课程设计（论文）-基于双线性变换法的IIR数字带通滤波器设计.doc

XXXX 学院 课程设计说明书课程设计说明书 题目 题目 基于双线性变换法的基于双线性变换法的基于双线性变换法的 IIRIIRIIR 数字带数字带数字带通滤波器设计通滤波器设计通滤波器设计 姓姓 名 名 院院 系 系 电气信息工程学院 专业班级 专业班级 电子信息工程 09 2 班 学学 号 号 指导教师 指导教师 成成 绩 绩 时间 时间 2012 年年 6 月月 18 日至日至 2012 年年 6 月月 22 日日 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 郑州轻工业学院 课课 程程 设设 计计 任任 务务 书书 题目题目 基于双线性变换法的基于双线性变换法的 IIR 数字带数字带通滤波器设计通滤波器设计 专业 班级专业 班级 电子信息工程电子信息工程 08 级级 2 班班 学号学号 5 姓名姓名 主要内容 基本要求 主要参考资料等 主要内容 基本要求 主要参考资料等 主要内容主要内容 首先依据给定的性能指标 采用双线性变换法设计 IIR 数字带通滤波器 然后利用 MATLAB 软件的 wavread 函数读取 wav 格式的语音信号 并利用所设计的滤波器对音 频信号进行滤波处理 画出滤波前后信号的时域波形及频谱 最后回放语音信号 分析 滤波前后的语音变化 基本要求基本要求 1 滤波器技术指标为 fp1 1200Hz fp1 3000Hz fs1 1000Hz fs2 3200Hz Ap 1dB As 100dB 2 采用双线性变换法设计 IIR 数字带通滤波器 3 掌握利用 wavread 函数读取 wav 格式语音信号的方法 4 对语音信号进行滤波 并画出滤波前后信号的时域波形及频谱 5 回放语音信号 分析滤波前后的语音变化 主要参考资料 主要参考资料 1 从玉良 数字信号处理原理及其 MATLAB 实现 M 北京 电子工业出版社 2009 7 2 胡广书 数字信号处理理论 算法与实现 M 北京 清华大学出版社 2003 8 完完 成成 期期 限 限 2010 6 18 2010 6 22 指指导导教教师师签签名名 课程负责人签名 课程负责人签名 2010 年年 6 月月 14 日日 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 摘要 随着信息时代和数字世界的到来 数字信号处理已成为当今一门极其重要 的学科和技术领域 在数字信号处理中起着重要的作用并已获得广泛应用的是 数字滤波器 DF Digital Filter 数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的 数字系统 通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的 本次主要利用matlab 的信号处理工具箱设计一个数字带通 IIR 滤波器 并 用此滤波器处理一段音频信号 文中主要介绍了用双线性变换法设计切比雪夫 型带通数字滤波器的实现方法 关键字关键字 数字信号处理 数字滤波器 切比雪夫 双线性变换 MATLAB 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 1 1 数字滤波器数字滤波器 1 1 数字滤波器介绍 数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置 其输入 输出均 为数字信号 实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统 它的基 本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换 改变输入序列 的频谱或信号波形 让有用频率的信号分量通过 抑制无用的信号分量输出 数 字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念 根据其频率响应特性可分为低通 高通 带通 带阻等类型 与模拟滤波器相比 数字滤波器除了具有数字信号处 理的固有优点外 还有滤波精度高 与系统字长有关 稳定性好 仅运行在 0 与 l 两个电平状态 灵活性强等优点 时域离散系统的频域特性 其中 分 别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性 或称为频谱特性 是数字滤波器的单位取样响应的频谱 又称为数字滤波器的频域响应 输 入序列的频谱经过滤波后 因此 只要按照输入信号频谱 的特点和处理信号的目的 适当选择 使得滤波后的满足 设计的要求 这就是数字滤波器的滤波原理 数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性 可分为两种 即无限长冲激 响应 IIR 数字滤波器和有限长冲激响应 FIR 数字滤波器 IIR 数字滤波器的 特征是 具有无限持续时间冲激响应 需要用递归模型 来实现 其差分方程为 1 1 系统函数为 1 2 设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H z 使其频 率响应H z 满足所希望得到的频域指标 即符合给定的通带截止频率 阻带截 止频率 通带衰减系数和阻带衰减系数 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 交换频率双线性变换 双线性变换 1 2 IIR 数字滤波器设计原理 IIR数字滤波器是一种离散时间系统 其系统函数为 1 3 假设M N 当M N时 系统函数可以看作一个IIR的子系统和一个 M N 的 FIR子系统的级联 IIR数字滤波器的设计实际上是求解滤波器的系数 和 它是数学上的一种逼近问题 即在规定意义上 通常采用最小均方误差准则 去逼近系统的特性 如果在S平面上去逼近 就得到模拟滤波器 如果在z平面 上去逼近 