（应用数学专业论文）广义信息集博弈nash平衡的稳定性.pdf

摘要 近年来，解集的本质连通区的存在性已经成为研究非线性问题稳定性的一个重要方 面，本质连通区的方法在优化问题的解、n a s h 平衡、映射不动点的稳定性研究中，发挥 着关键性的作用。在本文中，我们将以集值映射的不动点关于混合万一扰动的强本质集 和强本质连通区的存在性为基础，围绕广义信息集博弈，讨论n a s h 平衡的稳定性问题。 第一章，我们将建立广义信息集博弈模型，并给出该模型的n a s h 平衡的存在性，以 此为基础，将分别就仅有支付函数和信息约束映射扰动的情形以及信息约束映射、信息 状态及支付同时扰动的情形讨论强本质集与本质集的存在性，证明相应的本质连通区的 存在性。换言之，围绕上述两种情形，我们将证明广义信息集博弈n a s h 平衡点集至少 存在一个的强本质连通区以及本质连通区。 第二章，我们将运用第一章中的广义信息集博弈n a s h 平衡的有关稳定性结果，进一 步讨论广义博弈n a s h 平衡的稳定性以及n 人非合作有限博弈拟c k m 平衡的存在性。首先， 通过广义信息集博弈中信息约束映射的特殊形式，我们将给出广义博弈n a s h 平衡的本 质连通区的有关结果；其次，我们将讨论在策略集扰动的意义下，玎一人非合作一般博弈 的n a s h 平衡点集的策略本质集、策略稳定集和策略本质连通区的存在性；最后，我们讨 论n 人非合作有限博弈拟c k m 平衡的存在性结果。 关键词：n a s h 平衡，不动点，混合万一扰动，强本质集，强本质连通区，广义信息集 博弈，策略稳定集。 中图分类号：0 1 7 7 9 1 3 a b s t r a c t r e c e n t l y , e s s e n t i a lc o m p o n e n t so fs o l u t i o ns e ti s a l li m p o r t a n ta s p e c to fs t a b i l i t yf o r n o n l i n e a rp r o b l e m s i tp l a y sac r u c i a lr o l ei nt h es t u d yo fs t a b i l i t yo f o p t i m a ls o l u t i o n s 、n a s h e q u i l i b r i u ma n df i x e dp o i n t so fm a p p i n g i nt h i sp a p e r , w ew i l lb a s eo nt h ee x i s t e n c eo f s t r o n g l ye s s e n t i a ls e ta n ds t r o n g l ye s s e n t i a lc o m p o n e n to fs e t v a l u e dm a p p i n ga b o u tt h e m i x e d6 - p e r t u r b a t i o na n da r o u n dt h eg e r n e r a l i z e di m f o r m a t i o ns e t sg a m e ，t h e nd i s c u s st h e s t a b i l i t yo ft h en a s he q u i l i b r i u m i nt h ec h a p t e ro n e ，w ew i l lc o n s t r u c tt h em o d e lo fg e n e r a l i z e di n f o r m a t i o ns e t sg a m ea n d p r o v et h ee x i s t e n c ei t se q u i l i b r i u m b a s eo nt h i s ，w ew i l ld i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs t r o n g l y e s s e n t i a ls e ta n de s s e n t i a ls e tu n d e rt h ec o n d i t i o no fb o t ht h ep a yo f ff u n c t i o n sa n dt h e i m f o r m a t i o n d i s t r i c t e dm a p p i n gh a v e p e r t u r b a t i o na n dt h ei m f o r m a t i o n d i s t r i c t e dm a p p i n g , t h e i m f o r m a t i o ns t a t