高考数学第一轮总复习 2.2 函数的单调性与最值课件（含高考真题和模拟题）新人教A版.ppt

第二节函数的单调性与最值 知识梳理 1 函数的单调性 1 增函数 减函数 f x1 f x2 f x1 f x2 区间d 区间d 上升的 下降的 2 单调性 单调区间 若函数y f x 在区间d上是 或 则称函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 叫做y f x 的单调区间 增函数 减函数 区间d 2 函数的最值 f x m f x0 m f x m f x0 m 最大 最小 考点自测 1 思考 给出下列命题 函数f x 的图象如图所示 则函数f x 的单调增区间是 0 0 若定义在r上的函数f x 有f 1 f 3 则函数f x 在r上为增函数 函数y x 是r上的增函数 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的单调递增区间是 1 在闭区间上单调的函数 其最值一定在区间端点取到 其中正确的是 a b c d 解析 选d 错误 函数的单调递增区间应为 0 和 0 错误 对r上的特殊的 1 3 有f 1 f 3 f x 在r上不一定为增函数 错误 函数y x 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 错误 1 是单调递增区间的子集 正确 若函数在闭区间上单调 则其图象的最高 最低点一定在端点 即最值在端点取到 2 2014 泉州模拟 下列函数中 在区间 0 上为增函数的是 解析 选a 3 2014 成都模拟 设定义在 1 7 上的函数y f x 的图象如图所示 则关于函数的单调区间表述正确的是 a 在 1 1 上单调递减b 在 0 1 上单调递减 在 1 3 上单调递增c 在 5 7 上单调递减d 在 3 5 上单调递增 解析 选b 由图象可知当x 0 x 3 x 6时 f x 0 此时函数无意义 故排除a c d 故选b 4 已知函数f x 为r上的减函数 若a 或 f m 则实数m的取值范围是 解析 由已知 af b 由f 1 m f m 得1 m 答案 m 5 函数f x 1 在 1 2 上的最大值和最小值分别是 解析 f x 1 在 1 2 上是增函数 所以f x max f 2 f x min f 1 答案 6 2014 杭州模拟 若函数f x 2x a 的单调递增区间是 3 则a 解析 利用图象确定单调区间 f x 2x a 作出函数图象 根据图象可得函数的单调递增区间为 即 3 a 6 答案 6 考点1确定函数的单调性 区间 典例1 1 2014 黄冈模拟 函数y f x x r 的图象如图所示 则函数g x f logax 0 a 1 的单调减区间是 2 试讨论函数f x x 1 1 的单调性 其中a 0 解题视点 1 根据f x 的图象确定其单调性 再根据复合函数单调性判定方法 构建关于logax的式子求解 2 用定义法或导数法判断 规范解答 1 选b 由图象知f x 在 0 和 上单调递减 而在 0 上单调递增 又0 a 1时 y logax为 0 上的减函数 所以要使g x f logax 单调递减 需要logax 0 即0 logax 解得x 1 2 方法一 定义法 设x1 x2 1 1 且x1 x2 则f x1 f x2 因为 1 x1 x2 1 所以x2 x1 0 x12 1 0 x22 1 0 1 x1x2 1 x1x2 1 0 因此当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 此时函数在 1 1 上为增函数 方法二 导数法 f x 当a 0时 f x 0 所以当a 0时 f x 在 1 1 上为减函数 当a 0时 f x 在 1 1 上为增函数 互动探究 若将本例题 1 中的 01 则函数g x 的单调递减区间如何 解析 由例题 1 解析知 需logax 0或logax 解得x 1或x 又x 0 所以单调递减区间为 0 1 易错警示 关注函数的定义域本例题 1 在研究函数g x 的单调性时 易忽视函数y logax的定义域 0 而导致错误 在研究函数单调性或单调区间时 要注意定义域优先的原则 规律方法 确定函数单调性 区间 的常用方法与思路 1 定义法 先求定义域 再根据取值 作差 变形 定号的顺序得结论 2 图象法 若函数是以图象形式给出的 或者函数的图象可作出 可由图象的升 降写出它的单调性 区间 3 转化法 转化为已知函数的单调性 即转化为已知函数的和 差或复合函数 再根据 增 增得增 减 减得减 同增异减 得待确定函数的单调性 区间 4 导数法 先求导 再确定导数值的正负 由导数的正负得函数的单调性 区间 1 求复合函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将复合函数分解成基本初等函数 y f u u g x 3 分别确定这两个函数的单调区间 4 若这两个函数同增同减 则y f g x 为增函数 若一增一减 则y f g x 为减函数 即 同增异减 2 抽象函数单调性的判断方法与技巧对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义 结合题目所给性质和相应条件 对任意x1 x2在所给区间内比较f x1 f x2 与0的大小或与1的大小 f x 0 有时根据需要 需作适当的变形 如 x1 