高三数学一轮复习 2.11导数及其运算课件.ppt

备考方向要明了 1 对于导数的几何意义 高考要求较高 主要填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题 如2008年高考t6 2009年高考t9 2010年高考t8 2 导数的基本运算多涉及三次函数 指数函数与对数函数 三角函数等 主要考查对基本初等函数的导数及求导法则的正确利用 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 3 能根据导数定义求函数y c c为常数 y x y x2 y x3 y 的导数 4 能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 怎么考 考什么 归纳知识整合 1 导数的概念 常数a f x0 若f x 对于区间 a b 内任一点都可导 则f x 在各点的导数也随着自变量x的变化而变化 因为也是自变量x的函数 该函数称为f x 的 记作f x 在不引起混淆时 导函数f x 也叫做函数f x 的导数 2 导数的背景 函数f x 在x x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处切线的 设s s t 是位移的函数 则s t0 表示物体在t t0时刻的 v v t 是位移的函数 则v t0 表示物体在t t0时刻的 导函数 斜率 瞬时速度 瞬时加速度 探究 1 f x 与f x0 有何区别与联系 提示 f x 是一个函数 f x0 是常数 f x0 是函数f x 在x0处的函数值 2 曲线y f x 在点p0 x0 y0 处的切线与过点 y0 的切线 两种说法有区别吗 提示 1 曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线是指p为切点 斜率为k f x0 的切线 是惟一的一条切线 2 曲线y f x 过点p x0 y0 的切线 是指切线经过p点 点p可以是切点 也可以不是切点 而且这样的直线可能有多条 3 过圆上一点p的切线与圆只有公共点p 过函数y f x 图象上一点p的切线与图象也只有公共点p吗 提示 不一定 它们可能有2个或3个或无数多个公共点 2 几种常见函数的导数 0 nxn 1 cosx sinx axlna ex 3 导数的运算法则 1 f x g x 2 f x g x 3 g x 0 f x g x f x g x f x g x 自测牛刀小试 答案 3 2 曲线y 2x x3在x 1处的切线方程为 解析 f x 2x x3 f x 2 3x2 f 1 2 3 1 又f 1 2 1 1 切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 答案 x y 2 03 y x2cosx的导数是 解析 y 2xcosx x2sinx 答案 y 2xcosx x2sinx 5 2012 镇江调研 已知函数y f x 在点 2 f 2 处的切线为y 2x 1 则函数g x x2 f x 在点 2 g 2 处的切线方程为 解析 因为y f x 在点 2 f 2 处的切线为y 2x 1 所以f 2 2 f 2 3 由g x x2 f x 得g x 2x f x 所以g 2 22 f 2 7 即点 2 g 2 为 2 7 g 2 4 f 2 6 所以g x x2 f x 在点 2 g 2 处的切线方程为y 7 6 x 2 即6x y 5 0 答案 6x y 5 0 导数的计算 求函数的导数的方法 1 求导之前 应先利用代数 三角恒等式等对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量 提高运算速度 减少差错 2 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式 但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式 然后进行求导 这样可以避免使用商的求导法则 减少运算量 导数的几何意义 答案 1 4 若将本例 2 中 在点p 2 4 改为 过点p 2 4 如何求解 1 求曲线切线方程的步骤 1 求出函数y f x 在点x x0处的导数 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处切线的斜率 2 由点斜式方程求得切线方程为y y0 f x0 x x0 2 求曲线切线方程需注意两点 1 当曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线平行于y轴 此时导数不存在 时 切线方程为x x0 2 当切点坐标不知道时 应首先设出切点坐标 再求解 导数几何意义的应用 例3 已知a为常数 若曲线y ax2 3x lnx存在与直线x y 1 0垂直的切线 则实数a的取值范围是 曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线 与 过点p x0 y0 的切线 的区别 前者p x0 y0 为切点 而后者p x0 y0 不一定为切点 1 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号 防止与乘法公式混淆 2 利用导数公式求导数时 只要根据几种基本函数的定义 判断原函数是哪类基本函数 再套用相应的导数公式求解 切不可因判断函数类型失误而出错 3 直线与曲线公共点的个数不是切线的本质 直线与曲线只有一个公共点 直线不一定是曲线的切线 同样 直线是曲线的切线 则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点 4 曲线未必在其切线的同侧 如曲线y x3在其过 0 0 点的切线y 0的两侧 易误警示 导数几何意义应用的易误点 1 如果审题不仔细 未对点 1 0 的位置进行判断 误认为 1 0 是切点 而致错 2 解决与导数的几何意义有关的问题时 应重点注意以下几点 首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键 基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证 熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提 2 已知曲线y 3x x3及点p 2 2 则过点p的切线条数为 答案 3 答案 27x 27y 4 0 解析 根据函数的求导公式知只有 正确 答案 2 2012 南通 泰州 扬州