高中数学 1.4 数列在日常经济生活中的应用同步课件 北师大版必修5.ppt

1 掌握单利 复利的概念及本利和的计算公式 重点 2 掌握零存整取 定期自动转存 分期付款三种模型及其应用 重点 难点 在分期付款中 各期所付款额及各期所付款额所生的利息之和等于商品的售价吗 提示 不相等 应等于商品售价及从购买到最后一次付款时利息之和 三种应用模型的理解 1 零存整取 每月定时存入一笔相同数目的现金 这是零存 到约定日期 取出全部本利和 这是整取 规定每次存入的钱不计复利 暂不考虑利息税 2 定期自动转存 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存 例如 储户某日存入一笔存期为1年的存款 1年后 如果储户不取出本利和 则银行自动办理转存业务 第2年的本金就是第1年的本利和 3 分期付款 分期付款是购物的一种付款方式 即将所购物的款数在规定的期限按照一定的要求 分期付清 每期付款金额相同 等差数列模型等差数列模型解读 1 单利的计算是仅在原有本金上计算利息 而本金所产生的利息不再计算利息 其公式为利息 本金 利率 存期 本利和 本金 1 存期 利率 零存整取是等差数列求和在经济方面的应用 2 在数列应用题中 若an 1与an的关系满足an 1 an d d为常数 时 则可以应用等差数列模型解决 要通过对题意的分析 说明数列为等差数列 然后设出有关量 如an d等 例1 用分期付款方法购买一件家电 价格为1150元 购买当天先付150元 以后每月这一天都交付50元 并加付欠款的利息 月利率为1 分20次付完 若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月 问分期付款的第十个月该交付多少钱 全部贷款付清后 买这件家电实际花多少钱 审题指导 解决本题的关键是审题 建立等差数列模型 应用等差数列的通项公式及前n项和公式求解 但需注意最后一次付款利息是50元欠款的利息 第一次付款利息是1000元的利息而不是950元 规范解答 购买时付150元 欠1000元 每月付50元 分20次付清 设每月付款数顺次成数列 an 则a1 50 1000 1 60 元 a2 50 1000 50 1 59 5 60 0 5 1 元 a3 50 1000 50 2 1 59 60 0 5 2 元 依次类推 a10 50 1000 50 9 1 55 5 60 0 5 9 元 an 60 0 5 n 1 0 5n 60 5 1 n 20 n n 所以 an 组成以60为首项 0 5为公差的等差数列 所以 总数 元 第十个月该交55 5元 全部付清实际花1255元 变式训练 用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套 如果购买时先付5万元 以后每年付2万元加上欠款利息 签订购房合同后1年付款一次 再过1年又付款一次 直到还完为止 商定年利率为10 则第5年应付多少元 购房款全部付清后实际共付多少元 解题提示 把每次付款的金额构成数列 写出前几项 按照规律找到通项公式 然后判断是等差数列 求出前10项的和 回归到实际问题中去 解析 购买时先付5万元 余款20万元按题意分10次分期还清 每次付款数组成数列 an 则a1 2 25 5 10 4 万元 a2 2 25 5 2 10 3 8 万元 a3 2 25 5 2 2 10 3 6 万元 an 2 25 5 n 1 2 10 4 万元 n 1 2 10 因而数列 an 是首项为4 公差为的等差数列 万元 万元 因此第5年应付3 2万元 购房款全部付清后实际共付36万元 等比数列模型等比数列模型解读 1 复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金 在计算时每一期本金的数额是不同的 复利的计算公式为 本利和 本金 1 利率 n 定期自动转存 复利 是等比数列求和在经济方面的应用 2 在数列应用题中 通过阅读题目题意 发现an 1与an之间的关系满足 q为常数 且q 0 则数列 an 为等比数列 故这一类题目可用等比数列的模型解决 解题时 可通过不完全归纳法 先列出一些简单的具体的情况 然后再写出一般关系式 例2 经调查 近10年来我国城市垃圾的年平均增长率为3 到2011年底堆存垃圾已达60亿吨 侵占了约5亿平方米的土地 目前我国还以年产1亿吨的速度产生新的垃圾 垃圾治理已刻不容缓 1 问2001年我国城市垃圾约有多少亿吨 2 如果从2012年起 每年处理上年堆存垃圾的到2017年底 我国城市垃圾约有多少亿吨 可节约土地多少亿平方米 审题指导 首先阅读题目 思考已知量和未知量 并且 考虑它们之间的关系 可以设出一个基数进行计算 如可以设10年前我国城市垃圾约有a亿吨 