 设函数在点 x 处可导，函数的相对改变量 与自变量的相对)(xfy y xfxxf y y)()( 改变量之比，当时的极限称为函数在点 x 处的相对变化率，或称为弹 x x 0x)(xfy 性函数15.记为，. Ex Ey )( )(limlim 00 xf x xf y x x y x x y y Ex Ey xx 在点处，弹性函数值称为在点处的弹性值， 0 xx )( )()( 0 0 0 xf x xfxf Ex E )(xf 0 xx 简称弹性.表示在点处，当 x 产生 1的改变时，近似地改变)%( 0 xf Ex E 0 xx )(xf .)%( 0 xf Ex E 122 需求弹性 经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性4. 对于需求函数，由于价格上涨时，商品的需求函数)()(QPPPfQ或 为单调递减函数，异号，所以特殊地定义，需求对价格的)()(QPPpfQ或QP 与 弹性函数为 16. )( )()( pf p pfp 例 2 设某商品的需求函数为，求(1)需求弹性函数；(2)P=3，P=5，P=6 时的 5 p eQ 绍兴文理学院本科毕业论文 4 需求弹性. 解：(1) ； 5 ) 5 1 ( )( )()( 5 5 p e p e pf p pfp p p (2) ；2 . 1 5 6 )6(1 5 5 )5(6 . 0 5 3 )3(； 说明当 P=3 时，价格上涨 1，需求只减少 0.6%，需求变动的幅度小于价格，16 . 0)3( 变动的幅度. ，说明当 P=5 时，价格上涨 1，需求也减少 1%，价格与需求变动的幅度相同.1)5( ，说明当 P=6 时，价格上涨 1，需求减少 1.2%，需求变动的幅度大于价格12 . 1)6( 变动的幅度. 123 收益弹性 收益是商品价格与销售量的乘积，即RPQ ).1)() )( )(1)()()( )( pf pf p pfpfppfpfR pPfPQR 所以，收益弹性为.171 )( )1)( )( )( ppf p pf PR P PR EP ER 这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需 求弹性之和等于 1. (1)若，则价格上涨(或下跌)1%，收益增加(或减少)；10 EP ER )%1 ( (2)若，则价格上涨(或下跌)1，收益减少(或增加)；10 EP ER %1 (3)若，则价格变动 1，收益不变.10 EP ER 1.3 最大值与最小值在经济问题中的应用 最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之 一10，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等.下面介 绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用. 131 最低成本问题 例 3 设某厂每批生产某产品 x 个单位的总成本函数为，(常数pxnxmxxC 23 )( )，(1)问每批生产多少单位时，使平均成本最小？(2)求最小平均成本和相应的0,pnm 绍兴文理学院本科毕业论文 5 边际成本. 解：(1)平均成本，令，得 ，nmxCpnxmx x xC XC2 )( )( 2 ，0 C m n x 2 而.所以，每批生产个单位时，平均成本最小.02)( mxC m n 2 (2) . 4 4 ) 2 (2) 2 (3) 2 (23)( 4 4 ) 2 () 2 () 2 ( 2 22 2 2 m nmp p m n n m n m m n CpnxmxxC m nmp p m n n m n m m n C ， ，又 所以，最小平均成本等于与其相应的边际成本. 132 最大利润问题 例 4 设生产某产品的固定成本为 60000 元，变动成本为每件 20 元，价格函数 (为销售量)，假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大?最大利润是多 1000 60 Q pQ 少? 