ea n dt h ep a yo f ff u n c t i o n sw e r ea l lp e r t u r b a t i n g ，r e s p e c t i v e l y a n dw ep r o v e t h ee x i s t e n c eo ft h ee s s e n t i a lc o m p o n e n t t h a ti s ，a r o u n dt h ef o r m e rt w oc o n d i t i o n s ，w ew i l l s h o wt h a tt h eg e n e r a l i z e di n f o r m a t i o ns e tg a m eh a sa tl e a s to n es t r o n g l ye s s e n t i a lc o m p o n e n t a n de s s e n t i a lc o m p o n e n to fi t sn a s he q u i l i b r i u mp o i n t ss e t s i nt h ec h a p t e rt w o ，w ew i l lu s es o m er e s u l to fs t a b i l i t yo ft h en a s he q u i l i b r i u mo ft h e g e n e r a l i z e di n f o r m a t i o ns e tg a m eo fc h a p t e ro n e f u r t h e r , w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h en a s h e q u i l i b r i u mo ft h eg e n e r a l i z e di n f o r m a t i o ns e tg a m ea n dt h en - p e r s o nn o n c o o p e r a t i v ef i n i t e g a m e a tf i r s t ，u s et h es p e c i a lf o r m so ft h ei m f o r m a t i o n d i s t r i c t e dm a p p i n go ft h eg e n e r a l i z e d i n f o r m a t i o ns e tg a m e ，w ew i l lg i v es o m er e s u l t sa b o u tt h en a s he q u i l i b r i u mo ft h eg e n e r a l i z e d g a m e ；s e c o n d ，u n d e rt h es i g n i f i c a n c eo fs t r a t e g i cs e t sp e r t u r b a t i o n ，w ew i l ld i s c u s st h ee x i s t e n c e o ft h es t r a t e g i ce s s e n t i a ls e t 、 s t r a t e g i cs t a b l es e ta n ds t r a t e g i ce s s e n t i a lc o m p o n e n to f t h en a s h e q u i l i b r i u ms e t so ft h en - p e r s o nn o n c o o p e r a t i v eg e n e r a lg a m e ；f i n a l l y , w ed i s c u s st h er e s u l to f c k m e q u i l i b r i u mo f n p e r s o nn o n c o o p e r a t i v ef i n i t eg a m e k e y w o r d s ：n a s he q u i l i b r i u m ，f i x e dp o n ，m i x e d 万一p e r t u r b a t i o n ，s t r o n g l ye s s e n t i a ls e t , s t r o n g l ye s s e n t i a lc o m p o n e n t ，g e n e r a l i z e di n f o r m a t i o ns e tg a m e ，s t r a t e g i cs t a b l es e t c h i n e s el i b r a r yc l a s s i c a t