然后表示各个数据 进行处理 规范解答 1 设10年前我国城市垃圾约有a亿吨 则有a a 1 3 a 1 3 2 a 1 3 9 60 2 2012年底有垃圾亿吨 2013年底有垃圾2014年底有垃圾 2017年底有垃圾 亿吨 共处理了60 36 6 23 4 亿吨 垃圾 所以可节约土地 亿平方米 变式训练 某地区原有森林木材存量为a 且每年增长率为25 因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b 设an为n年后该地区森林木材存量 1 求an的表达式 2 为保护生态环境 防止水土流失 该地区每年的森林木材存量要不少于如果那么该地区今后会发生水土流失吗 若会 需要经过几年 取lg2 0 301 解析 1 方法一 设第一年森林木材存量为a1 第n年后的森林木材存量为an 则 方法二 设第n年森林木材存量为an 则第n 1年木材存量为an 1 n 2 故即所以 n 2 所以 an 4b 组成以a1 4b为首项 为公比的等比数列 所以 即 2 由即整理得 解得所以该地今后会发生水土流失 大约需要经过7年 分期付款模型关于分期付款的理解 1 分期付款分若干次付款 每次付款的款额相同 各次付款的时间间隔相同 2 分期付款中双方的每月 年 利息均按复利计算 即上月 年 的利息要计入下月 年 的本金 3 分期付款中规定 各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息和 等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和 这在市场经济中是相对公平的 4 分期付款是数列知识的一个实际应用 在现实生活中形式很多 要注意在平时的学习生活中 及时发现问题 用数学的方法去分析 解决问题 例3 陈老师购买安居工程集资房92平方米 单价为1000元 平方米 一次性国家财政补贴28800元 学校补贴14400元 余款由个人负担 房地产开发公司对教师实行分期付款 每期为一年 等额付款 签订购房合同后一年付款一次 再经过一年又付款一次 共付10次 10年后付清 如果按年利率7 5 每年按复利计算 那么每年应付款多少元 计算结果精确到1元 审题指导 解决本题可以有两种思路 一是以 商品购买后1年贷款全部付清时 其商品售价增值多少和所付贷款增值多少 两条线来计算 二是直接以 顾客所欠贷款 为主线 求出每期应付款多少 总共应付款多少 规范解答 方法一 设每年应付款x元 那么到最后一次付款时 即购房十年后 第一年付款及所生利息之和为x 1 0759元 第二年付款及所生利息之和为x 1 0758元 第九年付款及其所生利息之和为x 1 075元 第十年付款为x元 而所购房余款的现价及其利息之和为 1000 92 28800 14400 1 07510 48800 1 07510 元 因此有x 1 1 075 1 0752 1 0759 48800 1 07510 x 48800 1 07510 7109 元 答 每年需交款7109元 方法二 假设每次还款x元 则第1次还款后本利欠款数为 1000 92 28800 14400 1 7 5 x 48800 1 075 x 第2次还款后本利欠款数为 48800 1 075 x 1 075 x 48800 1 0752 1 075x x 第3次还款后本利欠款数为 48800 1 0752 1 075x x 1 075 x 48800 1 0753 1 0752x 1 075x x 第10次还款后本利欠款数为48800 1 07510 1 0759 1 0758 1 x 由题意知 第10次还款后欠款全部还清 故有48800 1 07510 1 0759 1 0758 1 x 0即 元 答 每年需交款7109元 互动探究 本例中陈老师个人负担的部分 除已有存款外 尚缺10000元 便以月利率为1 的复利方式计息借贷 陈老师从借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清 试问每月应支付多少元 不满百元凑足百元 lg1 01 0 0043 lg1 061 0 0258 lg1 07 0 0294 解析 方法一 设每个月还贷a元 第1个月后欠款为a0元 以后第n个月还贷a元后 还剩下欠款an元 1 n 6 则a0 10000 a1 1 01a0 a a2 1 01a1 a 1 012a0 1 1 01 a a6 1 01a5 a 1 016a0 1 1 01 1 015 a 由题意可知a6 0 即1 016a0 1 1 01 1 015 a 0 又因为lg1 016 6lg1 01 0 0258 所以1 016 1 061 答 每月应支付1740元 方法二 一方面 借款10000元 将此借款以相同的条件存储6个月 