高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解配套课件 新人教A版必修1.ppt

3 1 2用二分法求方程的近似解 学习目标 1 能够根据具体函数图象 借助计算器用二分法求相应方 程的近似解 2 通过用二分法求方程近似解的过程 体会函数零点与方程的根之间的联系 初步形成用函数观点处理问题的意识 1 二分法的定义对于区间 a b 上 且 的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点的近似值的方法叫做二分法 根据函数的零点与相应方程根的关系 可以用二分法求方程的近似解 连续不断 f a f b 0 一分为二 零点 2 在用二分法求方程近似解的过程中 所选区间的长度尽量 区间端点的函数值的符号 最后满足区 间长度 精确度才终止计算 小 相反 小于 练习1 用二分法研究函数f x x3 3x 1的零点时 第一次计算 得f 0 0 f 0 5 0 第二次应计算f x1 则x1 0 25 3 变号零点与不变号零点 变号 不变号 若在函数零点的附近两侧的函数值异号 称该零点为 零点 若在函数零点的附近两侧的函数值同号 称该零点为 零点 二分法是求函数 零点的方法 练习2 下列函数的图象与x轴都有交点 其中不能用二 分法求交点的横坐标的函数是 c a y 2xc y x2 b y x 1d y log2x 变号 问题探究 在27枚崭新的金币中 混入了一枚外表与它们完全相同的 假币 重量稍轻 现在只有一台天平 则最少需要称 次就 可以保证找到这枚假币 a 3 b 4 c 5 d 6 解析 可利用二分法解决 答案 a 题型1二分法的适用条件 例1 如图3 1 2 函数的图象与x轴均有交点 其中不 能用二分法求交点的横坐标的是 图3 1 2 a 1 b 1 3 c 2 3 d 1 4 思维突破 二分法的理论依据是零点的存在性定理 因此 必须满足零点两侧的函数值是异号 1 4 零点的两侧函数值同号 即不满足f a f b 0 则不 能用二分法求解 答案 d 对 函数在区间 a b 上连续 的理解如下 不管函数在整个定义域内是否连续 只要找得到包含零点的区间上的函数图象是连续的即可 变式与拓展 1 图3 1 3是函数f x 的图象 它与x轴有4个不同的交点 给出下列四个区间 不能用二分法求出函数f x 的零点近似值的 是 b a 2 1 1 b 1 9 2 3 c 4 1 5 d 5 6 1 图3 1 3 解析 只有b中的区间所含零点是不变号零点 2 下列函数中 函数 能用二分法求其近似零点 y 2x 3 y x2 2x 1 y 3 lgx 解析 根据函数的图象 可知 的零点是变号零点 的零点是不变号零点 题型2用二分法求方程的近似解 例2 先用求根公式求出方程3x2 4x 1 0的解 然后再借助计算器或计算机 用二分法求出这个方程的近似解 精确度0 1 下面用二分法求方程的根的近似值 令f x 3x2 4x 1 作出x f x 的对应值 如下表 与图 如图d25 观察图象及表 可知 此方程有两个根 一个在区间 1 0 内 另一个在区间 1 2 内 若x0 1 0 取区间 1 0 的中点x1 0 5 则f 0 5 1 75 f 0 5 f 0 0 x0 0 5 0 再取区间 0 5 0 的中点x2 0 25 得f 0 25 0 1875 图d25 f 0 25 f 0 0 x0 0 25 0 同理 可得x0 0 25 0 125 x0 0 25 0 1875 x0 0 21875 0 1875 由于 0 21875 0 1875 0 03125 0 1 可以把x0 0 21875作为方程3x2 4x 1 0的一个根的近似值 同理 若x0 1 2 时 方程的根的近似值为1 53125 近似值为 0 21875或1 53125 给定精度 用二分法求函数y f x 的零点近似值的步骤如下 确定区间 m n 验证f m f n 0 给定精度 求区间 m n 的中点x1 计算f x1 若f x1 0 则x1就是函数y f x 的零点 若f m f x1 0 则令n x1 此时零点x0 m x1 若f x1 f n 0 则令m x1 此时零点x0 x1 n 变式与拓展 