高中数学 1.3.2.2 等比数列习题课同步课件 北师大版必修5.ppt

等比数列的基本运算等比数列中的基本运算等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 所求问题可迎刃而解 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式并灵活运用 在运算过程中 还应善于运用整体代换思想 简化运算的过程 在使用等比数列的前n项和公式时 应根据公比q的情况进行分类讨论 切不可忽视q的取值而盲目用求和公式 例1 1 已知sn为等比数列 an 的前n项和 sn 93 an 48 公比q 2 则项数n 2 已知四个实数 前三个数成等差数列 后三个数成等比数列 首末两数之和为37 中间两数之和为36 求这四个数 审题指导 1 可通过建立首项a1 项数n的方程组求解 2 根据条件可设出其中的两个数 再通过一些条件表示出另两个数 然后求解 规范解答 1 由sn 93 an 48 公比q 2 根据等比数列的前n项和公式和通项公式可得答案 5 2 方法一 设前2个数分别为a b 则第3 4个数分别为36 b 37 a 则解得或所以这四个数分别为12 16 20 25或者 方法二 设第2 3个数分别为b c 则第1个数为2b c 第4个数为则或所以这四个数分别为12 16 20 25或者 方法三 设第1 3个数分别为a c 则第2 4个数分别为然后根据题意可知或者从而解得这四个数分别为12 16 20 25或者 互动探究 若把本例的第一问中条件和结论部分倒置如下 已知sn为等比数列 an 的前n项和 s5 93 a5 48 且公比为正整数 则公比怎么求 解析 由s5 93 a5 48 根据等比数列的前n项和公式和通项公式可得整理得15q5 31q4 16 由于公比为正整数 验证可得q 2 变式训练 由正数组成的等比数列 an 若前2n项之和等于它的前2n项中的偶数项之和的11倍 第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍 求数列 an 的通项公式 解题提示 从题目的已知条件可以看出 本题是等比数列的前n项和与等比数列的项的基本运算 所以 可以直接设出未知量 运用方程组解得即可 但是要注意公比是否为1 解析 当q 1时 得2na1 11na1不成立 q 1 由 得代入 得a1 10 等差数列与等比数列的综合等差数列与等比数列综合题求解策略解决这类问题的关键点是分清楚哪个数列是等差数列哪个数列是等比数列 结合点是等差数列与等比数列的公共问题 如公共项 的表示 方法是利用等差 等比的基本量 首项 公差 公比等 表示关系 进行求解 例2 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设证明 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和sn 审题指导 在证明等差数列时 要寻求bn 1与bn的关系 从而求得bn的通项公式进行判断 在求解第 2 问时应首先根据关系求得an的表达式 然后根据特点 选择求和方法 规范解答 1 由已知an 1 2an 2n得又b1 a1 1 因此 bn 是首项为1 公差为1的等差数列 2 由 1 知即an n 2n 1 sn 1 2 21 3 22 n 2n 1 两边乘以2得2sn 2 2 22 n 2n 两式相减得sn 1 21 22 2n 1 n 2n 2n 1 n 2n n 1 2n 1 变式训练 设数列 an 的前n项和为sn 2n2 bn 为等比数列 且a1 b1 b2 a2 a1 b1 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 设求数列 cn 的前n项和tn 解析 1 当n 1时 a1 s1 2 当n 2时 an sn sn 1 2n2 2 n 1 2 4n 2 当n 1时 也满足此式 故 an 的通项公式为an 4n 2 即 an 是a1 2 公差d 4的等差数列 设 bn 的公比为q 则b1qd b1 d 4 故即 bn 的通项公式为 2 tn c1 c2 cn 1 3 41 5 42 2n 1 4n 1 4tn 1 4 3 42 5 43 2n 3 4n 1 2n 1 4n 两式相减得3tn 1 2 41 42 43 4n 1 2n 1 4n 误区警示 在利用错位相减法时有些同学常常会漏掉作差后的第一项和最后一项 并且有的同学会弄错符号 因此在解答该类问题时要十分注意 等比数列的综合应用综合问题的求解技巧 1 阅读题意 分析清楚各项之间的关系 2 用基本量 a q等 表示各项 找到等量关系的方程 组 3 观察待求式子的特点 选择合适的方法求和 如错位相减适用特点 分组求和适用特点等 在数列求和时 如果能转化为等差或等比数列时 可以利用等差或等比数列的求和公式求解 如果不能转化为等差或等比数列时可采用求和的一些技巧法求解 如错位相减 裂项求和等 例3 已知 an 是各项均为正数的等比数列 且 1 求 an 的通项公式 2 设求数列 