高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第二章 第四节一次函数和二次函数课件 理.ppt

第四节一次函数和二次函数 第二章 例1 已知二次函数f x 的对称轴为x 截x轴上的弦长为4 且过点 0 1 求函数f x 的解析式 自主解答 求二次函数的解析式 解析 二次函数的对称轴为x 可设所求函数为f x a x 2 b a 0 又 f x 截x轴上的弦长为4 f x 过点 2 0 和 2 0 又f x 过点 0 1 f x x 2 2 点评 在求二次函数解析式时 要灵活地选择二次函数解析式的表达形式 1 已知三个点的坐标 应选择一般形式 2 已知顶点坐标或对称轴或最值 应选择顶点式 3 已知函数图象与x轴的交点坐标 应选择两根式 1 已知二次函数f x 的二次项系数为a 且f x 2x的解集为 x 1 x 3 方程f x 6a 0有两相等实数 求f x 的解析式 变式探究 解析 设f x 2x a x 1 x 3 a 0 则f x ax2 4ax 3a 2x f x 6a ax2 4a 2 x 9a 4a 2 2 36a2 0 即16a2 16a 4 36a2 0 整理得 20a2 16a 4 0 5a2 4a 1 0 5a 1 a 1 0 解得a 或a 1 舍去 因此f x 的解析式为f x x 1 x 3 2x x2 x 例2 1 2012 佛山一中期中 函数f x 2x2 mx 3 当x 2 时是增函数 则m的取值范围是 a 8 b 8 c 8 d 8 2 2012 湛江二中月考 若f x x2 x a f m 0 则f m 1 的值 a 是正数b 是负数c 是非负数d 与m有关 二次函数的单调性与对称性 解析 1 函数的对称轴为x 且图象的开口向上 当x 时 函数是增函数 若x 2 时 函数是增函数 则 2 得m 8 故选c 2 函数的对称轴为x f m 1 f m 0 故选b 答案 1 c 2 b 点评 二次函数的单调性与对称性是二次函数的重要性质 在求二次函数的单调区间和最值时都要用到这些性质 变式探究 2 1 函数y x2 bx c x 0 是单调函数的充要条件是 a b 0b b 0c b 0d b 0 2 如果函数f x x2 bx c对任意实数t都有f 2 t f 2 t 那么 a f 2 f 1 f 4 b f 1 f 2 f 4 c f 2 f 4 f 1 d f 4 f 2 f 1 解析 1 函数y x2 bx c x r 的对称轴x 函数y x2 bx c x 0 是单调函数 0 0 b 0 故选a 2 f x x2 bx c a 1 抛物线开口向上 又f 2 t f 2 t 故x 2是其对称轴 即当x 2时 f x 取最小值 且f 1 f 3 而当x 2时 f x 是增函数 f 2 f 1 f 4 故选a 答案 1 a 2 a 求二次函数的最值 值域 例3 求二次函数f x x2 2x 3在区间 t r 上的最大值与最小值 解析 f x x2 2x 3 x 1 2 2 其对称轴为x 1 1 当t 1 1 即t 0时 f x 在区间 t t 1 上是减函数 f x max f t t2 2t 3 f x min f t 1 t 1 2 2 t 1 3 t2 2 2 当t 1时 f x 在区间 t t 1 上是增函数 f x min f t t2 2t 3 f x max f t 1 t 1 2 2 t 1 3 t2 2 3 当t 1 t 1 即0 t 1时 f x 在区间 t 1 上是减函数 在区间 1 t 1 上是增函数 f x min f 1 12 2 3 2 i 当1 t t 1 1 即0 t 时 f t f t 1 f x max f t t2 2t 3 ii 当1 t t 1 1 即 t 1时 f t f t 1 f x max f t 1 t2 2 综上所述 点评 讨论二次函数的区间最值问题 1 注意对称轴与区间的相对位置 2 注意相应抛物线的开口方向 具体地说 二次函数f x ax2 bx c在区间 上的最值一般分为三种情况讨论 对称轴x 在区间左边 函数在此区间上具有单调性 对称轴x 在区间之内 对称轴x 在区间右边 函数在此区间上具有单调性 要注意系数a的符号对抛物线开口方向的影响 变式探究 3 2013 山东德州模拟 是否存在实数a 使函数f x x2 2ax a的定义域为 1 1 时 值域为 2 2 若存在 求a的值 若不存在 说明理由 解析 f x x a 2 a a2 当a 1时 f x 在 1 1 上为增函数 所以解得a 1与a 1矛盾 当 1 a 0时 f x 在 1 a 上为减函数 在 a 1 上为增函数 此时解得a 1 当0 a 1时 f x 在 1 a 上为减函数 在 a 1 上为增函数 此时该方程组无解 当a 1时 在f x 在 1 1 上为减函数 所以该方程组无解 综上可得a 1 二次方程根的分布问题 例4 已知函数f x x2 2a 1 x a2 2的图象与x轴的非负半轴至少有一个交点 求a的取值范围 解析 法一 由题设知关于x的方程x2 2a 1 x a2 2 0至少有一个非负实根 设两实根为x1 x2 则 法二 由题意知f 0 0或 法三 当函数f x x2 2a 1 x a2 2与x轴的非负半轴没有交点时 函数f x x2 2a 1 x a2 2与x轴的非负半轴至少有一个交点时 a的取值范围为 点评 解决二次方程根的分布问题 主要方法是结合二次函数的图象从判别式 韦达定理 对称轴 端点函数值 开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件 这里涉及到三个 二次问题 的全面考虑和 数形结合思想 的灵活运用 变式探究 4 2013 河南名校模拟 已知函数f x m 2 x2 mx 2m 1 的两个零点分别在区间 1 0 和区间 1 2 内 则实数m的取值范围是 解析 依题意有得解得 m 故选a 答案 a 二次函数的综合问题 例5 设二次函数f x x2 ax a 方程f x x 0的两根x1和x2满足0 x1 x2 1 1 求实数a的取值范围 2 试比较f 0 f 1 f 0 与的大小 并说明理由 解析 1 令g x f x x x2 a 1 x a 则由题意可得 得得0 a 3 2 故所求实数a的取值范围是 0 3 2 2 f 0 f 1 f 0 2a2 故所求实数a的取值范围是 0 3 2 2 f 0 f 1 f 0 2a2 令h a 2a2 因为当a 0时 h a 2a2单调递增 所以当0 a 3 2时 0 h a h 3 2 因为h 3 2 2 3 2 2 2 17 12 所以f 0 f 1 f 0 点评 二次函数 二次方程与二次不等式统称 三个二次 它们常有机结合在一起 而二次函数又是 三个二次 的核心 通过二次函数的图象贯穿为一体 因此 有关二次函数的问题 数形结合 密切联系图象是探求解题思路的有效方法 用函数思想研究方程 不等式 尤其是恒成立 问题是高考命题的热点 2 对于二次函数y ax2 bx c a 0 在闭区间 k1 k2 上的最值问题 要讨论函数图象的对称轴在区间外 内的情况 而不是盲目使用配方法或公式法求最值 3 注意判别式的使用条件 一般来说 二次函数的定义域是实数集r的某一子集时 使用判别式往往会得出错误结果 变式探究5 已知函数y f x 的图象与函数h x x2 6x 8的图象关于点 1 0 对称 1 求函数f x 的表达式 2 设函数g x f x 2x x 1 a a r 求g x 的最小值 解析 1 设y f x 上的任意一点为 x y 则它关于点 1 0