i o n ：o1 7 7 9 1 4 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究在 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全 意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：勿：骆 e l 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 1 1 , 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅；本人授权贵州大学- q - 以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 、 糍：矧哆翩签绷彻。缛6 月 4 2 第一章广义信息集博弈n a s h 平衡的存在性及稳定性 1 引言 博弈论主要研究竞争格局下的优化；即局中人在一定规则下，同时或先后， 一次或多次，从各自的策略集中选取某种策略加以实施，各自取得期望结果的过 程；其分析的目的是预测局中人的合理行为方式。 1 9 5 0 年n a s h 在“完全理性 的假设下建立了n 人非合作博弈模型，给出了 n a s h 平衡的概念；对局中人如何选择策略做了一致性预测。但是，一个博弈可能 有多个n 嬲h 平衡，有时甚至是不可数多个；这时要所有局中人都预测同一个n a s h 平衡是困难的；同时如果不同局中人预测的不是同一个n 础平衡，实际出现的就 不一定是n a s h 平衡，而可能是非n a s h 平衡。正因为如此，n 嬲h 平衡的选择和精 炼至今仍是博弈论研究的关键课题。 目前，n a s h 平衡的精练主要可归结为策略稳定性研究；即剔除不稳定的n a s h 平衡。经典的n a s h 平衡精炼理论将n a s h 平衡点作为精炼的目标，主要可归纳为 以下两类： ( 1 ) 策略集扰动意义下的稳定n a s h 平衡，其中经典的n a s h 平衡精炼概念有 “完美平衡”( s e l t e l l ，1 9 7 5 ) 、“恰当平衡 ( m y e r s o n ，1 9 7 8 ) 等。 ( 2 ) 支付函数扰动意义下的稳定n a s h 平衡，其中经典概念有“本质平衡”( 吴 文俊、江嘉禾，1 9 6 2 ) 等；但不能保证每一n 人有限非合作博弈至少存在一个本 质平衡。 1 9 8 6 年k o h l b e r g 和m e r t e i l s 最先提出“策略稳定集”( s 仃a t e 西cs t a b l es e t ) 的 n a s h 平衡精炼方法；即策略集扰动意义下n a s h 平衡点集的本质集；并证明了每 一n 人有限非合作博弈至少存在一个n a s h 平衡点集的本质连通区。同时对策略稳 定性做了公理化研究，给出了“策略稳定集”应满足的若干必要条件，这里称之 为k m 条件。令人遗憾的是，k 0 h l b e 唱和m 鲥e i l s 提出的稳定集无法完全满足他 们所给出的k m 条件。1 9 9 0 年h i l l a s 在“策略稳定集 的定义中将策略集扰动以 及支付函数扰动替换为对于参与人的最优反应映射的扰动；改进了“策略稳定集” 5 的定义以及k m 条件。之后，m e r t e n s ，h i l l a s 等人围绕其稳定集的概念作过一些修 j 下和改进( m e r t e n s ，1 9 8 9 ：m e r t e n s ，1 9 9 1 ；m e r t e n s ，2 0 0 3 ；h i l l a s ，1 9 9 0 ) ，甚至加上了 拓扑同伦等一些实际意义不十分明朗的数学化条件。 因为，n a s h 平衡的多重性是博弈论不得不j 下视的缺陷，围绕n a s h 平衡的选 择和精炼，新的结果不断地涌现( e v a nd a m m e ，2 0 0 2 ；s g o v i n d a na n dj f m e r t e n s ，2 0 0 3 ；s g o v i n d a na n dr w i l s o n ，m a x i m a l ，2 0 0 1 ) ，一些学者还从生物进化 的思想出发，提出了进化稳定策略的理论( c ec a m e r e r a n d t - hh o e x p e r i e n c e , 1 9 9 9 ； k r i t z b e r g e ra n ds d e m i c h e l i s ，2 0 0 3 ；u t a k a s h i ，2 0 0 1 ) ，但多重n a s h 平衡所带来 的问题始终未能得到很好的解决。这就是为什么要改进“策略稳定集”概念的原 因。 