度高中数学 1.2.1平面的基本性质同步辅导与检测课件 苏教版必修2.ppt

立体几何初步 1 2点 线 面之间的位置关系1 2 1平面的基本性质 我们在日常生活中常见到一些物体如湖面 黑板面 桌面 玻璃面 都给我们以平面的感觉 那么我们能够将这些面定义为平面吗 测量中的平板仪 望远镜或照相机等都用三条腿的架子支撑在地面上 你知道其中的道理吗 1 我们知道 几何里的平面是无限延展的 通常把水平的平面画成一个平行四边形 常用符号的规定是 1 a 读作 b 读作 2 a l 读作 b l 读作 3 l 读作 l 读作 的两条直线叫做异面直线 2 公理1 1 文字语言 如果 那么 2 符号语言 a l b l a b 1 1 点a在平面 内点b在平面 外 2 点a在直线l上点b在直线l外 3 直线l在平面 内直线l在平面 外不同在任何一个平面内2 1 一条直线上的两点在一个平面内这条直线上所有的点都在这个平面内 2 l 3 公理2 1 文字语言 如果两个平面 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是 2 符号语言 p p 4 公理3 1 文字语言 经过 的三点 一个平面 2 符号语言 a l b l c l 3 1 有一个公共点经过这个公共点的一条直线 2 l p l4 1 不在同一条直线上有且只有 2 三点a b c确定唯一平面 5 推论1 经过 一个平面 6 推论2 经过 一个平面 7 推论3 经过 一个平面 5 一条直线和这条直线外的一点有且只有6 两条相交直线有且只有7 两条平行直线有且只有 基本性质1 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 该公理是判定直线在平面内的依据 证明一条直线在某一平面内 即只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内即可 基本性质2 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线 公理2主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一条直线上 证明点共线的问题 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 依据 由点在线上 线在面内 推出点在面内 这样 可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上 证明共点问题 一般是先证明两条直线交于一点 再证明这点在第三条直线上 而这一点是两个平面的公共点 这第三条直线是这两个平面的交线 基本性质3及其三个推论 公理3 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点 有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 公理3和三个推论是证明点和点 点和线 线和线共面的重要依据 是把空间问题化归成平面问题的重要渠道 点 线共面 1 不共面的四点可以确定几个平面 2 三条直线两两平行但不共面 它们可以确定几个平面 3 共点的三条直线可以确定几个平面 分析 1 可利用公理2判定 2 可利用公理3的推论3判定 3 需分类讨论进行判定 解析 1 不共面的四点可以确定四个平面 2 三条直线两两平行但不共面 它们可以确定3个平面 3 共点的三条直线可以确定1个或3个平面 规律总结 判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件 要做到不重不漏 平面的确定问题主要是根据已知条件和公理3及其3个推论来判平面的个数 变式训练 1 在下列各种面中 不能认为是平面一部分的应该为 黑板面 乒乓球桌面 篮球的表面 平静的水面 解析 平面 的各部分都是 平 的 不能作为平面的部分只能是 曲 的 所以黑板面 乒乓球桌面 平静的水面可作为平面的一部分 而篮球的表面是一个曲面 不能作为平面的一部分 答案 点共线问题 正方体abcd a1b1c1d1中 对角线a1c与平面bdc1交于点o ac bd交于点m 求证 点c1 o m三点共线 分析 要证若干点共线的问题 只需证这些点同在两个相交平面内即可 证明 如下图所示 a1a c1c 确定平面a1c 方法点拨 证明点共线的问题 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 这样 可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上 线共点问题 已知空间四边形abcd中 e h分别是边ab ad的中点 f g分别是边bc cd上的点 且 如右图所示 求证 三条直线ef gh ac交于一点 分析 欲证三线共点 可证其中两条直线有交点 且该交点在第三条直线上 四边形efgh为梯形 从而两腰ef gh必相交于一点p p 直线ef ef 平面abc p 平面abc 同理p 平面adc p在平面abc和平面adc的交线ac上 故ef gh ac三直线交于一点 方法点拨 平面几何中证多线共点的思维方法适用于空间 只是在思考中应考虑到空间图形的新特点 变式训练 2 如下图 已知平面 且 l 设梯形abcd中 ad bc 且ab cd 求证 ab cd l共点 相交于一点 证明 梯形abcd中 ad bc ab cd是梯形abcd的两条腰 ab cd必定相交于一点 设ab cd m 又 ab cd m 且m m 又 l m l 即ab cd l共点 公理3的三个推论 求证 两两相交且不共点的四条直线共面 分析 首先应分析两两相交且不共点的四条直线有几种情况 本题四线不共点 但有可能三线共点 或没有三线共点 所以应分两种情况证明 第一种 四条直线中每三条直线都不交于一点 第二种 四条直线中有三条直线交于一点 证明 证法一 设a b c d为两两相交且不共点的四条直线 如右图 若a b c共点且交点为p d与a b c分别交于s r q a d s a d确定一个平面 设为 公理3的推论2 q d p a a d q p c 公理1 同理 b a b c d共面 若a b c d每三条都不交于一点 如右图 a d p b d q c d r a b s a c m b c n a d p a d确定一个平面 设为 q d s a a d q s b 同理c a b c d共面 证法二 若a b c相交于p点 a b p a b确定一平面 d a s d b r s r d b c p b c确定一平面 d c q d b r r q d 存在两相交直线b d既在 内 又在 内 与 重合 a b c d共面 若a b c d无三线交于一点 由a b确定平面 d c确定平面 c a m c b n d b q m n q m n q不共线 有三个不共线的点 重合 即a b c d共面 规律总结 四条直线两两相交且不交于一点与三条直线两两相交且不交于一点不同 后者只是一种情况 前者是两种情况 证共面用上述方法即先用已知确定一平面 再证其余元素在此平面内 变式训练 3 如右图 经过直线a外一点a 引三条直线分别与a相交于点b c d 求证 a ab ac ad四线共面 证明 点a是直线a外的一点 由推论1可知 经过直线a和点a的平面有且只有一个 设为平面 b c d a b c d 又 a 直线ab ac ad均在平面 内 a ab ac ad四线共面 基础巩固 平面的概念及符号表示 1 下列命题中 正确的个数为 个 一个平面长4m 宽2m 2个平面重叠在一起比一个平面厚 一个平面的面积是25cm2 一条直线的长度比一个