则它的本利和为s1 104 1 0 01 6 104 1 016 元 另一方面 设每个月还贷a元 分6个月还清 到贷款还清时 其本利和为 由s1 s2 得以下解法同方法一 得a 1740 答 每月应支付1740元 例 职工小张年初向银行贷款2万元用于购房 银行贷款的年利率为10 按复利计算 即本年的利息计入次年的本金 若这笔贷款要分10年等额还清 每年年初还一次 并且从借款后次年年初开始归还 问每年应还多少元 精确到1元 审题指导 解决本题的关键是正确理解题目含义 然后根据还款时间 还款金额和利息找出每年应还的款项 再求和找到等式进行求解 规范解答 设每年还款x元 需10年还清 那么每年还款及利息情况如下 第10年还款x元 此次欠款全部还清 第9年还款x元 过1年欠款全部还清时 所付款连同利息之和为x 1 10 元 第8年还款x元 过2年欠款全部还清时 所付款连同利息之和为x 1 10 2元 第1年还款x元 过9年欠款全部还清时 所付款连同利息之和为x 1 10 9元 根据题意可得 x x 1 10 x 1 10 2 x 1 10 9 20000 1 10 10 每年应还款3255元 变式备选 购买一件售价为5000元的商品 采用分期付款的方法 每期付款数相同 购买后1个月付款一次 过1个月再付款一次 如此下去 到第12次付款后全部付清 如果月利率为0 8 每月利息按复利计算 上月利息计入下月本金 那么每期应付款多少元 精确到1元 解析 设每期应付款x元 则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x 1 0 008 11元 第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为x 1 0 008 10元 第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x 1 0 008 元 第十二期付款已没有利息问题 即为x元 所以各期付款连同利息之和为又所购商品的售价及其利息之和为5000 1 00812 于是有 x 439 元 答 每期应付款约439元 考试制度 典例 12分 2011 潍坊高二检测 某企业进行技术改造 有两种方案 甲方案 一次性贷款10万元 第一年便可获利1万元 以后每年比前一年增加30 的利润 乙方案 每年贷款1万元 第一年可获利1万元 以后每年比前一年增加5千元 两种方案使用期都是10年 到期一次性归还本息 若银行两种形式的贷款都按年息5 的复利计算 试比较两种方案中 哪种纯获利更多 取1 0510 1 629 1 310 13 786 1 510 57 665 审题指导 解决本题的关键是正确地阅读题目 找出等量关系 然后分别根据各自的方案计算方案纯获利情况 再进行对比 确定最优方案 规范解答 甲方案获利 1 1 30 1 30 2 1 30 9 万元 3分银行贷款本息 10 1 5 10 16 29 万元 故甲方案纯获利 42 62 16 29 26 33 万元 6分 乙方案获利 1 1 0 5 1 2 0 5 1 9 0 5 10 1 万元 8分银行本息和 1 05 1 1 5 1 5 2 1 5 9 万元 10分故乙方案纯获利 32 50 13 21 19 29 万元 综上 甲方案纯获利更多 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 某单位从2011年起 每人的工资由三个项目组成并按下表规定实施 现有一职工杨某 2010年到该公司工作 假设杨某一直在该公司工作 那么2020年 杨某的工资是多少元 参考数据 1 19 2 36 1 110 2 6 1 111 2 85 解析 杨某2011年的基本工资为1 1万元 2012年的基本工资为1 12万元 那么到2020年的基本工资为1 110万元 又杨某的住房补贴第1年 第2年 第3年 依次为 400元 500元 600元 它们组成一等差数列 an 其中首项a1 400 公差d 100 到2020年杨某的住房补贴为a10 400 11 1 100 1400元 2020年的医疗补助为1000元 所以杨某2020年的总工资为 1 110 10000 1400 1000 28400 元 1 某产品计划每年成本降低q 若三年后成本为a元 则现在的成本是 a a 1 q 3 b a 1 q 3 c d 解析 选c 设现在的成本为x 则x 1 q 3 a 故故选c 2 一个集团的年产值在10年内翻了两番 则其年增长率是 a b c d 解析 选c 设原来年产值为a 10年中的平均增长率为r 则a 1 r 10 4a 所以故选c 3 某房地产开发商在销售一幢23层的商品楼之前按下列方法确定房价 由于首层与顶层均为复式结构 因此首层价格为a1元