1 9 9 9 年俞建教授和向淑文教授运用f a n - k y 点的本质连通区的方法，研究了n 人非合作一般博弈的“策略稳定集”；并证明了每一支付函数为凹函数的n 人非合 作一般博弈至少存在一个n a s h 平衡点集的本质连通区( j s wx i a n g , 1 9 9 9 ) 。 2 0 0 2 年h i l l a s 等提出了1 3 人有限非合作博弈c k m 扰动的概念，其基本思想 是策略集的扰动与策略有关，即对于策略集中不同的策略其扰动不一定相同；如 此从策略空间到策略集扰动之间建立了函数关系。在此基础之上考虑最优反应映 射不动点的本质集称为c k m 集( j h i l l a s ，m j a n s e n ，j p o t t e r sa n dd v e r m e u l e n ， 2 0 0 2 ) 。 2 0 0 5 年向淑文教授等提出上半连续集值映射不动点的强本质集的概念，证明 了其存在性及连通性。进一步，应用其理论方法给出了n 人非合作一般博弈强本 质集的概念，并证明了每一n 人非合作一般博弈至少存在一个n a s h 平衡点集的强 本质连通区( s w x i a n g , g d l i ua n dy h z h o u ，2 0 0 5 ) 。 本文将通过广义信息集的方法研究n a s h 平衡的精炼问题，作为这一尝试的基 础，首先是建立信息集广义博弈的模型，从而为进一步研究n a s h 平衡的精炼奠定 一个可行的研究框架。然后将结合前人的一些精炼的研究方法，对n a s h 平衡精炼 做进一步的研究。 6 2 预备知识 设x 和y 为两个h a u s d o r f f 拓扑空间，t ：x 寸2 y 为集值映射。 定义1 2 1( 1 ) 称r 在x 处为上半连续的，如果对】，中的任意开集d 且 丁( 石) c0i 存在x 的开邻域n ( x ) ，使得对于任意z n ( x ) 有t ( x 7 ) c0 ；称称丁在 x 上为上半连续的，如果丁在任意x x 处为上半连续的。 ( 2 ) 称丁在x 处为下半连续的，如果对y 中的任意开集0 且r ( x ) n o o ， 存在x 的开邻域n ( x ) ，使得对于任意x n ( x ) 有r ( x ) n o o ；称r 在x 上为下 半连续的，如果丁在任意工x 处为下半连续的。 ( 3 ) 称丁在x 上为连续的，如果r 在x 上既为上半连续又为下半连续。 设( x ，i | 1 1 ) 为某线性赋范空间中的非空紧凸集、k( x ) 为x 的所有非空紧凸子 集组成的集族、x x x 为积空间。 对于 o ，记4c x 的s 一邻域为n a a ) = y x ：i n f , 。一忙一y 0 0 使得对于所有r p ( t ，万) 有 札( p ( r ) ) n f ( r ) 1 2 j 。f ( 丁) 的连通分支c ( 丁) 称为，( 丁) 的强本质连通区，如果c ( r ) 包含某- - f ( t ) 的强本质集 引理1 2 2 对于丁u ，f ( r ) 至少存在一个关于p ( t ，万) 的极小强本质集( s w x i a n g , g d l i ua n dy h z h o u ，2 0 0 5 ) 。 引理1 2 3 对于t e u ，f ( 丁) 关于p ( t ，万) 的每一极小强本质集是连通的( s w x i a n g , g d l i ua n dy h z h o u ，2 0 0 5 ) 。 n 人非合作博弈模型： 局中人集合：n = l ，2 ，1 ) ； 局中人的策略集：对于每- - i n ，非空集合置为其策略集； 局中人的支付函数：对于每一i n ，z ：x 专r 为其支付函数，其中 x = 兀二墨； 称1 - = ( ，x ，厂) 为一博弈，其中f = ( 彳，正，z ) 。 为了叙述方便给出几个记号： 记舡f = 兀刚 一，= ( 五，1 ，札l 一，x ) ex f 。 定义1 2 4 称x = ( z ：，蔓，z ) 为博弈f = ( ，x ，厂) 的n a s h 平衡点，如果对 每一i 有z ( i ，z r ) 5 景警z ( 咒，z ，) ，其中( 咒，z ，) = ( i ，t - ，乃，t i 一，z ) 。 引理1 2 4 设博弈f = ( ；x ；厂) 满足： ( i ) 对于每一i n ，z 为线性拓扑空间中紧凸子集； 8 ( i i ) 对于每一f n ，z 在x 上连续； ( i i i ) 对于每一i n 以及t f 舡，z ( 薯，t ，) 在上关于玉拟凹； s u p i z ( x ) i 0 ，存在万 0 使得对任意g 满足d 。( 厂，g ) o ，存在万 o 使得对任意g 满足p ( 乃，吃) 0 ， 存在万 0 使得对任意t c ，满足p ( b ，丁) o ，存在万 o 使得对任意g 满足名p ( 毋，万) ，有m ( p ( ) ) ne ( g ) g 。 