就得到数字滤波器 设计通数字滤波器通常可以归纳为如图所示的两种常用方法 方法 1 方法 2 图 1 1 数字带通滤波器设计的两种方法 方法 1 首先设计一个模拟原型低通滤波器 然后通过频率变换成所需要的 模拟带通滤波器 最后再使用冲激不变法或双线性变换成相应的数字带通滤波 器 方法 2 先设计一个模拟原型低通滤波器 然后采用冲激响应不变法或双线 性变换法将它转换成数字原型低通滤波器 最后通过频率变换把数字原型低通 滤波器变换成所需要的数字带通滤波器 本课程设计采用第一种设计方法 先构造一个切比雪夫 型模拟低通滤波 器 然后将模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器 最后利用双线性变换将模 拟带通滤波器转换成数字带通滤波器 1 2 1 切比雪夫滤波器 为了从模拟滤波器出发设计 IIR 数字滤波器 必须先设计一个满足技术指 模拟低通数字带通模拟带通 频率交换 数字低通 模拟低通 数字带通 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 标的模拟滤波器 亦即要把数字滤波器的指标转换成模拟滤波器的指标 因此 必须先设计对应的模拟原型滤波器 模拟滤波器的理论和设计方法己发展得相当成熟 且有一些典型的模拟滤 波器供我们选择 如巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤 波器 椭圆 Cauer 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等 这些典型的滤波器各有 特点 这里介绍切比雪夫滤波器 切比雪夫滤波器特点 误差值在规定的频段上等波纹变化 巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的 如果阶次一定 则在靠 近截止 处 幅度下降很多 或者说 为了使通带内的衰减足够小 需要的 阶次N很高 为了克服这一缺点 采用切比雪夫多项式来逼近所希望的 切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的 所以在同 样的通常内衰减要求下 其阶数较巴特沃兹滤波器要小 切比雪夫滤波器的振幅平方函数为 1 4 式中 c为有效通带截止频率 表示与通带波纹有关的参量 值越大通带不 动愈大 VN x 是 N 阶切比雪夫多项式 定义为 1 5 切比雪夫滤波器的振幅平方特性如图所示 N 为偶数 cos2 1 得到 min 1 6 N 为奇数 cos2 得到 max 1 7 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 图 1 2 切比雪夫滤波器的振幅平方特性 有关参数的确定 a 通带截止频率 预先给定 b 与通带波纹有关的参数 通带波纹表示成 1 8 所以 给定通带波纹值 分贝数后 可求得 c 阶数 N 由阻带的边界条件确定 A2为事先给定的边界条件 即在阻 带中的频率点处 要求滤波器频响衰减到 1 A2以上 1 9 1 10 1 11 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 1 12 因此 要求阻带边界频率处衰减越大 要求 N 也越大 参数 N 给定 后 查阅有关模拟滤波器手册 就可求得系统函数 Ha s 1 2 2 双线性变换法 为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真 这是因为从 S 平面 到 平面是多值的映射关系所造成的 为了克服这一缺点 可以采用非线性频 率压缩方法 将整个频率轴上的频率范围压缩到 T T之间 再用z esT 转换到 Z 平面上 也就是说 第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1平面的 T T一条横带里 第二步再通过标准变换关系z es1T将此横带变换到整 个Z平面上去 这样就使 S 平面与Z平面建立了一一对应的单值关系 消除了 多值变换性 也就消除了频谱混叠现象 映射关系如图 1 3 图 1 3 双线性变换的映射关系 为了将 S 平面的整个虚轴 j 压缩到 S1 平面 j 1 轴上的 T到 T段 上 可以通过以下的正切变换实现 1 13 式中 T仍是采样间隔 当 1 由 T经过 0 变化到 T时 由 经过 0 变化到 也即映 射了整个 j 轴 将式 1 9 写成 1 14 将此关系解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面 令 j s j 1 s1 则得 2 tan 2 1T T 2 2 2 2 11 11 2 TjTj TjTj ee ee T j o 11 Z jIm z Re z T j 1 1 T S1 S j oo 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 1 15 再将 S1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面 z es1T 从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为 1 16 1 17 式 1 10 与式 1 11 是 S 平面与 Z 平面之间的单值映射关系 这种变 换都是两个线性函数之比 因此称为双线性变换 式 1 9 与式 1 10 的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求 首先 把z ej 可得 1 18 即 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆 其次 将s j 代入式 1 12 得 因此 1 19 由此看出 当 0 时 z 0 时 z 1 也就是说 S 平面的 左半平面映射到 Z 平面的单位圆内 S 