x2 或x1 x2 x1 x2等 变式训练 2013 北京高考 下列函数中 既是偶函数又在区间 0 上单调递减的是 a y b y e xc y x2 1d y lg x 解析 选c 根据在区间 0 上单调递减排除d 根据奇偶性排除a b 加固训练 1 函数f x x 2 x的单调减区间是 a 1 2 b 1 0 c 0 2 d 2 解析 选a 由于f x x 2 x 作出图象 结合图象知函数的单调减区间是 1 2 2 2014 石家庄模拟 函数的递减区间为 a 1 b c d 解析 选a 由2x2 3x 1 0 得函数的定义域为 1 令t 2x2 3x 1 则因为t 2x2 3x 1 2 x 2 所以t 2x2 3x 1的单调增区间为 1 又y 是减函数 所以函数y 2x2 3x 1 的单调减区间为 1 3 函数f x 2x 在 1 2 上的单调性为 解析 方法一 转化法 因为g x 2x与h x 在 1 2 上均为增函数 所以函数f x 在 1 2 上为单调增函数 方法二 导数法 因为f x 2 0 故f x 在 1 2 上为增函数 答案 单调增函数 4 2014 武汉模拟 已知函数f x 对于任意x y r 总有f x f y f x y 且当x 0时 f x 0 求证 f x 在r上是减函数 证明 方法一 因为函数f x 对于任意x y r总有f x f y f x y 所以令x y 0 得f 0 0 再令y x 得f x f x 在r上任取x1 x2 则x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又因为x 0时 f x 0 所以f x1 x2 0 即f x1 f x2 因此f x 在r上是减函数 方法二 设x1 x2 则f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又因为x 0时 f x 0 所以f x1 x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在r上为减函数 考点2确定函数的最值 值域 典例2 1 2013 辽宁高考 已知函数f x x2 2 a 2 x a2 g x x2 2 a 2 x a2 8 设h1 x max f x g x h2 x min f x g x max p q 表示p q中的较大值 min p q 表示p q中的较小值 记h1 x 的最小值为a h2 x 的最大值为b 则a b a 16b 16c a2 2a 16d a2 2a 16 2 若函数f x 在上的值域是 则实数a的值为 解题视点 1 搞清楚h1 x max f x g x h2 x min f x g x 的含义 分别作出其图象数形结合 求a b 2 先判断函数f x 在上的单调性 利用单调性及值域构建方程 组 求解 规范解答 1 选b h1 x max f x g x h2 x min f x g x 由f x g x x2 2 a 2 x a2 x2 2 a 2 x a2 8 解得x1 a 2 x2 a 2 而函数f x x2 2 a 2 x a2 g x x2 2 a 2 x a2 8的图象的对称轴恰好分别为x a 2 x a 2 可见二者图象的交点正好在它们的顶点处 如图1所示 结合h1 x max f x g x h2 x min f x g x 可知h1 x h2 x 的图象分别如图2 图3所示 图中实线部分 可见 a h1 x min f a 2 4a 4 b h2 x max g a 2 12 4a 从而a b 16 2 因为函数f x 在区间上是增函数 值域为 所以f 2 2 即解得答案 规律方法 求函数最值 值域 的常用方法及适用类型 1 单调性法 易确定单调性的函数 一般用单调性法在区间端点处取得 2 图象法 能作出图象的函数 用图象法 观察其图象最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 分子 分母其中一个为一次 一个为二次函数结构以及两个变量 如x y 的函数 一般通过变形使之具备 一正 二定 三相等 的条件 用基本不等式法求最值 值域 4 导数法 对于f x 可求 f x 0可解的三次 分式以及含ex lnx sinx cosx结构的函数 用导数法 先求出给定区间上的极值 再结合端点值求得 5 换元法 对解析式较复杂的函数 可通过换元转化为以上四种类型中的某种 再求解 提醒 用换元法时 一定要注意新 元 的范围 变式训练 2014 岳阳模拟 函数f x 的定义域为d 若存在闭区间 a b d 使得函数f x 满足 1 f x 在 a b 内是单调函数 2 f x 在 a b 上的值域为 2a 2b 则称区间 a b 为y f x 的 美丽区间 下列函数中存在 美丽区间 的是 只需填符合题意的序号 f x x2 x 0 f x ex x r f x x 0 f x x 0 解析 由函数中存在 美丽区间 的定义可知 f x x2 x 0 在 a b 内是单调增函数 则解得所以f x x2 x 0 存在 美丽区间 0 2 f x ex x r 若存在 美丽区间 a b 则所以构建函数g x ex 2x 所以g x ex 2 所以函数g x 在 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 所以函数g x 在x ln2处取得极小值 且为最小值 因为g ln2 2 2ln2 