毕业论文-数学分析中的特殊函数及应用.doc

学士学位论文数学分析中的特殊函数及应用学院、专业数学科学学院 数学与应用数学研究方向函数论学生姓名学号20101101092指导教师姓名指导教师职称副教授2014年4月20日 数学科学学院本科毕业论文淮北师范大学本科生毕业论文（设计）诚信承诺书本人郑重承诺所呈交的毕业论文（设计）数学分析中的特殊函数及应用，是在指导教师 周光辉 的指导下严格按照学校和学院有关规定完成的本人在毕业论文（设计）中引用他人的观点和参考资料均加以注释和说明本人承诺在毕业论文（设计）选题和研究过程中没有抄袭他人的研究成果和伪造相关数据等行为，若有抄袭行为，由本人承担一切责任 承诺人： 年级 专业 签 名： 年 月 日数学分析中的特殊函数及应用摘要函数最早出现于17世纪，特殊函数是数学分析中研究的重要组成部分，在数学分析中我们学习的特殊函数主要有黎曼函数，狄利克雷函数，变限积分函数，函数和函数等等通过对这类函数定义和性质的探究发现了它们除在数学分析中有重要的作用，在概率论，解析数论，微积分，实变函数等领域都有进一步的研究，并且对物理学的渗透越来越深入这些特殊函数的独特性质，在实际中都有特殊应用，在数学分析的发展史上有重要意义本文主要研究了函数、B函数、变限积分函数的性质，以及从性质中推广的一些结论和在积分运算问题上的应用；在最后研究了狄利克雷函数、黎曼函数的性质，以及从性质中推广的一些结论和在定理证明问题上的应用关键词：函数；B函数；变限积分函数；黎曼函数；狄利克雷函数Special function and its application in mathematical analysisABSTRACTThe function first appeared in the 17th centuryThe special function is an significant part to research the mathematical analysisAmong the mathematical analysis，what we study mainly are Riemann function，Dirichlet function，Variable limit integral function，Beta function，Gamma function and so onThrough exploring the definition and properties of this kind of function，we can find functions what we mentioned above not only play an important role in the mathematical analysis，but also have a further research in probability theoryanalytic number theory，calculus，real variable function and other fields，at the same time，they have been more and more accessible to physicsThose unique properties of these special functions have its special application，and it is of great significance in the history of the development of mathematical analysisThis paper mainly researches the properties of Gamma function，Beta function and Variable limit integral function，the applications of the generalized conclusions of the above functions，and some problems in integral operationAt last，we discuss the properties of the Dirichlet function，Riemann function，the generalized propositions and their applications in proof