平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆 外 S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上 因此 稳定的模拟滤波器经双线 性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的 双线性变换法优缺点 双线性变换法与脉冲响应不变法相比 其主要的优 Ts Ts TsTs TsTs e e T Ts Tee ee T s 1 1 11 11 1 12 2 tanh 22 1 2 2 2 2 1 1 1 12 z z T s s T s T s T s T z 2 2 2 1 2 1 j T j e e T s j j 2 tan 2 1 12 j T j T z 2 2 2 2 2 2 2 2 T T z 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 点是避免了频率响应的混叠现象 这是因为 S 平面与 Z 平面是单值的一一对应 关系 S 平面整个 j 轴单值地对应于 Z 平面单位圆一周 即频率轴是单值变 换关系 这个关系如式 1 12 所示 重写如下 1 20 上式表明 S 平面上 与 Z 平面的 成非线性的正切关系 如图 1 4 所示 由图 1 4 看出 在零频率附近 模拟角频率 与数字频率 之间的变换 关系接近于线性关系 但当 进一步增加时 增长得越来越慢 最后当 时 终止在折叠频率 处 因而双线性变换就不会出现由于高频 部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象 从而消除了频率混叠现象 图 1 4 双线性变换法的频率变换关系 但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的 如式 1 12 及图 1 4 所示 由于这种频率之间的非线性变换关系 就产生了新的 问题 首先 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数 字滤波器 不再保持原有的线性相位了 其次 这种非线性关系要求模拟滤波 器的幅频响应必须是分段常数型的 即某一频率段的幅频响应近似等于某一常 数 这正是一般典型的低通 高通 带通 带阻型滤波器的响应特性 不然变 换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变 如 图 1 5 所示 2 tan 2 T o 2 tan 2 T o o o j a H ej H o o o earg j H j arg a H 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 图 1 5 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射 对于分段常数的滤波器 双线性变换后 仍得到幅频特性为分段常数的滤 波器 但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变 这种频率的畸变 可以通 过频率的预畸来加以校正 也就是将临界模拟频率事先加以畸变 然后经变换 后正好映射到所需要的数字频率上 2 数字滤波器设计实现 2 设计步骤 根据以上 IIR 数字滤波器设计方法 下面运用双线性变换法基于 MATLAB 设 计一个 IIR 带通滤波器 1 确定性能指标 在设计带通滤波器之前 首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标 通带截止频率fp1 1200 fp2 3000 阻带截止频率fs1 1000 fs2 3200 阻带 最小衰减As 100dB和通带最大衰减Ap 1dB 2 把频率转化为数字角频率 wp1 2 pi fp1 T wp2 2 pi fp2 T ws1 2 pi fs1 T ws2 2 pi fs2 T 3 频率预畸变 用 2 T tan w 2 对带通数字滤波器 H z 的数字边界频率预畸变 得到带 通模拟滤波器 H s 的边界频率主要是通带截止频率 Wp1 Wp2 阻带截止频率 Ws1 Ws2 的转换 抽样频率 fs 10KHz 通带截止频率 Wp1 2 T tan wp1 2 Wp2 2 T tan wp2 2 阻带截止频率 Ws1 2 T tan ws1 2 Ws2 2 T tan ws2 2 4 模拟带通性能指标转换成模拟低通性能指标 WP Wp1 Wp2 W0 sqrt Wp1 Wp2 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 B Wp2 Wp1 WS Ws1 Ws2 5 模拟低通滤波器的构造 借助切比雪夫 Chebyshev 滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数 Ha s N Wc cheb1ord WP WS Ap As s 求阶数和边缘频率 z0 p0 k0 cheb1ap N Ap 求极点 零点和增益 num k0 real poly z0 模拟低通滤波器系统函数的分子多项式 den real poly p0 6 模拟低通滤波器转换成模拟带通滤波器 调用 lp2bp 函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器 numt dent lp2bp num den W0 B 模拟带通滤波器系统函数的分子多项 式和分母多项式 7 模拟带通滤波器转换成数字带通滤波器 利用双线性变换法将模拟带通滤波器 Ha s 转换成数字带通滤波器 H z numd dend bilinear numt dent fs 2 2 程序流程图 首先确定性能指标 把频率转化为数字角频率 进而在进行频率预畸变 用 2 T tan w 2 对带通数字滤波器 