解：产品的总成本函数QQC2060000)( 收益函数 1000 60) 1000 60()( 2 Q QQ Q pQQR 则利润函数得 Q=20000. ，40 500 1 )( 6000040 1000 )()()( 2 QQL Q Q QCQRQL 最大，L(2000)=340000 元.LQQL时20000 500 1 )( 所以生产 20000 个产品时利润最大，最大利润为 340000 元. 1.4 积分在经济中的应用 在经济管理中，由边际函数求总函数(即原函数)，一般采用不定积分来解决，或求 一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决4. 例 5 设生产 x 个产品的边际成本，其固定成本为元，产品单xC2100 1000 0 C 价规定为 500 元.假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大?并求出最 大利润. 解：总成本函数为 .1000100)2100()( 2 0 0 xxCdttxC x 总收益函数为.xxR500)( 绍兴文理学院本科毕业论文 6 总利润令因为，xLxxxCxRxL24001000400)()()( 2 ，得2000 xL .所以，生产量为 200 单位时，利润最大.最大利润为0)200( L .（元）390001000200200400)200( 2 L 在此我们应用了定积分，求出利润最大，但这不是意味着增加产量就必定增加利润， 因此，只有合理安排生产量，才能取得最大的利润. 综上所述，对企业经营者来说，对其经济问题进行定量分析是非常必要的.运用数学 方法作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还 可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现.因此，作为一个 合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依 据18. 1. 数学期望挑选最优方案 数学期望(Mathematical Expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要 的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平,在经济管理工作中，可以利用数学 期望直接或间接地解决许多经济问题5. 2.1 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的分布律为，若级数绝对收敛，), 2 , 1()(ipxP ii 1i iip x 则称的值为的数学期望(或均值)，记作，即 8. 1i iip x)(E 1 )( i iip xE 2.2 连续型随机变量的数学期望 设为连续型随机变量，其概率密度为，若绝对收敛，称)(xf dxxxf)( 的值为的数学期望(或均值)，记作，即 8. dxxxf)()(E dxxxfE)()( 2.3 随机变量函数的数学期望 设是随机变量，是的函数，是连续实函数.当是离散型随机变量，)(g)(xg 其分布律为，当级数绝对收敛时，随机变量的)2 , 1()(ipxp ii 1 )( i ii pxg)(g 绍兴文理学院本科毕业论文 7 数学期望为 . 1 )()()( i ii pxggEE 当是连续型随机变量概率密度是，若积分绝对收敛，随机变量)(xf dxxfxg)()( 的数学期望为)(g . dxxfxggEF)()()()( 数学期望无论从计划还是从决策观点看都是至关重要的，在经济活动中，人们往往 不自觉地利用它以下通过具体的实例来说明数学期望在经济问题中的应用 2.3.1 保险公司获利问题 每年一个家庭万元被盗的概率是 0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险， 参保人需缴保险费 100 元，若在一年里，万元以上财产被盗，保险公司赔偿 a 元(a100)， 求 a 如何确定，才能使保险公司期望获利? 