度高中数学 2.4 平行与垂直综合问题同步辅导与检测课件 新人教A版必修2.ppt

2 4平行与垂直综合问题 点 直线 平面之间的位置关系 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 自测自评 1 表示平面 a b表示直线 则能使得a 成立的条件是 a 且a b b 且a bc a b 且b d 且a 2 若三个平面 之间有 则 与 a 垂直b 平行c 相交d 以上三种可能都有3 对于任意的直线l与平面a相交 在平面a内不可能有直线m 使m与l a 平行b 相交c 垂直d 互为异面直线 d a a 4 给出以下四个命题 其中真命题有 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面 那么这两条直线互相平行 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 线面垂直 面面垂直的综合问题 如右图所示 在四棱锥p abcd中 底面是边长为a的正方形 侧棱pd a pa pc a 1 求证 pd 平面abcd 2 求证 平面pac 平面pbd 3 求证 二面角p bc d是45 的二面角 分析 由题目可获取以下主要信息 abcd是正方形 边长为a pd a pa pc a 解答本题第 1 2 问可先根据需证问题寻找相关元素 再由判定定理进行判定 第 3 问可先找出二面的平面角 再证明平面角等于45 证明 1 pd a dc a pc a pc2 pd2 dc2 pd dc 同理可证pd ad 又ad dc d pd 平面abcd 2 由 1 知pd 平面abcd pd ac 而四边形abcd是正方形 ac bd 又bd pd d ac 平面pdb 同时ac 平面pac 平面pac 平面pbd 3 由 1 知pd bc 又bc dc bc 平面pdc bc pc pcd为二面角p bc d的平面角 在rt pdc中 pd dc a pcd 45 二面角p bc d是45 的二面角 跟踪训练 1 如右图所示 在棱长均为2的斜三棱柱abc def中 已知bf ae bf ce o ab ae 连接ao 求证 ao 平面febc 证明 bcfe是菱形 bf ec 又 bf ae 且ae ec e bf 平面aec 而ao 平面sec bf ao ae ab ab ac ae ac ao ec 且bf ce o ao 平面bcfe 线面平行与垂直的综合问题 如右图所示 已知多面体abcde中 ab 平面acd de 平面acd acd是正三角形 且ad de 2 ab 1 f是cd的中点 1 求证 af 平面bce 2 求多面体abcde的体积 解析 1 证明 取ce的中点m 连接fm bm 则有fm綊de綊ab 所以四边形afmb是平行四边形 故af mb 又bm 平面bce af 平面bce 所以af 平面bce 2 易得de af af cd 所以af 平面cde 又af mb故bm 平面cde 所以vabcde vb acd vb cde 跟踪训练 2 如右图所示 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 分析 由题目可获取以下主要信息 1 ec 面abc 正三角形abc 2 bd ce且ce ca 2bd 解答本题可先由线 线 线 面的性质 再由m是ea的中点得线 线 线 面 进而证得面 面 证明 1 如右图所示 取ec的中点f 连接df ec 平面abc bc 平面abc ec bc 易知df bc df ec 在rt efd和rt dba中 ef ec ec 2bd fd bc ab rt efd rt dba 故de da 2 取ca的中点n 连接mn bn 则mn ec 且mn ec ec bd mn bd n点在平面bdm内 ec 平面abc ec bn 又ca bn bn 平面eca bn在平面mnbd内 平面mnbd 平面eca 即平面bdm 平面eca 3 dm bn bn 平面cae dm 平面eca 又dm 平面dea 平面dea 平面eca 点评 本题涉及线面垂直 面面垂直的性质和判定 其中证明bn 平面eca是关键 1 已知平面 外不共线的三点a b c 且ab 则正确的结论是 a 平面abc必平行于 b 平面abc必与 相交c 平面abc必不垂直于 d 存在 abc的一条中位线平行于 或在 内2 两个平面重合的条件是它们的公共部分有 a 两个公共点b 三个公共点c 四个公共