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第七节数学归纳法 数学归纳法一个与自然数相关的命题 如果 1 当n取第一个值n0时命题成立 在假设当n k k n 且k n0 时命题成立的前提下 推出当n k 1时命题也成立 那么可以断定 这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立 疑难关注 1 数学归纳法是一种重要的数学思想方法 主要用于解决与正整数有关的数学问题 证明时步骤 1 和 2 缺一不可 步骤 1 是步骤 2 的基础 步骤 2 是递推的依据 2 在用数学归纳法证明时 第 1 步验算n n0的n0不一定为1 而是根据题目要求 选择合适的起始值 第 2 步 证明n k 1时命题也成立的过程 一定要用到归纳假设 否则就不是数学归纳法 解析 边数最少的凸n边形是三角形 答案 c 答案 d 3 某个命题与自然数n有关 若n k k n 时命题成立 那么可推得当n k 1时该命题也成立 现已知n 5时 该命题不成立 那么可以推得 a n 6时该命题不成立b n 6时该命题成立c n 4时该命题不成立d n 4时该命题成立解析 解法一由n k k n 时命题成立 可推得当n k 1时该命题也成立 因而若n 4成立 必有n 5成立 现知n 5不成立 所以n 4一定不成立 解法二其逆否命题为 若当n k 1时该命题不成立 则当n k时也不成立 为真 故 n 5时不成立 n 4时不成立 答案 c 5 2013年徐州模拟 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 当第二步假设n 2k 1 k n 命题为真时 进而需证n 时 命题亦真 解析 n为正奇数 假设n 2k 1成立后 需证明的应为n 2k 1时成立 答案 2k 1 考向一证明等式 1 用数学归纳法证明1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 从n k到n k 1 左边需增添的代数式是 a 2k 2b 2k 3c 2k 1d 2k 2 2k 3 解析 当n k时 左边共有2k 1个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 所以当n k 1时 左边共有2k 3个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 2k 2 2k 3 答案 d 考向三归纳 猜想 证明 例3 2013年汉沽模拟 如图 p1 x1 y1 p2 x2 y2 pn xn yn 0 y1 y2 yn 是曲线c y2 3x y 0 上的n个点 点ai ai 0 i 1 2 3 n 在x轴的正半轴上 且 ai 1aipi是正三角形 a0是坐标原点 1 写出a1 a2 a3 2 求出点an an 0 n n 的横坐标an关于n的表达式并证明 思路导析 1 从充分性与必要性两方面证明 2 利用x1 x2 x3 先确定c的大的范围 再利用xn xn 1确立c的具体取值范围 并用数学归纳法证明 名师点评 第一步 理清题意 确定要证明的等式或不等式 第二步 验证初始值
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