解：只需考察保险公司对任一参保家庭的获利情况，设表示保险公司对任一参保家庭的 收益，则的取值为 100 或 100-a，其分布列为表 2-1： 表 2-1 概率分布 方法 P 11000.99 21000.01 根据题意，.001 . 0 10001 . 0 )100(99 . 0 100)(aaE 解得时保险公司才能期望获利.)10000,100(10010000aaa，所以，又 2.3.2 决定生产批量问题 某厂要决定今后 3 年内生产某电子产品的生产批量，以便及早做好生产前的各项准备工 作根据以往销售统计资料及市场调查和预测知：未来市场出现销路好、销路一般、销 路差三种状态的概率分别为 0.3、0.5 和 0.2，若按大、中、小三种不同生产批量投产， 今后 3 年不同销售状态下的益损值如表 2-2 所示，试作出分析，确定最佳生产批量. 解：比较期望益损法是常用的决策方法之一，下面算出每一方案的期望益损： 为优。批量方案均大，所以认为选择中和比2)()()( 4 . 9102 . 0105 . 083 . 0)( 5 .14122 . 0175 . 0123 . 0)( 6 . 12)2(2 . 0145 . 0203 . 0)( 312 3 2 1 EEE E E E 表 2-2 生产销路 绍兴文理学院本科毕业论文 8 方案销路好销路一般销路差 益损概率0.3 0.50.2 大批量生产益损 1 2014-2 大批量生产益损 2 121712 大批量生产益损 3 81010 2.3.3 机器故障问题 一部机器一天内发生故障的概率是 0.2，机器发生故障则全天停工，如果一周 5 个工 作日均无故障，工厂可获利润 10 万元，发生一次故障可获利 5 万元，发生两次故障不获 利也不亏损，而发生三次或三次以上的故障则要亏损 2 万元，求这个工厂每周的期望利 润. 解：以表示一周内机器发生故障的天数，则是 n=5 时的二次分布 ，以表示工厂一周内所获利润，则)5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0(8 . 02 . 0)()2 . 0 , 5( 5 5 KCKPB KKK ， . 3 2 2 0 1 5 0 10 )( g 的概率分布为表 2-3： 表 2-3 的概率分布 p 100.328 50.410 00.205 -20.057 216. 5057 . 0 )2(205. 00410. 05328 . 0 10)(E 故工厂一周的期望利润是 5.216 万元. 2.3.4 进货问题 设某种商品每周的需求是取从区间10,30上均匀分布的随机变量，经销商进货量 为区间10,30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 5000 元，若供大于求，则 削价处理，每处理一单位商品亏损 100 元.若供不应求，则可以外部调剂供应.此时一单 绍兴文理学院本科毕业论文 9 位商品获利 300 元为使商品所获利润期望不少于 9280 元，试确定进货量. 解：设进货量为，则利润为a axa xaa axa xaaa g 10 100600 30 200300 10 100 )(500 30 300)(500 )( 期望利润为 928052503505 . 7 )200300( 20 1 )100600( 20 1 )( 20 1 )( 2 30 0 30 0 aa dxaxdxaxdxxgE a a 解得：26 3 2 20 a 故利润期望值不少于 9280 元的最少进货量为 21 单位. 3 线性规划在经济分析中的应用 3.1 线性规划的数学模型及经济含义 在人们的生活、生产、管理等各项经济活动中都会遇到一个问题，即什么是最好的 决策、最佳的方案.例如，消费者在总收入一定的情况下，如何购买商品使得消费者的效 用最大；总成本固定后，怎样安排生产要素的投入使总产量最大；工厂在各原材料固定 的情况下，如何最佳地使用原材料使得利润最大等等，这类问题都可以用线性规划理论 与方法来分析和求解9. 线性规划是数学规划与运筹学的一个分支，是运筹学中最常用的一种方法.线性规划 所处理的问题是怎样以最佳的方式在各项经济活动中分配有限的资源，以便最充分地发 挥资源的效能去获取最佳经济效益.