3广义信息集博弈模型及n a s h 平衡的存在性 1 n 人非合作广义信息集博弈模型 n 人非合作广义信息集博弈模型： 信息集是指局中人在博弈过程中所掌握的信息，在一个博弈中，局中人所掌 握的信息的程度会影响局中人对策略集判断的偏差，从而影响最优反应映射的选 取。 设n = 1 , 2 ，刀) 为局中人的集合，对每一局中人i n ，其信息集定义为 s iien ，g r s 2 早墨为该博弈的信息集。 定义一个以人非合作信息集广义博弈为： ( i ) 用有限集合n = 1 ，2 ，1 ) 表示局中人的集合： ( i i ) 对每一局中人f n ，其信息集定义为s if n ，9 3 ( s = 玎s 为该博弈的信息 集： ( i ii ) 对每一局中人f n ，用非空集合x ，表示局中人f 的策略集，每一而置 1 0 为局e oa i 的某一可选策略记x = f f ix ，为该博弈的策略组合集，则每一元 x = ( x i - ，工一，z 。) x 为该博弈中所有局中人的某策略组合为方便起见， 记 x ，= ( x l ，j h ，x i + i r j 。_ x 一) 2 咒，( 或x 一，) x i = ( 石l ，x ，一l ，x f + l ，j 月) x ，( 或石= ( x l ，x i ，工。) = ( z f ，x 一，) 贝l j z = ( 彳l ，玉，x 。) = ( x f ，x i ) ( i v ) 对每一局中人f n ，在策略组合集工= 兀删五上定义支付函数z ：x 专r ( 局中人i 的赢得或支付) 。 ( v ) 对每一局中人i n ，定义映射，：x 一，s ，专x ，为局中人i 的信息状态映 射，为方便起见，记 s = ( s i ”，s ，1 ，s f + l ，s 。) ( 或s 一，= ( s l 一，s i - is f + i ，s 。) ) s = ( s l ，s j l ，s j + i ，s 。) s ( 或j 一，= ( j 1 ，s i - 1j “l ，s 。) s j 于是可记s = ( s i , s 一，) = ( s ，s ) ，而任意s s 可记为 s = ( s l ，s f ，s 。) = ( s ，s f ) = ( s 1 , s ) s ； 则记此博弈为f = ，称r 为一广义信息集博弈。 定义1 3 1f = 为一广义信息集博弈， 矿= o 宰，x 一，) x 称为广义信息集博弈f 在信息状态s = ( s 1 ，q ，s 。) s 的 n a s h 平衡点，如果对对每一i n ，满足 z + ，x 木一f ) _ m a x f i ( u i * ，z 匕) 。 u t l i l l ，s l 2 、广义信息集博弈n a s h 平衡点的存在性 下面我们给出广义信息集博弈在每一信息状态s = ( j l ，一，s 。) s 的n a s h 平衡 点的存在性。 定理1 3 1 设博弈r ，- - 满足： ( i ) 对于每一f n ，x ，为局部凸线性拓扑空间中紧凸子集，s ，为任意集合； ( i i ) 对于每一f ，z 在x 上连续； ( i i i ) 对每一f n 及每一x 一，x _ j ，z ( ，x 一，) 在x ，上拟凹； ( i v ) 对每一f 及每一s ，s ，i io ，s x 一，一x ，为连续紧凸值的集值映射； 则每一信息状态s = ( s l ，一，s 一，s 。) s ，博弈l 存在关于状态s 的n a s h 平衡点。 证明：对每一s - - ( s f ，s j ) s ，f n ，定义b g ：x 一；一2 x 7 为 盼( 工一，) = j ，x _ , s i ) iz ( y ，z 一- - - - 砟m “a “x j ) ，( z r ，x f ) ) ，溉一，x 。 由引理1 2 5 9 i l b u t a ：x 一，一2 五上半连续，由t 为凸值及z 关于“，的拟凹性，曰g 为上半连续、非空凸值的，再由为紧值及彳的连续性，知盼为闭值，即紧值的。 令 髟j ( 工) = 兀曰i ：歹( t ，) ，v x = ( 五，z 一，) x 则彰j ：xj 2 x 上半连续、紧凸值。 由引理1 2 6 及引理1 2 1 ，存在石x ，使得矿b 夕5 ( 妒) ，。由j 彰5 ( x ) ， 可得，即# ，( t r ，s ，) ，且z ( i ，z ，= 乃钆m i a “x 丑) z ( 只，z ，) 。故z + 为r ，的n a s h 平衡点。 引理1 3 1 设，：x x x 专r ，l ：x 一2 x ，x 为局部凸线性拓扑空间中的某一紧 凸集，且 ( 1 ) 对每一x x ，l ( x ，x 1 o ； ( 2 ) 对每一y x ，( ，少) 在x 上下半连续； ( 3 )三：x 专2 x 上半连续、非空闭凸值； c 4 ， 工r ：s ，u 。z p ，( z ，y ) 。) 