高中数学 1.3.2 函数的最值配套课件 新人教A版必修1.ppt

1 3 2 函数的最值 学习目标 1 理解函数的最大 小 值及其几何意义 2 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 1 函数的最大值 f x0 m 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 那么称m是函数y f x 的最大值 练习1 函数f x 3x在 0 3 上的最大值是 9 f x m 2 函数的最小值 f x0 m 一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 对于任意的x i 都有 存在x0 i 使得 那么称m是函数y f x 的最小值 3 f x m 问题探究 完成下表 无 无 5 1无 0 9 0 对于一个函数来说 不一定有最值 若有最值 则最值一定是值域中的一个元素 上表体现了函数值的什么特征 答案 表格从上到下 从左到右依次填 题型1 利用图象求最值 例1 求下列函数的最大值和最小值 2 y x 1 x 2 图d11 解 1 二次函数y 3 2x x2的对称轴为x 1 画出函数的图象 由图d11 可知 作出函数的图象 由图d12 可知 y 3 3 所以函数的最大值为3 最小值为 3 图d12 当函数中含有绝对值时 可以采用分类讨论的方法去绝对值 将函数化为分段函数 利用图象研究其单调性及最值 关键要正确作出函数的图象 变式与拓展 1 图1 3 2为函数y f x x 4 7 的图象 指出它的最 大值 最小值及单调区间 图1 3 2 解 当x 3时 函数y f x 取最大值为3 当x 1 5时 函数y f x 取最小值为 2 函数的单调递增区间为 1 5 3 5 6 单调递减区间为 4 1 5 3 5 6 7 题型2 利用单调性求函数的最值问题 思维突破 先判断函数的单调性 再求其最值 f x1 f x2 0 f x 在 1 2 上是减函数 运用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法 特别是当函数的图象不易作出时 用函数的单调性求最值几乎成为首选方法 变式与拓展 2 函数y 4x 2 在区间 3 6 上是单调递 函数 最 小值是 减 1 3 求函数f x xx 1 在区间 2 5 上的最大值与最小值 解 任取2 x1 x2 5 2 x10 x1 1 0 f x2 f x1 0 即f x2 f x1 f x xx 1 在区间 2 5 上是单调减函数 f x max f 2 22 1 2 题型3 函数最值的应用 2 若对任意的x 1 f x 0恒成立 试求实数a的取值范围 2 方法一 f x 0对x 1 恒成立 x2 2x a 0 对x 1 恒成立 设y x2 2x a x 1 则y x 1 2 a 1在 1 上是增函数 从而ymin 3 a 于是当且仅当ymin 3 a 0 即a 3时 f x 0对x 1 恒成立 故实数a的取值范围是 3 方法二 f x 0对x 1 恒成立 x2 2x a 0对x 1 恒成立 a x2 2x对x 1恒成立 令 x2 2x x 1 2 1 其在 1 上是减函数 当x 1时 max 3 因此a 3 故实数a的取值范围是 3 变式与拓展 4 a b两城相距100km 在两地之间距a城xkm处的d地建一核电站给a b两城供电 为保证城市安全 核电站距城市距离不得少于10km 已知每个城市的供电费用和供电距离的平方与供电量之积成正比 比例系数 0 25 若a城供电量为20亿度 月 b城为10亿度 月 1 把月供电总费用y表示成x的函数 并求其定义域 2 核电站建在距a城多远 才能使供电费用最小 解 1 由题意知 核电站距离b城的距离为 100 x km 则又x 10 且100 x 10 则有10 x 90 故y与x的函数关系式为 例4 已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求f x 的最大值和最小值 2 求使函数y f x 在区间 5 5 上是单调函数的a的取 值范围 解 1 当a 1时 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 5 5 所以f x min f 1 1 f x max f 5 37 2 函数y f x 的对称轴为x a 函数在区间 5 5 上 是单调函数 即 a 5或 a 5 解得a 5或a 5 方法 规律 小结 1 函数的最值与其值域 单调性之间的关系 1 函数的最值与其值域的关系 对一个函数来说 其值域是确定的 但它不一定有最值 有的函数只有最大值而无最小值 如y x2 有的函数只有最小值而无最大值 如y x2 有的函数既无最大值也无最小值 2 函数的最值与其单调性的关系 若函数在闭区间 a b 上是减函数 则f x 在 a b 上的最 大值为f a 最小值为f b 若函数在闭区间 a b 上是增函数 则f x 在 a b 上的最 大值为f b 最小值为f a 2 二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题 一般要先作出y f x 的草图 然后根据图象的增减性进行研究 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系 它是求解二次函数在已知区间上最值问