of other theorems Keywords：Riemann function；Dirichlet function；Variable limit integral function；Beta function；Gamma functionII目录摘要IABSTRACTII目录III引言1第一章 函数的性质及应用1一、函数的性质1二、函数的应用2第二章 函数的性质及应用4一、函数的性质4二、函数的应用5第三章 变限积分函数的性质及其应用7一、变限积分函数的性质7二、变限积分函数的应用8第四章 Dirichlet函数10一、与的性质11二、Dirichlet函数的应用11第五章 Riemann函数13一、Riemann函数的性质13二、Riemann函数的应用13第六章 结论14参考文献15致谢16III引言众所周知，特殊函数是数学中极为重要的一个分支，在数学学科的许多其他重要分支中有着重要的应用特殊函数是指除了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其逆函数这些早已为大家所熟悉而经常使用的函数一般说来，一个或多个函数常是由能完全标志该函数的微分方程或积分方程或其他某种方程连同定解条件所规定对于一个常见的函数，我们首先需要利用已经知道的熟悉的函数的知识予以表示，通过分析掌握这种函数的基本特性本文主要研究黎曼函数、狄利克雷函数、变限积分函数、函数和函数等，然后对其重要的性质进行归纳总结，最后通过实例来讲述它们的一些应用这些特殊函数的独特性质，在实际中都有重要的应用，在数学分析的发展史上有深远意义第一章 函数的性质及应用定义 称含有参变量的积分 （1-1）为函数一、函数的性质1在定义域内连续而且可导2， 3 4函数的留数在极点处的留数为 （1-2）5Euler无穷乘积公式 （1-3）6与三角函数的关系 （1-4）7乘积公式 （1-5）8函数的对数微商 （1-6）二、函数的应用例1计算，. 解 例2计算 解，例3 证明， 证明令，则，即例4已知，试证解例5 随机变量服从瑞利分布，其概率密度为 （其中），求解 ，令，令，则可以得到，例6 由统计物理学知，分子运动速度的绝对值服从麦克斯韦尔分布，其概率密度为 ，其中求分子的平均动能及动能的方差（设分子质量为）解 设随机变量表示分子的动能，则，那要求的就是 ，因为，令，则可以得到，所以，因此平均动能，；动能方差第二章 函数的性质及应用定义 形如 （2-1）的含参变量积分称为函数,其中，当时，是以为暇点的无界函数反常积分，当时，是以为暇点的无界函数反常积分 一、函数的性质1连续性：在定义域内连续，有连续的偏导数2对称性：，3递推公式：， 4函数的等价形式： （2-2）二、函数的应用1、函数在定积分中的应用例1 计算定积分，其中解 首先做变元替换，令，于是得到 例2 求积分解 ，其中令，则有=令，上式可以化为2、函数在重积分中的应用例3 计算，其中是由，及这三条直线所围成的闭区域，解 首先要做变换，且，这个变换将区域 映照成正方形：于是有 例4 已知区域，已知正实数满足计算重积分解先作变换，则有 ，其中，取球面坐标，于是有上式中的前两个积分，利用例1的结果能得到； 对第三个积分利用例1的结果可以得到因为，所以积分收敛；而积分收敛当且仅当，即因此满足时，收敛，从而原积分收敛令，就可以得到：，因此3、函数在广义积分中的应用 例5 计算积分 解 例6 求积分解 设，则可以得到第三章 变限积分函数的性质及其应用定义 设在上可积，则对，在上也可积，于是，由， (3-1)定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限函数类似地，可定义变下限的函数：， (3-2)和统称为变限函数，也叫做面积函数一、变限积分函数的性质1若函数在上可积，则变上限函数 在上连续2若函数在上连续，则变上限函数 在上处处可导，并且它的导数 ， （3-3）3设函数在上可积(i)若函数在上减，且，则存在，使得 （3-4）（ii）若函数在上增，且，则存在，使得 （3-5） 4若函数在上连续，在上可积，且满足，则有定积分换元公式：（3-6）5设二元函数是平面区域:上的连续可微函数，为定义在区间上的可微函数，则有 （3-7）二、变限积分函数的应用1、求分段函数的原函数例1 设，求的原函数.