度高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义同步辅导与检测课件 新人教A版必修4.ppt

2 4平面向量的数量积2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 平面向量 1 掌握平面向量数量积的意义 体会数量积与投影的关系 2 正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律 3 理解利用平面向量数量积 可以处理有关长度 角度和垂直问题 基础梳理 一 1 aob 0 练习 同向反向垂直a b 2 已知两个 向量a与b 我们把数量 叫a与b的数量积 或内积 记作 即a b 其中 是a与b的夹角 叫做向量a在b方向上的 3 投影 的概念 作图定义 a cos 叫做向量a在b方向上的投影 投影也是一个数量 不是向量 当 为锐角时投影为正值 当 为钝角时投影为负值 当 为直角时投影为0 当 0时投影为 b 当 时投影为 b 4 零向量与任意向量的数量积为 思考应用 1 向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同 影响数量积大小的因素有哪些 并完成下表 解析 向量的数量积的结果是一个数量 而线性运算的结果是一个向量 影响数量积大小的因素有向量各自的长度和它们之间的夹角 二 平面向量数量积的性质1 设a与b均为非空向量 1 a b 2 当a与b同向时 a b 当a与b反向时 a b 特别地a a 或 a 3 cos 4 a b 2 a b的几何意义 3 向量的数量积满足下列运算律已知向量a b c与实数 1 a b 律 2 a b 律 3 a b c 律 思考应用 2 判断正误 并简要说明理由 a 0 0 0 a 0 0 a b a b 若a 0 则对任一非零b有a b 0 a b 0 则a与b中至少有一个为0 对任意向量a b c都有 a b c a b c a与b是两个单位向量 则a2 b2 解析 上述8个命题中只有 正确 对于 两个向量的数量积是一个实数 应有0 a 0 对于 应有0 a 0 对于 由数量积定义有 a b a b cos a b 这里 是a与b的夹角 只有 0或 时 才有 a b a b 对于 若非零向量a b垂直 有a b 0 对于 由a b 0可知a b可以都非零 对于 若a与c共线 记a c 则a b c b c b b c a b c b c c b c c b c a若a与c不共线 则 a b c b c a 自测自评 1 已知 a 4 b 2且a与b的夹角为60 则a b 2 已知a b 12 且 a 3 b 5 则b在a方向上的投影为 3 已知 a 3 b 5且a与b不共线 a b与a b垂直 则 4 已知 a 6 e是单位向量 它们之间夹角是45 则a在e方向上的投影 5 已知 abc中 a 5 b 8 c 60 则 求向量的数量积及向量的模 已知 a 3 b 4且a与b的夹角为 120 求 a b a b 2 a b 分析 根据向量的运算律求 a b 2 a b 求模时转化为求向量的平方问题 即 a 2 a2 跟踪训练 分析 向量的多项式运算与代数式的多项式运算法则是一致的 判断三角形形状 已知 abc中 试判断 abc的形状 跟踪训练 2 已知o为 abc所在平面内一点 且满足试判断 abc的形状 向量的垂直问题 已知 a 3 b 4且a与b不共线 k为何值时 向量 a kb 与 a kb 互相垂直 分析 根据向量 a kb 与 a kb 互相垂直的条件列出关于k的关系式 求关于k的方程 跟踪训练 3 已知 a 2 a 1 a与b的夹角为 若向量2a kb与a b垂直 求k的值 求向量的夹角 已知单位向量e1 e2的夹角为60 求向量a e1 e2与b e2 2e1的夹角 分析 要求向量a e1 e2与b e2