闭 则存在x x ，使得x ( 工) ，且，( 工，y ) o ，渺三( j ) 。 引理1 3 2 设x ，y 为拓扑空间，且 ( i ) w ：x y 寸r 在x y 匕下半连续 1 2 ( i i ) ，：y _ 2 x 在y o y 处下半连续 则v ( y ) = s u pw ( x ，y ) ，y o 处下半连续。 x e g ( y ) 定理1 3 2 设博弈r ，= 满足： ( i ) 对于每一f n ，x ，为局部凸线性拓扑空间中紧凸子集，s ，为任意集合； ( i i ) 对于每_ 二f n ，z 在x 上连续； ( i i i ) 对每一f 及每一石一j x _ f ，( ，x 一，) 在x ，上凹； ( i v ) 对每一f 及每一s j s j ，l i ( ，s x 一，jx f 为连续紧凸值的集值映射； 则每一信息状态j = ( s l 一，j 一，s 。) s ，博弈r ，存在关于状态s 的n a s h 平衡点。 证明：用拟变分不等式证明 作矽：x x 寸r 为 缈( x ，y ) = z e z y , ，t ，) 一z ( 葺，t ，) ；v x = ( x i ，t ，) ，y = ( y i ，弦，) x 对每一s = ( 墨，) s ，令j ( ，j ) ：x 专2 j 为 i ( x ，s i ) = 兀( t ，s f ) ，v x = ( x i ，t ，) x ，则，上半连续、紧凸值 下面矽、i 满足引理1 3 1 ( i ) v z y ，妒( x ，x ) o ( i i ) 砂x ，伊( z ，y ) 关于z 连续，从而下半连续 ( i i i ) 坛工，缈( 石，少) 关于y 凹 ( i v ) o ，存在6 0 ，使得对于所有满足彰：3 p ( 彰”，万) 的 g t ( 厂，( 墨，是f ) ) m ，有m ( p ( 厂，s i ，j m ) n e ( ，( 墨，s 一g ，这罩 j 9 l 曩彰：5 分别为g = ( 厂，j ，( s ，s m 和g = ( 厂1 ，j ，( _ ，j f ) ) 所对应的最优反应映射。进 一步，e ( 厂，( 置，s f ) ) 的连通分支c ( 厂，( 墨，j f ) ) 称为e ( 厂，( 0 ，j m 关于m 的强 本质连通区，7 妇果c ( f ，s i ，包含某一e ( ，( _ ，s 一关于肘的强本质集。 注：设q ( 厂，( 暑，e 2 ( f ，s i ，是) ) ce ( ，s i ，是m ，均为x 中的非空闭子 集，并且q ( 厂，( 丑，) ) cp 2 ( 厂，( 暑，j 一) ) ；e i ( f ，( i ，m 为关于m 强本质的， 贝l j e = ( f ，s ，5 一；) ) 关于m 亦为强本质的。 定义1 4 2 设f ，= ( ；( 置) ；( s ) ；( ) ；( z ) ) ，g = ( 厂，( _ ，s 一，) ) 肘， e ( 厂，( 暑，s f ) ) 的闭子集p ( 厂，( 墨，j 一，) ) 称为e ( 厂，( 墨，j f ) ) 关于m 的本质集，如果 对于任意占 o ，存在万 o ，使得对于所有满足p o ( g ，g ) o ，使得卵仨( ( t ，。，_ ) ) ；又在赶，墨上 连续以及( 矿，s ) 一( 一，j ) ，故存在正整数z 。，当m z 。时有 ( t ，m ，s ，) c ( ( t ，。，) ) ；从而有卵仨( ( t ，丑) ) 。又y ”一少。，存在正 整数z 2 z i ，当m z 2t t 寸， 芒( ( t r m ，t ) ) 。与广彰5 ( ，) 矛盾。 ( i i ) y 。，( ，s ) ，但存在矗以及歹：0 。1 0 ( t f 0 0 ，8 f l i ) 使得 厶( 或，x o 如) z 时，五( 蜡，五) 0 使得，对于任意 虼虬( 瑶) 有厶( 瑁，吒，) o 使得对 于任意x ( 石。) 存在玩，( t f 0 ，s o ) 使得i 阮一- o z i ，当m z 2 时存在瑶i i ( x - t o m , 屯) 使得i l 歹：| 一或0 0 ，使得对于所有满足r p ( 彰”，万) 的丁u ，有 m ( p ( 召夕) ) nf ( r ) 矽于是对任意b ；，以口夕，占) 的g - - ( ，( 墨，s 一，) ) m ，有 1 7 m ( g ( 曰夕) ) n f ( b ；，) 矽 再由引理1 4 2 ，知f ( b 夕5 ) ；e ( f ，i ，( s ，s 一，) ) ，f ( 曰；，) = e ( f ，j ，( j ，j 一，) ) ；记 e ( f ，j ，( s ，j 一，) = e ( b j ) ，则可推出n 。( e ( b j 5 ) ) ne ( 厂，j ，( s ，j 一。) 