高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第七章 第九节抛物线(一)精讲课件 文.ppt

第九节抛物线 一 第七章 求抛物线的标准方程 例1 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 3 已知抛物线c的顶点在原点 焦点f在x轴的正半轴上 设a b是抛物线c上的两个动点 ab不垂直于x轴 且 af bf 8 线段ab的垂直平分线恒经过定点q 6 0 思路点拨 对于 1 与 2 从方程形式看 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p 从实际分析 一般需确定p和确定开口方向两个条件 否则 应展开相应的讨论 对于 3 由已知 抛物线c的顶点在原点 焦点f在x轴的正半轴上 可设抛物线方程为y2 2px p 0 利用抛物线的定义可解决 自主解答 ab与x轴不垂直 x1 x2 故x1 x2 12 2p 8 p 12 2p 0 即p 4 从而抛物线方程为y2 8x 其准线方程为x 2 点评 1 求抛物线的标准方程 要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型 然后求抛物线的标准方程 再由条件确定参数p的值 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论 先入为主 设定一种形式的标准方程后求解 以致失去一解 2 应明确抛物线的标准方程 焦点坐标 准线方程三者相依并存 知道其中一个 就可以求出其他两个 如本题第 3 小题根据抛物线的顶点在原点及焦点在x轴设出方程 再将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离 产生所设方程中的参变量 分析与求解均建立在抛物线的几何性质的基础上进行 难度不大 但基础性较强 变式探究 1 1 顶点在坐标原点 焦点在y轴上 抛物线上一点q m 3 到焦点的距离等于5 则抛物线的方程为 2 动直线l的倾斜角为60 若直线l与抛物线x2 2py p 0 交于a b两点 若a b两点的横坐标之和为3 则抛物线的方程为 求以非标准方程形式给出的抛物线的焦点坐标或标准方程 点评 将抛物线方程化为标准形式 对照标准方程即可求得 变式探究 利用抛物线的定义求距离和的最小值 例3 设p是抛物线y2 4x上的一动点 1 求点p到点a 2 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值 2 若b 3 2 求 pb pf 的最小值 思路点拨 由抛物线方程为y2 4x知此抛物线的焦点为f 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知 点p到直线x 1的距离等于点p到焦点的距离 于是 问题转化为 在曲线上求一点p 使点p到点a 2 1 与到点f 1 0 的距离最小的问题 从而获得问题的解答 2 如图所示 自点b作bq垂直于抛物线的准线于点q 交抛物线于点p1 此时 p1q p1f 那么 pb pf p1b p1q bq 4 即最小值为4 点评 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在利用上有较大的灵活性 因此 此类问题也有一定的难度 本题中的两小问有一个共性 都是利用抛物线的定义 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 从而构造出 两点间线段距离最短 使问题获解 变式探究 3 2012 泰安月考 已知点m是抛物线y2 4x上的一点 f为抛物线的焦点 a在圆c x 4 2 y 1 2 1上 则 ma mf 的最小值为 解析 依题意得 ma mf mc 1 mf mc mf 1 由抛物线的定义知 mf 等于点m到抛物线x 1的准线的距离 结合图形不难得知 mc mf 的最小值等于圆心c 4 1 到抛物线的准线x 1的距离 即为5 因此所求的最小值为4 答案 4 与焦点弦有关的问题 解析 1 设直线l的方程为x my 1 0 代入y2 4x 整理得y2 4my 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则y1 y2是上述关于y的方程的两个不同实根 所以y1 y2 4m 根据抛物线的定义知 ab x1 x2 2 1 my1 1 my2 2 4 m2 1 2 由 1 知 ab 4 m2 1 4 当且仅当m 0时