H z 的数字边界频率预畸变 得到带通模 拟滤波器 H s 的边界频率主要是通带截止频率 Wp1 Wp2 阻带截止频率 Ws1 Ws2 的转换 抽样频率 fs 10KHz 上述准备工作做好之后 就先把模拟带通性能指标转换成模拟低通性能指 标 然后设计模拟低通滤波器 借助切比雪夫 Chebyshev 滤波器得到模拟低通 滤波器的传输函数 Ha s 然后调用 lp2bp 函数将模拟低通滤波器转化为模拟 带通滤波器 最后利用双线性变换法将模拟带通滤波器 Ha s 转换成数字带通 滤波器 H z 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 读入数字滤波器 技术指标 将指标转换成归一化模拟低通 滤波器的指标 设计归一化的模拟低通滤波器 阶数 N 和 3db 截止频率 模拟低通滤波器变换成 模拟带通滤波器 图 2 1 程序流程图 2 3 音频信号部分程序 1 写入声音信号 y fs nbits wavread 1 wav sound y fs nbits 回放语音信号 N length y 求出语音信号长度 Y fft y N 傅里叶变换 2 产生噪声并加到声音中 noise 0 01 randn N 1 随机函数产生噪声 S y noise 语音信号加入噪声 模拟带通滤波器转换成 数字带通滤波器 开始 结束 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 sound S Si fft S 滤波前傅里叶变换 y1 filter numd dend S sound y1 y2 fft y1 2 仿真结果 2 4 1 滤波器性能仿真 源程序设计了模拟低通滤波器 模拟带通滤波器与数字带通滤波器 对数 字带通滤波器的性能仿真如下 00 511 522 53 100 50 0 w rad H z 信 信 信 信 信 信 db 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 5 0 5 w rad H z 图 2 2 滤波器性能仿真 2 4 2 滤波器除噪性能 为了实现滤波器的应用 程序中加入了有噪声的音频信号 通过对其滤波 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 处理 来显示数字带通滤波器的功能 下面显示未加入噪声 加入噪声和滤波 后的频谱波形图 00 511 522 533 5 x 10 5 1 0 5 0 0 5 1 信 信 信 信 信 信 00 511 52 x 10 4 0 5000 10000 信 信 信 信 信 信 图 2 3 未加噪声的音频特性 01234 x 10 5 0 2000 4000 6000 8000 信 信 信 信 信 信 信 01234 x 10 5 0 200 400 600 800 信 信 信 信 信 信 信 01234 x 10 5 2 1 0 1 2 信 信 信 信 信 信 信 01234 x 10 5 1 0 5 0 0 5 1 信 信 信 信 信 信 信 图 2 4 滤波前后的音频特性 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 由图可知 在 1K 到 2 4K 的频率范围内 滤波器的滤波效果较好 把噪声 基本上全部滤除掉了 3 总结 在拿到题目的那一刹 我被吓着了 赶紧去图书馆找材料 开始解剖题目 知道了什么是切比雪夫 什么是双线性变换 什么是巴特沃斯 学了那么久的 MATLAB 从没看到这些个东西 在网上瞎搜了一阵 到是搜到了一些相关的源程 序 头都看大了 最终终于写出来了一个理想的程序 这次课设下来 对设计带通数字滤波器的整个过程有了很好的掌握 懂得 了设计滤波器的基本方法 对双线性变换法 切比雪夫滤波器有了一定了解 同时呢也熟悉了 MATLAB 的环境 巩固了相关知识 最大的收获是初步了解了数 字滤波器的原理及设计方法 加深了对滤波器的认识 一切从零开始 虽然没 有以绝对完美结束 但在这么短的时间内能够设计成功已经出乎意料之外了 总之 收获还是很大的 在做本次课程设计的过程中 我深深地感受到了自己所学到知识的有限 明 白了只学好课本上的知识是不够的 要通过图书馆和互联网等各种渠道来扩充 自己的知识 在实验过程中我们曾经遇到过问题 但是从中我们学习到了如何 对待遇到的困难 进一步培养了我们一丝不苟的科学态度和不厌其烦的耐心 所有的这些心得会对我以后的学习和工作有帮助作用 忠心感谢学校给我们提 供这次实验机会 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 参考文献 1 程佩青 数字信号处理 北京 清华大学出版社 2007 2 2 景振毅 张泽兵 董霖 北京 中国铁道出版社 2008 12 3 从玉良 数字信号处理原理及其 MATLAB 实现 M 北京 电子工业出版社 2009 7 4 胡广书 数字信号处理理论 算法与实现 M 北京 清华大学出版社 2003 8 郑州轻工业学院 matlab 课程设计说明书 附录 源程序 clear 技术指标 fp1 1200 fp2 3000 fs1 1000 fs2 3200 Ap 1 As 100 fs 10000 T 1 fs wp1 2 pi fp1 T wp2 2 pi fp2 T ws1 2 pi fs1 T ws2 2 pi fs2 T 带通到低通的频率转换 Wp1 2 T tan wp1 2 Wp2 2 T tan wp2 2 WP Wp1 Wp2 模拟滤波器的通带截止频率 Ws1 2 T tan ws1 2 Ws2 2 T tan ws2 2 WS Ws1 Ws2 模拟滤波器的阻带截止频率 B Wp2 Wp1 带通滤波器的通带宽度 W0 sqrt Wp1 Wp2 带通滤波器的中心频率 切比雪夫模拟低通原型滤波器的设计 N Wc cheb1ord WP WS Ap As s 求阶数和边缘频率 z0 p0 k0 cheb1