bn 的前n项和tn 审题指导 本题考查了数列通项 前n项和及方程与方程组的基础知识 1 设出公比根据条件列出关于a1与q的方程求得a1与q 可求得数列的通项公式 2 由 1 中求得数列通项公式 可求出 bn 的通项公式 由其通项公式转化成两个等比数列分别求和 即可求得 规范解答 1 设公比为q 则an a1qn 1 由已知有化简得又a1 0 故q 2 a1 1 所以an 2n 1 2 由 1 知 因此数列 bn 的前n项和 变式训练 2011 青岛模拟 已知函数f x ax2 bx a 0 的导函数f x 2x 7 数列 an 的前n项和为sn 点pn n sn n n 均在函数y f x 的图像上 求数列 an 的通项公式及sn的最大值 解析 由题意可知 f x ax2 bx a 0 f x 2ax b 由f x 2x 7对应相等可得 a 1 b 7 所以可得f x x2 7x 又因为点pn n sn n n 均在函数y f x 的图像上 所以有sn n2 7n 当n 1时 a1 s1 6 当n 2时 an sn sn 1 2n 8 n 1时 a1 6 an 2n 8 n n 令an 2n 8 0得n 4 当n 3或n 4时 sn取得最大值12 综上 an 2n 8 n n 当n 3或n 4时 sn取得最大值12 例 已知数列 an 的前n项和为sn 且sn n 5an 85 n n 1 求证 an 1 是等比数列 2 求数列 sn 的通项公式 并求出使得sn 1 sn成立的最小正整数n 审题指导 首先利用an与sn的关系求出an与an 1的关系 从而证明 an 1 为等比数列 第 2 问根据 1 求出an 从而求得sn 根据sn 1 sn求n 规范解答 1 当n 1时 a1 1 5a1 85 所以a1 14 当n 2时 an sn sn 1 n 5an 85 n 1 5an 1 85 化简得 6an 5an 1 16 an 1 5 an 1 1 所以 an 1 是以a1 1 15为首项 公比为的等比数列 2 由 1 得所以且由sn 1 sn 得化简 得所以故最小的整数n取15 变式备选 已知定义在r上的函数f x 和数列 an 满足下列条件 an f an 1 n 2 3 4 f an f an 1 n 2 3 4 若a1 30 a2 60 令bn an 1 an n n 1 证明数列 bn 是等比数列 并求数列 bn 的通项公式 2 设cn log2bn sn c1 c2 c3 cn 求使sn取最大值时n的值 解析 1 bn an 1 an bn 1 an 2 an 1 数列 bn 是等比数列 2 方法一 cn log215 2 n cn 1 cn 1 数列 cn 是递减的等差数列 令cn 0得n 2 log215 log215 3 4 2 log215 5 6 数列 cn 的前5项都是正的 第6项开始全部是负的 n 5时 sn取最大值 方法二 cn log215 2 n cn 1 cn 1 数列 cn 是等差数列 对称轴直线 n n n 5时 sn取最大值 典例 12分 2011 大纲版全国高考 设等比数列 an 的前n项和为sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和sn 审题指导 本题考查的是等比数列的基本运算 首先用a1和q表示已知条件列出方程组 进行求解 得出a1和q 然后求an和sn 规范解答 设等比数列 an 的公比为q 4分当q 2时 6分 8分当q 3时 10分 12分 误区警示 对解决本题易犯错误具体分析如下 即时训练 已知数列1 3a 5a2 2n 1 an 1 a 0 求其前n项和 解析 设sn 1 3a 5a2 2n 1 an 1 则asn a 3a2 5a3 2n 3 an 1 2n 1 an 得 1 a sn 1 2a 2a2 2a3 2an 1 2n 1 an 当a 1时 当a 1时 前n项和为 1 在等比数列 an 中 a1 1 公比 q 1 若am a1a2a3a4a5 则m a 9 b 10 c 11 d 12 解析 选c 要求m可以先根据通项公式把am表示出来 然后根据通项公式确定m的值 根据题意可知 am a1a2a3a4a5 q q2 q3 q4 q10 a1q10 因此有m 11 2 在等比数列 an 中 a5 a11 3 a3 a13 4 则 a 3 b c 3或 d 3或 解析 选c a5 a11 a3 a13 3 a3 a13 4 a3 1 a13 3或a3 3 a13 1 或 3 已知等比数列 an 满足a1 a2 3 a2 a3 6 则a7 a 64 b 81 c 128 d 243 解析 选a a1 a1q 3 a1 1 a7 1 27 1 64 4 数列的前n项和sn为 a b c d 解析 选a 在求解过程中需要注意把通项公式的整数部分和分数部分写出其通项 然后各自求和 因为则 5 成等差数列的三个正数的和等于15 并且这三个数分别加上2 5 13后成为等比数列 bn 中的b3 b4 b5 1 求数列 bn 的通项公式 2 数列 bn 的前n项和为sn 求证 数列是等比数列 解析