线性规划就是拟定活动计划以便达到一个最优结果， 即在所有可行的备选方案中如何选取最佳方案以达到规定目标1. 线性规划方法不仅广泛应用于企业、部门、地区及整个国民经济，而且它为经济理 论提供了一个很好的数量分析方法.本文将从线性规划的对偶理论、线性规划与影子价格 等方面来阐述线性规划理论与方法及其在经济活动分析中的应用. 采用线性规划，常用来研究两类问题：即在某项经济活动中，一是要求获得最大利 润；二是使总成本降到最小值，它们是同一活动中的两类不同的数学模型.这两类最优化 模型具有内在的联系，在数学上可以用一对互为对偶的线性规划来表示. 若假设某个制造厂利用 种原料生产，z 种产品，设 ）种产品的数量（第miibi, 2 , 1 绍兴文理学院本科毕业论文 10 ）种产品的单价（第njjcj, 2 , 1 ）种原料的数量（种产品所需第制造单位的第njmiijaij, 2 , 1;, 2 , 1 ）种产品的数量（第njjxj, 2 , 1 于是利用原料进行生产获最大收益的优化模型为 T m bbbb),( 21 njx mibxa xc P j n j ijij n j jj , 2 , 10 , 2 , 1 max )( 1 1 线性规划（P）的对偶规划为 mi u njcau bu D i m j jiji m j jj , 2 , 10 , 2 , 1 min )( 1 1 对于线性规划(P)其最优值(最大收益)与原料有关，只有在原材料 T m bbbb),( 21 给定的条件下，我们才能制定出一套最优的生产安排方案，使得总收益达到最大.所以最 大收益应是原料的函数.即. mjj bbbFxc,max 2, 1 由线性规划“对偶定理” ，若原线性规划存在最优解，则对偶线性 T n xxxx, 21 规划也存在最优解并满足： 由上面的分析 T m uuuu, 21 m j ii n j jj buxc 11 minmax 可以看出对偶线性规划有着重要的经济意义：若原线性规划(P)是求解资源的最优配置问 绍兴文理学院本科毕业论文 11 题，则其对偶规划(D)是求解资源的使用价值，对偶问题的最优解给出了各种资源最优配 置的经济估价，这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中做出的贡献而作 的估价.这种估价可以指导人们合理地分配与使用有限资源，以取得最大的经济效益.经 济学家通常把对资源的这种经济估价称为影子价格2.影子价格是经济学中的一个重要概 念，亦称为“预测价格” 、 “最优计划价格”和“机会成本”等，由上述推导可知 miu b bbbF bbbbbbFbbbbbbF buxcbbbF i i m miiimiii m j ii n j jjm , 2 , 1 , , 1, minmax, 2, 1 112, 1112, 1 11 2, 1 则 因此，影子价格是一种边际价格. 由知，影子价格是第 种资源对最大收益的边际贡献，其大小反 i i m u b bbbF , 2, 1 i ui 映了该种资源对总目标值的影响程度.若增加或减少第 种资源一个单位的投入，企业总i 目标值将增加或损失的数值为. i u 影子价格同时反映了资源的稀缺程度，结合线性规划的“松紧定理”可进一步对企 业的经济活动进行分析2.由“松紧定理”知，若某个资源影子价格，则对应的约0 i u 束方程成立，说明该资源在经济活动中没有剩余，是短缺资源，影子价格越 n j ijij bxa 1 大，其稀缺程度越高；若某资源在此经济活动中有剩余，供大于求，即约束方程 成立，则对应的资源影子价格. n j ijij bxa 1 0 i u 影子价格不是资源的市场价格，而是生产活动中体现出来的资源的使用价值.由“松 紧定理”知，若某产品的售价小于按影子价格计算所消耗的资源价值，即 ,则该产品在最优方案中必有，说明该产品不能投产；若能投产的 m i jiiji cbau 1 0 j x 产品，在最优方案中有，则该产品的售价等于按影子价格计算所消耗的资源价值，0 j x 即，因此有时也称线性规划中的影子价格为企业内部做决策，且企业不亏不 m i jiji cau 1 盈时的原料的内部价格. 