矽，即 ：( p ( ，( 墨，。) ) ) n e ( 厂，b i ，s _ i ) ) o ， i 故e ( f ，( 5 ，s 一，) 为e ( s ，( s ，s 一，) ) 的关于m 的强本质集，定理得证 定理1 4 2 对于任意g = ( 厂，j ，s i ，t f ) ) m ，广义信息集博弈 r ，= ( ；( 五) ；( s ) ；( ) ；( z ) ) 的n a s h 平衡点集e ( 厂，s i ，f ) ) 至少存在一个关于m 连通的强本质集，从而至少存在一个关于m 的强本质连通区。 证明：由引理1 4 2 ，知f ( 曰夕) = e ( f ，( s ，j 一，) ) 由引理1 2 3 ，知，( 彰j ) 存在 关于混合万一扰动的连通的极小强本质集，不妨设e ( b 夕) cf ( 彰i j ) 为f ( 曰夕) 的连 通的极小强本质集设p ( ，j ，( s ，s f ) ) = p ( 形j ) ，与定理1 4 1 的证明类似，可以证 明p ( 厂，s i ，m 为e ( 厂，( 墨，j 一，) ) 关于m 的强本质集o de ( f ，s ，s f ) ) 的连通性， 知e ( 厂，( 置，s 一必包含于e ( 厂，( s ，j 一，) ) 的某一连通区内，设该连通区为 c ( f ，( j ，s 一，) ，则由定义i 4 1 的注，知c ( 厂，( s ，s 一，) 为( 厂，( s ，j 一) ) 关于m 的 强本质集，从而为e ( 厂，s i ，m 关于m 的强本质连通区定理得证。 _ 为了给出关于m 的本质集和本质连通区，先给出如下引理。 引理1 4 5 设g = ( 厂，( 墨，) ) 肘，对于任意占 o ，存在万 0 ，使得对于 所有满足岛( g ，g ) 0 使得对于1 n 0 ， 存在g ”= ( 厂”，( 墨，j f ) ) ( 厂，( 毋，s f ) ) ，有 g ，印五( 形：5 ) 仁心( g ，印 ( 彰) ) ；故总可以找到一列( ，少“) 伊印j l l ( 髟：j ) 使得， 1 8 ( 一y ”) 仨虬，( 聊j l z ( 矽) ) 。 因为x 紧，该序列存在收敛子列；不妨设为本身，即( 矿，y ”) 专( 工，y ) 。从而 ( 工，y ) 仨，( 聊 ( 彰j ) ) ，即y 萑札。( 矽广( x ) ) 。则必存在某一f ，使得 y ，萑彬；( t ，) 。 若乃诺( t ，丑) ，( t ，s i ) 为闭集；由线性赋范空间的j 下则性；存在刁 0 ， 使得 仨( ( t ，墨) ) 。又在z ，s 上连续，r 专z ；故存在j 下整数z i ；当，l z l 时，f ( t ，h ，墨) c ( ( t ，置) ) ；从而有咒仨吆( ( t ， ，) ) 。又y ”一j ，；存在 正整数z 2 z l ，当甩 z 2 时，咒”舞( ( t ，月，墨) ) 。又尸专，；存在j 下整数z 3 z 2 ， 当刀 z 3 时，f f n ( x _ l n 墨) c ( ( t ，h ，) ) 。 所以萑f ( t ，n ，i ) ，与( 矿，y ”) 舶p j l ( 形：5 ) 矛盾。 若m ( _ ，墨) ，但”仨 口，( t ，墨) ：z ( t ，) = 刁，( m - a x 州z ( 五，t 一；则存在 一z i ( t ；，s ，) 使得彳( 乃，t ；) z ( 乏，t ；) ，不妨设z ( y ；，x 一，) 一，( 乏，z 一；) 0 使得对于任意n z 5 ，有 z “( y i ”，贮，) 一z ”( 乏，艺) = z “( ，x 2 ，) 一彳( ，贮，) + z ( ，贮，) 一z ”( 乏，贮，) r l + ( 一刁) = 0 即z ”( y f ，贮，) z ”( 乏，艺) 。另外，对于任意弓( 乏) 有 z ”( ，艺) 一z ”( z 。，z 二) = z ”( ，砼) 一z ( 吖，贮；) + z ( ，贮；) 一z ( m ，艺) + z ( 咒，贮，) 一z ( 乏，贮，) + z ( 乏，贮，) 一z ( 乞，贮，) + z ( 刁，矿，) 一z ”( z f ，贮，) 鱼4 - 鱼一万+ 鱼+ 鱼：0 一， z 6 时有( t ，s ，) c ( 1 ( t ，”，s ) ) ，故乏( ( t r ”，5 。又由 ，一，知存在z 7 z 6 ，当” z ，时有( t ，月，j ，) c ( 以”( 疋，n ，毋) ) 。 于是乏m ( ”x _ n ，墨) ) ，故存在衫虬( 以”x _ n ，墨) ) ，使得乏虬( z ? ) ，即 乙n ( 乏) ；从而有z ”( ，贮，) o ，存在仇 o 使得对于所有r p ( 彰”，刀。) 有 m ( p ( 厂，s i ，) ) ) n f ( r ) o 。 又由引理1 4 5 知，对于r i 0 ，存在7 7 ： 0 使得任意g m ( g ) ，其中 g ( 厂，s i ，s f ) ) ，g = ( ，s i ，& f ) ) ；有g r a p h ( b ；5 ) cn 。