0 所以g x 0恒成立 所以ex 2x 0无解 故函数f x 不存在 美丽区间 f x x 0 在 0 上单调递减 若存在 美丽区间 a b 则则ab 故存在 美丽区间 若存在 美丽区间 a b 0 1 则所以a 0 b 1 故存在 美丽区间 0 1 故存在 美丽区间 的是 答案 加固训练 1 函数y x x 0 的最大值为 解析 令t 则t 0 所以y t t2 结合图象知 当t 即x 时 ymax 答案 2 若函数g x log3 ax2 2x 1 有最大值1 则实数a的值为 解析 令h x ax2 2x 1 由于y log3x在 0 上是递增函数 所以要使函数g x 有最大值1 应使h x ax2 2x 1有最大值3 因此有答案 3 函数f x x 1 的最小值为 解析 方法一 基本不等式法 f x 当且仅当x 1 即x 4时 f x min 8 方法二 导数法 f x 令f x 0得x 4或x 2 舍去 当14时 f x 0 f x 在 4 上递增 所以f x 在x 4处达到最小值 即f x min f 4 8 答案 8 4 2014 哈尔滨模拟 已知定义在区间 0 上的函数f x 满足且当x 1时 f x 0 1 求f 1 的值 2 判断f x 的单调性 3 若f 3 1 求f x 在 2 9 上的最小值 解析 1 令x1 x2 0 代入 得f 1 f x1 f x1 0 故f 1 0 2 任取x1 x2 0 且x1 x2 则 1 由于当x 1时 f x 0 所以 0 即f x1 f x2 0 因此f x1 f x2 所以函数f x 在区间 0 上是单调递减函数 3 因为f x 在 0 上是单调递减函数 所以f x 在 2 9 上的最小值为f 9 由 f x1 f x2 得 f 9 f 3 而f 3 1 所以f 9 2 所以f x 在 2 9 上的最小值为 2 考点3函数单调性的应用 考情 函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新的增长点 常以选择 填空题的形式出现 考查比较函数值大小 应用函数值大小 求最值 解含 f 符号不等式 以及求解析式中参数的值或取值范围问题 高频考点通关 典例3 1 2014 北京模拟 设偶函数f x 的定义域为r 当x 0 时 f x 是增函数 则f 2 f f 3 的大小关系是 a f f 3 f 2 b f f 2 f 3 c f f 3 f 2 d f f 2 f 3 2 2014 长春模拟 若函数f x 为r上的增函数 且f ax 1 f x 2 对任意x 都成立 则实数a的取值范围是 解题视点 1 先利用奇偶性将待比较函数值均转化为 0 上的函数 再利用单调性比较大小 2 利用函数的单调性脱掉 f 转化为一般的不等式恒成立问题求解 规范解答 1 选a 因为f x 为偶函数 所以f 2 f 2 f 3 f 3 又f x 在 0 上为增函数 且2f 3 f 2 2 因为f x 为r上的增函数 所以由f ax 1 f x 2 得ax 1 x 2 即a 1 在上恒成立 令g x 1 则由于g x 在上为增函数 所以所以a 5 即a 5 答案 5 通关锦囊 关注题型 特别提醒 解含 f 不等式时 要注意g x 与h x 的取值应在外层函数f x 的定义域内 通关题组 1 2014 娄底模拟 已知函数f x 在区间 1 2 上的最大值为a 最小值为b 则a b a b c 1d 1 解析 选a 函数f x 在区间 1 2 上为单调递减函数 所以当x 1时 f x 取最大值a 1 当x 2时 f x 取最小值b 所以a b 1 故选a 2 2014 郑州模拟 已知函数y f x 的图象关于x 1对称 且在 1 上单调递增 设a b f 2 c f 3 则a b c的大小关系为 a c b ab b a cc b c ad a b c 解析 选b 方法一 由题意知f x f 2 x 则又f x 在 1 上单调递增 所以f 2 f 3 即b a c 方法二 由对称性及单调性得其图象草图如图所示 结合图象得f 2 f 3 即b a c 3 2014 随州模拟 定义在r上的偶函数f x 在 0 上递增 0 则满足f 0的x的取值范围是 a 0 b 2 c d 解析 选b 由f x f x f x 得f 于是 即 或 解得 4 2014 长沙模拟 设函数是r上的单调递减函数 则实数a的取值范围为 解析 选b 由函数f x 是r上的单调递减函数得解得 加固训练 1 2014 重庆模拟 已知f x 是 上的减函数 那么a的取值范围是 解析 选c 由题意知即所以 2 2014 昆明模拟 已知函数y f x 满足 f x f 4 x x r 且在 2 上为增函数 则 a f 4 f 1 f 0 5 b f 1 f 0 5 f 4 c f 4 f 0 5 f 1 d f 0 5 f 4 f 1 解析 选c 因为函数y f x 满足 f x f 4 x x r 所以函数f x 的图象关于x 2对称 所以f 1 f 3 f 0 5 f 3 5 又因为f x 在 2 上为增函数 所以f 4 f 3 5 f 3 即f 4 f 0 5 f 1 故选c 3 2014 贵阳模拟 f x 在 0 上为减函数 则a f a2 a 1 b 的大小关系为 解析 因为a2 a 1 又f x 在 0 上为减函数 所以f a2 a 1 即a b 答案 a b 规范解答1 确定抽象函数的单调性及解含 f 的不等式 典例 12分 2014 合肥模