3.2 线性规划在经济活动分析中的应用 线性规划在经济活动分析中有着重要的 绍兴文理学院本科毕业论文 12 应用，特别是线性规划对偶理论的经济意义 影子价格在企业活动分析中有重要作用， 现举例说明. 甲厂生产三种产品，需要使用的原材料、劳动力、设备使用时数、电均是 321 AAA、 有限的，各种产品对有限资源的单位消耗系数及产品的单位利润见表 3-4. ij a j c 表 3-4 利润表 单位消耗原材料/吨劳动力/人设备/时数电/千瓦单位利润/万元 1 A 11324 2 A 21122 3 A 42213 资源限量 10088180213 设为三种产品的产量，甲厂总利润最大的线性规划模型为 321, xxx )3,2, 1(0 21322 18023 882 10042 . 324max 321 321 321 321 321 jx xxx xxx xxx xxx ts xxxf j 由单纯形法求解(P)可同时给出两个信息，一个是原问题(P)的最优解，另一个是对 偶问题的最优解即各种资源的影子价格.得到原问题(P)的最优解(52，24，O)，即产品 生产 52 和 24 单位，产品不投产，最大利润为 256 万元，四种资源即原材料、劳 21, A A 3 A 动力、设备使用时数、电的影子价格分别为 0.4、0、1.2、0. 3.2.1 应用影子价格合理利用资源 根据影子价格判断某种资源的作用及其短缺程度，促使企业充分挖掘内部潜力，达 到资源的合理利用.这里，甲厂劳动力的影子价格为 0，说明劳动力在资源的最优分配方 案中有剩余，即再增加劳动力总利润不变，因此甲厂的决策者可考虑裁员或安排剩余劳 动力到其他岗位，从而为企业降低成本，同时也为其他部门提供剩余劳动力. 另外甲厂的原材料、设备是稀缺资源，而设备的影子价格为 1.2，它是四种资源中影 子价格的最大者，这说明设备最紧缺，应首先考虑增加设备，这样工厂的总利润就会增 加.企业需增(减)某些资源的投量时，若目标 f 为总利润，应首先考虑增加(减少)影子价 绍兴文理学院本科毕业论文 13 格高(低)的资源.部门之间调配资源时，应将资源由影子价格较低的部门调向较高的部门. 从上面的分析可知，系统决策者应用本方法可以对系统内各部门的资源利用情况进行评 价，对现有的资源配置方案进行调整，直至达到最优.这样，既可使有限的的人、财、物 资源从效益低的部门流向效益高的部门，从而提高系统整体的经济效益，又可促使部门 自身提高劳动生产率、降低资源消耗、使自己的现有资源得到充分利用，从而产生最大 的经济效益. 3.2.2 应用影子价格分析技术创新对总利润的影响 采用先进技术改进工艺可提高资源利用率降低成本，若工艺改进后使原材料的消耗 减少了 10%，则由前面计算得到的数据，该厂的总利润将增加 0.410010%=4 万元. 3.2.3 应用影子价格合理选购原材料 许多企业往往根据市场需求和产品的订货量购买原材料，安排生产.此时可根据各资 源总量计算出的最优生产方案及影子价格来制定采购方案.若乙厂是甲厂的协作厂家，甲 厂所需原材料由乙厂提供，两厂在协商原材料的价格时，应在乙厂生产原材料的单位成 本与甲厂原材料的影子价格之间考虑，才能使双方都能获利，否则若高于甲厂原材料的 影子价格甲厂将不买乙厂的原材料而改选他家，若低于生产原材料的单位成本乙厂会亏 损.假设乙厂生产原材料的单位成本为 0.3 万元，因甲厂原材料的影子价格是 0.4 万元， 所以原材料的价格定在 0.3 与 0.4 万元之间双方均可接受.影子价格与资源成本之差越大 者，增加其资源，提高利润越大. 3.2.4 应用影子价格决策投资项目 由前面的分析我们已经得出设备是甲厂最紧缺的资源，所以应考虑扩大生产规模， 增添新设备.选择投资项目的依据就是影子价格，应优先选择影子价格大的项目，才能尽 可能快的见到成效，收回投资.若甲厂计划投资 5 万元购买设备，市场上有两种生产设备 可供选择，设 A 设备的价格是 B 设备的两倍，根据影子价格甲厂做出的分析见表 3-5. 表 3-5 产品对照表 设备类型购买设备数/台每日工作时间/ 小时 总设备能力/小 时 设备影子价格/ 元 增加收益/元 A2122435/1235/12*24=70 B412487/127/12*48=28 由此表看出，投资 A 设备每日可增加收益 70 元，5 万元的投资只用 7l4 天就可收回， 而投资 B 设备，需 l786 天才能收回. 