( g r a p h ( b l y j ) ) ；因此 w j ，, 5 p ( 彰”，仉) 。从而有m ( p ( 厂，s i ，豇f ) ) ) nf ( 形，) 囝。由引理1 4 2 ， ，( 彰，) = e ( 厂，( ，s m ；, 8 = m i n r 。，7 7 2 ) ，则对于所有满足岛( g ，g ) 0 ，存在 6 0 ，使得对于所有满足b j r ；，p ( 彰”，万) 的g i _ ( 厂，( s ：，一，) ) 鸩，有 m 【e ( 厂，j ) n e ( 厂。，s ) ) o ，这里髟”，形：，分别为g = ( 厂，( 墨，s 一伪和 g = ( 厂：，j ) 所对应博弈的最优反应映射。进一步，e ( f ，j ，j ) 的连通分支 c ( 厂，j ) 称为e ( 厂，s ) 关于m ：的强本质连通区，如果c ( ，s ) 包含某一 e ( f ，j ，s ) 关于m ：的强本质集。 注：设q ( 厂，j ) ，乞( 厂，j ) ce ( ，s ) 均为x 中的非空闭子集，并且 e i ( f ，j ，s ) ce 2 ( f ，j ，s ) ；若岛( f ，s ) 为关于m ：强本质的，则乞( 厂，j ，s ) 关于m ：亦 为强本质的。 定义1 5 2 设r ，= ( ；( 墨) ；( 墨) ；( ) ；( z ) ) ，g = ( 厂，( 墨，s ，) ) 鸩，e ( 厂，厶j ) 的闭子集e ( 厂，j ) 称为e ( s ，l s ) 关于m 2 的本质集，如果对于任意占 0 ，存在 6 0 ，使得对于所有满足岛( g ：g ) 0 ，存在艿 0 ，使得对于所有满足r p ( b ，5 ，j ) o ht u ，有 m ( p ( 砂5 ) ) n f ( r ) 九 于是对任意满足b 尸( 口夕，万) 的g t - ( 厂，j ，( s ，一，) ) m ：，有 。( p ( 口；j ) ) n f ( b ；，) 再f h 引理1 5 1 ， 知f ( 彰i j ) = e ( ，j ) ，( 彰：一) = e ( 厂，s i ) ； 记 e ( f ，s ) = e ( 彰j ) ，则可推出 札( p ( 口；j ) ) n e ( ：，j i ) ，即蜒( d ，s ) o e ( f , j ，( j ：，s i - ，) i 故e ( f ，s ) 为e ( 厂，s ) 的关于m ：的强本质集，定理得证。 _ 定理1 5 2 对于任意g = ( 厂，( 置，j 一，) ) m ：，广义信息集博弈 r ，= ( ；( 置) ；( s ) ；( ) ；( 彳) ) 关于s 的n a s h 平衡点集e ( 厂，厶s ) 至少存在一个关于 m ：的连通的强本质集，从而至少存在一个关于m ：的强本质连通区。 证明：由引理1 5 1 ，知f ( 彰j ) = 层( 厂，j ) 由引理1 2 3 ，知，( 矽) 存在关于 混合万一扰动的连通的极小强本质集，不妨设p ( b 多) cf ( 砂) 为f ( b 多5 ) 的连通的 极小强本质集设p ( ，歹，j ) = p ( 彰j ) ，与定理1 5 1 的证明类似，可以证明 e ( f , i ，s ) 为e ( 厂，s ) 关于m ：的强本质集由e ( f , i ，s ) 的连通性，知e ( 厂，s ) 必包 2 3 含于e 【，s ) 的某一连通区内，设该连通区为c ( f ，i ，j ) ，则由定义1 5 1 的注，知 c ( 厂，s ) 为e ( 厂，s ) 关于m ：的强本质集，从而为e ( 厂，s ) 关于m ：的强本质连通 区定理得证。一 引理1 5 2 设g = ( 厂，s i ，肘：，对于任意 o ，存在万 o ，使得对 于所有满足岛( g ，g ) o 使得对于1 n o ，存在g ”2 ( 厂”，”，( 墨“，”) ) ( g ) ，g = ( 厂，( 墨，s f ) ) ，有 g ，印 ( 形y ) 旺k ( 聊厅( 髟5 ) ) ；故总可以找到一列( ，y 4 ) g r a p h ( ：b ：，) 使得， ( 一少) 仨( g r a p h ( b ；j ) ) 。 因为x 紧，该序列存在收敛子列；不妨设为本身，即( r ，y ”) j ( 工，y ) 。从而 ( z ，j ，) 仨( 卿 ( 彰j ) ) ，即j ，仨( 髟j ( x ) ) 。 则必存在某一f n ，使得咒诺彰；( t ，) 。 若 仨( - ，s i ) ，( t ，s i ) 为闭集；由线性赋范空间的正则性；存在刁 0 ， 使得以萑( ( _ ，s i ) ) 。又在z ，墨上连续，矿j “哼工占；故存在正整数z i ； 当月 z l 时，( t ，h ，s ”) c ( j f ，( t ，) ) ；从而有乃诺( ( t ， ，) ) 。3