3 已知函数f x lnx 2x 6 1 证明函数f x 在其定义域上是增函数 2 证明函数f x 有且只有一个零点 3 求这个零点所在的一个区间 使这个区间的长度不超过 1 证明 函数f x 的定义域为 0 设00 f 2 f 3 0 f x 在 2 3 上至少有一个零点 又由 1 知f x 在 0 上是增函数 因此f x 0至多有一个根 从而函数f x 在 0 上有且只有一个零点 题型3二分法的实际应用 例3 如图3 1 4 有一块边长为15cm的正方形铁皮 将其四个角各截去一个边长为xcm的小正方形 然后折成一个无盖的盒子 1 求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式 并讨论其定义域 2 如果要做成一个容积是150cm3的无盖盒子 那么截去的小正方形的边长x是多少 精确到 0 1cm 图3 1 4 思维突破 建立函数模型 然后转化为求方程的解 在精 确度要求的范围内选用二分法 解 1 y 15 2x 2x x 0 7 5 2 如果要做成一个容积是150cm3的无盖盒子 那么小正方形的边长x就是方程 15 2x 2x 150在x 0 7 5 内的解 令f x 15 2x 2x 150 x 0 7 5 由计算器可以确定f x 分别在 0 1 和 4 5 内各有一个零点 即方程 15 2x 2x 150分别在区间 0 1 和 4 5 内各有一个解 下面用二分法求方程的近似解 取区间 0 1 的中点x1 0 5 计算得f 0 5 52 所以零点x0 0 5 1 再取 0 5 1 的中点x2 0 75 可算得f 0 75 13 31 所以x0 0 75 1 同理可得x0 0 75 0 875 x0 0 8125 0 875 x0 0 84375 0 875 x0 0 84375 0 859375 x0 0 84375 0 8515625 x0 0 84375 0 84765625 所以方程在区间 0 1 内精确到0 1的近似解为0 8 同理可得 方程在区间 4 5 内精确到0 1的近似解为4 7 所以如果做成一个容积为150cm3的无盖盒子 截去的小正方形的边长大约是0 8cm或4 7cm 变式与拓展 4 在一个风雨交加的夜里 从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障 这是一条10km长的线路 如何迅速查出故障所在 解 首先从线路的中点查 用随身带的话机向两段测试 发现一半正常 另一半有故障 再从有故障的半段的中点查 排除一半 继续排查 每查一次 可以把待查的线路缩减一半 算一算 要把故障可能发生的范围缩小到50米 100米左右 即两根电线杆附近 只要查7次就足够了 2 3 内的零点 精确到0 1 易错分析 未分清 精确度为 与 精确到 的区别 按 精确度为 求得的近似值不是唯一的 即若 a b 则 a b 上任何一个实数均可作为零点x0的所求近似值 而按 精确到 求得的近似值是唯一的 即此时 a b 两端精确到 的近似值相同 解 函数在区间 2 3 上为增函数 由题设 有f 2 0 31 0 f 3 0 43 0 由于f 2 f 3 0 故函数f x 在区间 2 3 内有一个零点x0 即x0 2 3 值 取区间 2 3 的中点x1 2 5 用计算器算得f 2 5 0 12 0 由于f 2 f 2 5 0 所以x0 2 2 5 再取区间 2 2 5 的中点x2 2 25 用计算器算得f 2 25 0 08 0 由于f 2 25 f 2 5 0 所以x0 2 25 2 5 同理可得x0 2 25 2 375 x0 2 3125 2 375 x0 2 34375 2 375 x0 2 34375 2 359375 x0 2 34375 2 3515625 x0 2 34375 2 34765625 由于区间 2 34375 2 34765625 的两个端点精确到0 1的近似值都是2 3 所以函数f x 在区间 2 3 内精确到0 1的零点的近似值为2 3 方法 规律 小结 二分法 1 适用条件 当函数图象在零点附近连续 且在该零点两侧的函数值异号时 才能应用二分法求函数零点的近似值 该条件表明二分法可求近似值的函数零点都是变号零点 2