3.2.5 应用影子价格制定新产品开发方案 企业开发新产品，应分析新产品未来的经济效益，利用影子价格判断其是否可以投 产.根据“松紧定理”中不宜投产原则，按影子价格计算新产品的单位消耗资源值： 绍兴文理学院本科毕业论文 14 ，与新产品单价，相比较，只有，投产新产品才能使企业效益增加. m i ijia u 1 j c j m i iji cau 1 若，则新产品不能投产.例如甲厂开发的新产品的单位消耗为，由影子价 j c 4 A T 1 , 2 , 1 , 4 格计算出新产品的单位消耗资源值为万元，小于新产品的单价 6 万元， 4 A4 1 m i ijia u 4 A 可以投产.若新产品不宜投产，可考虑降低消耗或提高产品定价. 从上面的实例分析可以看出，根据线性规划对偶理论的影子价格，配置资源调整市 场价格，可以影响有关企业生产的扩大或缩小，影响产品结构和投资方向的变化，从而 使社会生产趋向合理. 4. 矩阵在企业经济管理中的应用 4.1 矩阵在企业设备更新中的应用 企业准备更换一批设备，如果买新设备花钱较多，但创造价值高而继续使用旧设备， 需大量维修费，且剖造价值低，现准备在几年之内将设备更新，可预先测算一下，以帮 助决策.以更换一种设备为倒，期限为四年.假设这种设备在四年内各年度售价、使用年 度内维修费、创造的价值如表 4-1 表所示： 表 4-1 维修费用表 费用项目年度新设备售价/万元新设备维修费/万 元 新设备创造值/万 元 旧设备维修费/万 元 旧设备创造值/万 元 18345635 210550932 3127491331 4159461730 根据表中数字列成如下几个矩阵： (1)新设备(3)总维修费用 维修费用矩阵 5000 7500 9750 9753 N 51396 7596 9756 9753 MNS矩阵 (2)旧设备 绍兴文理学院本科毕业论文 15 维修费用矩阵 . 01396 0096 0006 0000 M 以上三个矩阵的意义是：如果在第一年就更新了一台设备，则这台设备在四年内的 维修费用列于矩阵 N 的第一行，如这台设备是第二年更新则它的各年维修费用列于矩 阵 N 的第二行(第一年未换新设备所以新设备维修费为零)，而被它换的那台旧设备在第 一年仍然在使用，因此这台旧设备在第一年尚须维修费这就是矩阵 M 中的第二行第一 个元素所表示的.当这台旧设备第二年被更换了后，无需再消耗维修费因此矩阵 M 中第 二行的后面各元素皆为零，矩阵 M 的第一行全为零表示第一年开始就全部换上新设备 所 没有旧设备维修费. 依此类推可以得出矩阵 N、矩阵 M 的第三行、第四行各元素. 同样道理可以作出新旧设备的创造价值矩阵如下： 新设备创造价值矩阵 . 45000 504500 4550450 46455045 1 N 旧设备创造价值矩阵 . 0313235 003235 00035 0000 1 M 总创造价值矩阵 . 49313235 50493235 49504535 46495045 11 MMS 新设备成本费用矩阵 . 15000 01200 00100 0008 A 通过对这些矩阵的运算，我们希望找到什么时候更换新设备才能取得最佳的经济效 益(运算结果的净剩余值最大)就是说在创造值-维修费-成本矩阵中，找出某一行元 素的最大值.即计算： . 95 127 142 158 1 1 1 1 25182329 43282329 40433029 37424534 1 1 1 1 155451331932635 94975010545635 94975010545635 9467495508345 1 JASSR 绍兴文理学院本科毕业论文 16 运算结果告诉我们，在第一年应更新设备经跻效益最好(净剩余值最大达到 158 万元)， 但如果要求净利余值不少于 140 万元，那么考虑到提高旧设备的利用率以及延长新设备 的使用寿命等因素，可以在第二年更换设备. 4.2 矩阵在产品成本核算中的应用 矩阵在经济规划和管理中有着广泛的应用，只要经济工作者把复杂的