解 例2 设，求 解 若，若，所以， 2、求幂级数的和函数例3 求和函数 解 设则， 设，则可以得到，于是， 即再进行求导，得到3、求微分方程的特解例4 求方程满足的特解解根据一阶方程解存在唯一性定理，方程满足条件的特解是4、变限积分函数作为辅助函数证明不等式1 例5 设在区间上连续，并且单调递增，试求证 解 设，则有对，关于求导有由于单调递增，因此，单调递增，所以有，命题得证 5、含有变限积分的未定型极限例6求极限解例7 求极限 解 例8求解 根据洛必达法则 第四章 Dirichlet函数定义2 对，令， （4-1）则称函数为定义在实数集上的Dirichlet函数 对，令， （4-2）则称为定义在实数集上的Dirichlet拓展函数一、与的性质1任何的正有理数都是与的周期，但是任何的无理数都不是或的周期2与在实数集的任何区间上都不具有单调性3与都是有界函数4与都是偶函数5与在上处处不连续6，及都不存在7与在任何区间上非可积2二、Dirichlet函数的应用1、用来否定似是而非的命题例1 与都不连续，则与也不连续显然是错误的例如，令，易知,都是实数上处处不连续的函数，但，均为常函数，当然都是连续函数例2 非有界变差函数，则和也非有界变差函数答案是错误的例如，在上令，则为非有界变差函数事实上，设上的划分，其中当取偶数时，为有理数；当取奇数时，为无理数这时，随着划分的无限细密，趋于无穷大，即是一无界集，所以为非有界变差函数，而为常数函数，对与上的一切划分，均有，所以和都是有界变差函数，且 2、用来纠正直观上可能产生的错觉例3 “可积3与可积等价”的反例例如，在上定义，则在上非可积，但却是可积的首先，为有界函数，区间为可测集，即为可测集上的有界函数， 取的分划，满足，为有理数集，为无理数集，则，所以在上是可积的例4“不存在函数仅在一点连续”的反例例如，令，因为，所以，在处连续但当时，因为不连续，所以不连续 3、用来说明命题或定理的条件与结论的不可更改性例5 “逐项求导的 Fubini定理4”中函数列中诸函数的单调性条件不能少例如，设中全体有理数为，对每个，在上定义，显然，对每一，函数除点外恒等于零，但不是单调函数另一方面，易知，由于在上处处不连续，则处处不可导，更谈不上逐项求导了第五章 Riemann函数定义Riemann函数是定义的特殊函数，其表达式如下：， （5-1）一、Riemann函数的性质1在任意点，且极限值2一切无理点是的连续点，而一切有理点是的可去不连续点3在区间中每一点都不可导4在区间上不存在原函数，而且在上的任一个区间都不存在原函数二、Riemann函数的应用例15证明:在区间内所有无理点及连续，但在内所有有理点不连续证明由性质1可以知道，若为区间的无理点或者0，1，则由于，因此由定义在连续（其中在右连续，并且在左连续）；若为区间的有理点，则由于，因此由定义在处不连续，并且是的可去间断点例25证明：在区间可积，并且 证明对，因为在上使的点至多有有限个，所以设有个，则对区间的任何分割，属于的振幅的所有小区间的个数，现在取的一个分割，使得，则属于的振幅的所有小区间的总长 由可积的充要条件在区间上可积有对的任何分割，在所属的每一个小区间上均取介点作为无理点，作积分和可以得到 ，因为在区间上可积，因此由定积分定义可以得到 第六章 结论 本文较为详细的研究了黎曼函数、狄利克雷函数、变限积分函数、函数和函数这五个特殊函数的性质以及应用这些函数在数学理论的发展中及其其他科学领域的应用中起着重要的作用，它们往往改变了人们传统的或者说直观的理解，从而推动数学甚至整个科学技术的发展当今世界由于计算技术的不断发展，特殊函数的理论和计算已经成为近代分析的许多分支以及力学、物理学等领域不可或缺的重要工具进一步研究更广泛的特殊函数，无论在理论上还是应用上都具有重要意义参考文献1 王淑艳，魏兰阁变限积分的应用J保定师范专科学校学报，2007，20(2)：22.2 邓东皋，尹小玲数学分析简明教程（上册）M北京：高等教育出版社，1999.3 林艺数学小百科M.北京：机械工业出版社，19994 邓东皋，尹小玲数学分析简明教程（下册）M北京：高等教育出版社，1999.5 薛怀玉，杜兴朝 Riemann函数的解析性质J咸阳师范学院学报，2001，16(4)：57-58.6 华东师范大学数学系数学分析M北京：高等教育出版社， 19997 徐利治数学分析的方法及例题选讲M北京： 高等教育出版社，19858 刘玉涟，傅沛仁数学分析讲义M北京：高等教育出版社，20059 吉米多维奇数学分析习题集题解M济南： 山东科学技术出版社，1983 10 徐群芳函数在概率论计算中的应用J西安联合大学学报，2002，5(17)：64-66.11 林艺，李军狄利克雷函数的应用研究