高考数学大一轮总复习 第7篇 第7节 立体几何的向量方法课件 理 新人教A版 .ppt

第7节立体几何的向量方法 基础梳理 1 直线的方向向量和平面的法向量及其应用 1 直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量 显然一条直线的方向向量有 个 平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面 记作n 此时向量n叫做平面 的法向量 显然一个平面的法向量有 个 且它们是 向量 无数 无数 共线 2 利用空间向量证明空间中的位置关系设直线l m的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为u v 则l m a b a kb k r l m a b a b 0 l a u a u 0 l a u a ku k r u v u kv k r u v u v 0 2 求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 a n的夹角为 则sin cos 3 求二面角的大小 若ab cd分别是二面角 l 的两个面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小就是 与的夹角 如图 1 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角 或其补角 的大小就是二面角的平面角的大小 如图 2 3 其中图 2 中向量夹角的大小即为二面角平面角 图 3 中则为其补角 2 点面距的求法设n是平面 的法向量 点a在平面 内 点b在平面 外 则点b到平面 的距离为 3 线面距 面面距均可转化为点面距再用 2 中方法求解 1 若直线l 平面 直线l的方向向量为s 平面 的法向量为n 则下列结论正确的是 a s 1 0 2 n 1 0 1 b s 1 0 1 n 1 2 1 c s 1 1 1 n 1 2 1 d s 1 1 1 n 2 2 2 解析 直线与平面平行 直线的方向向量和平面的法向量垂直 经检验只有选项c中s n 0 故选c 答案 c 3 在空间直角坐标系oxyz中 平面oab的一个法向量为n 2 2 1 已知点p 1 3 2 则点p到平面oab的距离d等于 a 4b 2c 3d 1 4 若平面 的一个法向量为n 4 1 1 直线l的一个方向向量为a 2 3 3 则l与 所成角的正弦值为 考点突破 例1 1 如图是一个直三棱柱 以a1b1c1为底面 被一平面所截得到的几何体 截面为abc 已知a1b1 b1c1 1 a1b1c1 90 aa1 4 bb1 2 cc1 3 设点o是ab的中点 证明 oc 平面a1b1c1 注 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 利用向量证明平行 垂直 2 如图 正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1中点 求证 ab1 平面a1bd 思维导引 1 建立空间直角坐标系后 把线面平行转化为向量之间的平行与垂直关系 2 可以使用基向量的方法 也可以使用坐标系的方法 把线面垂直归结为向量的计算 法二取bc中点o 连结ao abc为正三角形 ao bc 在正三棱柱abca1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 ao 平面bcc1b1 1 向量方法证明空间平行关系的基本途径是 线线平行 直线与直线平行 只要证明它们的方向向量平行 线面平行 a 用线面平行的判定定理 证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行 b 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 面面平行 平面与平面的平行 除了用面面平行的判定定理转化为线面平行外 只要证明两平面的法向量平行即可 2 向量方法证明空间垂直关系的基本途径是 线线垂直 直线与直线的垂直 只要证明两直线的方向向量垂直 线面垂直 a 用线面垂直的定义 证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直 b 用线面垂直的判定定理 证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直 c 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 面面垂直 平面与平面的垂直 除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外 只要证明两平面的法向量垂直即可 即时突破1 1 已知正方体ac1的棱长为1 e f g分别为ab ad aa1的中点 求证 平面efg 平面b1cd1 2 在正方体abcda1b1c1d1中 g为cc1的中点 求证 平面a1bd 平面gbd 例2 2013年高考江苏卷 如图 在直三棱柱a1b1c1abc中 ab ac ab ac 2 aa1 4 点d是bc的中点 利用向量求空间角 思维导引 建立空间直角坐标系 求出各点坐标和相关向量坐标 1 利用两直线的方向向量所成的角求余弦值 2 利用两平面的法向量所成角的余弦值 再根据同角三角函数关系得正弦值 求空间角的基本方法 1 建立适当的空间直角坐标系 便于坐标的求解 2 利用向量法求异面直线l1与l2所成的角 主要求出两直线的方向向量v1与v2 则cos cos v1 v2 3 利用向量法求斜线与平面所成的角的方法 分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 若是钝角 取其补角 取其余角就是斜线和平面所成的角 4 利用向量法求二面角的方法 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量 然后通过两个面的法向量的夹角得到二面角的大小 但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角 分别在二面角的两个面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 即时突破2已知正三棱柱abca1b1c1的侧棱长与底面边长相等 求ab1与侧面acc1a1所成角的正弦值 解 设正三棱柱所有棱长均为a 以c为顶点 ca为x轴 cc1为z轴建立空间直角坐标系如图 思维导引 利用点面距离公式得出四棱柱高的方程解之 利用向量求空间距离 求平面 外一点p到平面 的距离的步骤 1 求平面 的法向量n 即时突破3三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 长度分别为6 4 4 求其顶点