高中数学 422 圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

4 2 2圆与圆的位置关系 1 已知两圆c1和c2的半径分别为r1 r2 圆心距为d两圆相离 两圆相外切 两圆相交 两圆相内切 两圆内含 2 已知两圆x2 y2 1与x2 y2 2x y 0交于a b两点 则直线ab方程为 d r1 r2 d r1 r2 r2 r1 d r2 r1 d r2 r1 0 d r2 r1 2x y 1 0 3 试判断下列两圆的位置关系填空 1 x2 y2 6x 4 0和x2 y2 6x 28 0 2 x2 y2 4x 6y 0和x2 y2 2x 4y 0 内含 相交 本节学习重点 圆与圆的位置关系 本节学习难点 圆的方程的综合问题 2 过两圆交点的直线方程设圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0 圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0 得 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 1 若圆c1与c2相交 则 为过两圆交点的弦所在的直线方程 2 若圆c1与c2半径相等 则 表示两圆的对称轴 事实上 可以证明直线 过两圆连心线的中点且与两圆连心线垂直 3 圆系方程 同心圆系 与圆x2 y2 dx ey f 0同心的圆的方程可设为x2 y2 dx ey 0 相交圆系 过两圆x2 y2 d1x e1y f1 0与x2 y2 d2x e2y f2 0的交点的圆的方程可设为 x2 y2 d1x e1y f1 x2 y2 d2x e2y f2 0 1 1时为两圆相交弦所在直线方程 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 特别此两圆相切时 此方程表示两圆的公切线方程 过直线l ax by c 0与圆x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 的交点的圆的方程可设为x2 y2 dx ey f ax by c 0 例1 判断下列两圆的位置关系 1 x2 y2 2x 0与x2 y2 4y 0 2 x2 y2 x 2y 0与x2 y2 6x 8y 24 0 解析 1 圆心c1 1 0 c2 0 2 半径r 1 r 2 圆心距离d r r d r r 故两圆相交 2 同 1 的方法可知两圆外离 点评 判断两圆的位置关系一般用几何法 而不用代数法 因为用代数法计算量大 且联立方程组消元后 若只有一解 未必两圆相切 如圆x2 y2 4与 x 2 2 y2 9相交 但消去y后关于x的方程只有一解 已知圆c1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0 圆c2 x2 y2 2x 2my m2 3 0 1 若圆c1与圆c2相外切 则m 2 若圆c1与圆c2内含 则m的取值集合为 答案 1 5或2 2 m 2 m 1 解析 c1 x m 2 y 2 2 9 c2 x 1 2 y m 2 4 1 如果c1与c2外切 则有 m 1 2 m 2 2 1 m2 3m 2 0 2 m 1 当m 5或m 2时 c1与c2外切 当 2 m 1时 c1与c2内含 例2 已知圆c1 x2 y2 2x 6y 1 0 圆c2 x2 y2 4x 2y 11 0 求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长 分析 因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程 联立方程组 消去x2项 y2项 即得两圆的两个交点所在的直线方程 利用勾股定理可求出两圆公共弦长 解析 设两圆交点为a x1 y1 b x2 y2 则a b两点坐标是方程组 得3x 4y 6 0 a b两点坐标都满足此方程 3x 4y 6 0即为两圆公共弦所在的直线方程 易知圆c1的圆心 1 3 半径r 3 a的方程为x2 y2 2x 2y 7 0 b的方程为x2 y2 2x 2y 2 0 判断 a和 b是否相交 若相交 求过两交点的直线的方程及两交点间的距离 若不相交 说明理由 解析 a x 1 2 y 1 2 9的圆心a 1 1 半径r 3 b x 1 2 y 1 2 4的圆心b 1 1 半径r 2 两圆相交 a的方程与 b的方程左 右两边分别相减得 4x 4y 5 0 即4x 4y 5 0为过两圆交点的直线的方程 设两交点分别为c d 则直线cd方程为 4x 4y 5 0 点评 判断两圆相交的方法 常用两圆心之间的距离d与两圆半径的和及差的绝对值比较大小 即当 r r d r r时 两圆相交 求相交两圆的公共弦长及其方程一般不用求交点的方法 常用两方程相减法消去二次项 得公共弦的方程 用勾股定理求弦长 例3 求以两圆c1 x2 y2 2x 3 0 c2 x2 y2 4x 5 0的交点为直径的圆的方程 分析 由圆系方程设出所求圆的方程 再结合圆心必在二圆公共弦上 而公共弦方程由二圆方程相减消去平方项得到 解析 设过c1 c2交点的圆方程为 x2 y2 2x 3 x2 y2 4x 5 0 点评 1 公共弦为直径 圆心在公弦线上 又在连心线上 由此可得圆心坐标 半径为弦长的一半 2 可以先联立两圆的方程组成方程组解出交点坐标 然后由中点坐标公式和两点间距离公式求圆心和半径 但计算量较大 过圆x2 y2 2x 4y 5 0和直线2x y 4 0的交点 且圆心在直线y x上的圆的方程为 答案 x2 y2 10 x 10y 29 0 解析 设圆的方程为x2 y2 2x 4y 5 2x y 4 0 即x2 y2 2 2 x 4 y 4 5 0 以下求半径 x 5 2 y 5 2 r2与x2 y2 2x 4y 5 0相减得直线方程为2x y 4 0 可得r2 79 由弦长 弦心距求r 由圆系方程圆心求r 2 由直线与圆方程联立可解出两交点a b坐标 因为圆心c在直线y x上 故可设c x0 x0 可由 ca cb 求出x0 例4 1 求圆心为c 1 2 且与定圆x2 y2 4相切的圆的方程 2 求半径为1 且与定圆x2 y2 9相切的动圆圆心的轨迹方程 半径为4 与圆x2 y2 4x 2y 4 0相切 且和直线y 0相切的圆的方程为 解析 因为所求圆与直线y 0相切且半径为4 所以设圆心坐标为o1 a 4 或o1 a 4 且方程为 x a 2 y 4 2 42或 x a 2 y 4 2 42 已知圆x2 y2 4x 2y 4 0的圆心为o2 2 1 半径为3 点评 本题易形成下面错解 因为所求圆与直线y 0相切且半径为4 所以设圆心的坐标o1 a 4 且方程为 x a 2 y 4 2 42 又已知圆x2 y2 4x 2y 4 0 即 x 2 2 y 1 2 32 圆心为o2 2 1 半径为3 错误的原因是 圆与直线y 0相切 圆半径为4 圆心的纵坐标不一定为4 也可以是 4 两圆相切不一定是外切 也可能内切 故解题时考虑问题要周到细致 一 选择题1 若两圆x2 y2 m与x2 y2 6x 8y 11 0有公共点 则实数m的取值范围是 a m2c 1 m 121d 1 m 121 答案 c 2 已知圆c1 x 1 2 y 3 2 25 圆c2与圆c1关于点 2 1 对称 则圆c2的方程是 a x 3 2 y 5 2 25b x 5 2 y 1 2 25c x 1 2 y 4 2 25d x 3 2 y 2 2 25 答案 b 解析 设 c2上任一点p x y 它关于 2 1 的对称点 4 x 2 y 在 c1上 x 5 2 y 1 2 25 3 圆x2 y2 2x 5 0和圆x2 y2 2x 4y 4 0的交点为a b 则线段ab的垂直平分线方程为 a x y 1 0b 2x y 1 0c x 2y 1 0d x y 1 0 答案 a 解析 直线ab的方程为 4x 4y 1 0 因此线段ab的垂直平分线斜率为 1 过圆心 1 0 方程为y x 1 故选a 点评 两圆相交时 公共弦的