高中数学 8.6椭圆(一)配套课件 苏教版.ppt

第六节椭圆 一 三年3考高考指数 1 对椭圆定义的理解平面内动点p到两个定点f1 f2的距离的和等于常数2a 若动点p的轨迹是椭圆 应具备的条件是 若轨迹是线段 则应当满足 当2a f1f2 时 轨迹不存在 2a f1f2 2a f1f2 即时应用 判断下列点的轨迹是否为椭圆 请在括号内填 是 或 否 1 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于2的点的轨迹 2 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于4的点的轨迹 3 平面内到点a 0 2 b 0 2 距离之和等于6的点的轨迹 解析 由椭圆的定义可知 1 距离之和小于 ab 所以点的轨迹不存在 2 距离之和等于 ab 点的轨迹是以a b为端点的一条线段 3 符合椭圆定义 点的轨迹是以a b为焦点 长轴长为6的椭圆 答案 1 否 2 否 3 是 2 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 对称轴 坐标轴对称中心 原点 长轴a1a2的长为2a短轴b1b2的长为2b 图形 性质 范围 对称性 顶点 轴 a b 0 a 性质 焦距 离心率 a b c的关系 标准方程 a b 0 即时应用 1 思考 椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系 提示 因为离心率所以 离心率越接近于1 b就越接近于0 即短轴的长接近于0 椭圆就越扁 离心率越接近于0 a b就越接近 即椭圆的长 短轴长越接近相等 椭圆就越接近于圆 但永远不会为圆 2 已知椭圆中心在原点 一个焦点为f 2 0 且长轴长是短轴长的2倍 则该椭圆的标准方程是 解析 设椭圆的标准方程是1 a b 0 由题意知解得 标准方程为答案 3 已知椭圆的短轴长为6 离心率为则椭圆的一个焦点到长轴端点的距离为 解析 因为椭圆的短轴长为6 所以b 3 又因为离心率为所以 又因为a2 b2 c2 解 组成的方程组得 a 5 c 4 所以 焦点到长轴端点的距离为 a c 9或a c 1 答案 9或1 椭圆的定义 标准方程 方法点睛 1 应用椭圆的定义应注意的问题利用椭圆的定义解题时 一方面要注意常数2a f1f2 这一条件 另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的 焦点三角形 中的数量关系 2 椭圆的标准方程 1 当已知椭圆的焦点在x轴上时 其标准方程为 a b 0 当已知椭圆的焦点在y轴上时 其标准方程为 a b 0 2 当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时 其标准方程可设为 m 0 n 0 m n 这样可避免讨论和复杂的计算 也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 这种形式 在解题时更简便 例1 1 已知 abc的顶点b c在椭圆上 顶点a是椭圆的一个焦点 且椭圆的另外一个焦点在bc边上 则 abc的周长为 2 已知点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上 且p到两焦点的距离分别为5 3 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 求椭圆的方程 解题指南 1 注意a为椭圆的一个焦点 且bc边过椭圆的另一个焦点 因此 可借助于椭圆的定义求 abc的周长 2 可先设椭圆的方程为或 a b 0 再根据题设条件求出相应的系数值即可 规范解答 1 因为a为椭圆的一个焦点 且bc边过椭圆的另一个焦点 设该焦点为f 所以由椭圆的定义得 ba bf ca cf 因此 abc的周长为答案 2 设椭圆方程为或 a b 0 因为p到两焦点的距离分别为5 3 所以2a 5 3 8 即a 4 又因为过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 所以 2c 2 52 32 16 所以c2 4 因此b2 a2 c2 12 所以椭圆方程为 或 互动探究 本例 2 将条件 过p且与长轴垂直的直线恰好过椭圆的一个焦点 改为 点p和两焦点构成的三角形为直角三角形 结果如何 解析 当其中一个焦点为直角顶点时 与例题条件相同 所以 椭圆方程为或当直角顶点为点p时 则有 2c 2 52 32 34 所以又因为a 4 所以 所以椭圆方程为 或综上可知 所求椭圆方程为 或或或 反思 感悟 1 从两个题目求解可以看出 在解决椭圆上的点到焦点的距离问题时 经常联想到椭圆的定义 进而得出长轴的长 2 在求椭圆方程时 若已知椭圆上的点到两焦点的距离 可先求出椭圆长轴长 再想法求短轴长 从而得出方程 若已知点的坐标 可先设出椭圆的标准方程 再利用待定系数法求解 当椭圆的焦点不确定时 应考虑焦点在x轴 在y轴两种情形 无论哪种情形 始终有a b 0 变式备选 已知f1 f2是椭圆c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且若 pf1f2的面积为9 则b 解析 设 pf1 r1 pf2 r2 则 2r1r2 r1 r2 2 r12 r22 4a2 4c2 4b2 b 3 答案 3 椭圆的几何性质及应用 方法点睛 1 性质中的不等关系对于椭圆标准方程中x y的范围 离心率的范围等 在求与椭圆有关的一些量的范围 或者求这些量的最大值 最小值时 经常用到这些不等关系 2 利用椭圆几何性质应注意的问题求解与椭圆几何性质有关的问题时 要结合图形进行分析 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的内在联系 3 求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率时 一般是依据题设得出一个关于a b c的等式 或不等式 利用a2 b2 c2消去b 即可求得离心率或离心率的范围 提醒 椭圆离心率的范围 0 e 1 例2 2012 无锡模拟 设椭圆 a b 0 的两个焦点分别为f1 f2 点p在椭圆上 且tan pf1f2 2 则该椭圆的离心率等于 解题指南 由得 f1pf2为直角三角形 再由tan pf1f2 2得出两直角边的比为2 而斜边长为2c 由勾股定理及椭圆的定义即可求出离心率 规范解答 因为所以pf1 pf2 得 f1pf2为直角三角形 又因为tan pf1f2 2 所以可设 pf1 m 则 pf2 2m 2a 3m 2c m 所以离心率答案 反思 感悟 1 本题是依据题设条件求椭圆的离心率 通过求解过程 我们可以看出 求椭圆的离心率的值 关键是寻找关于a c的一个等式 或解方程求出离心率 或直接求出离心率 2 在解方程求椭圆离心率的值时 要注意椭圆离心率的范围 有增根要舍去 变式训练 定义 离心率的椭圆为 黄金椭圆 已知e a b 0 的一个焦点为f c 0 c 0 则e为 黄金椭圆 是 a b c成等比数列 的 条件 填充分不必要 必要不充分 充要或既不充分也不必要 解析 若e为黄金椭圆 则所以a b c成等比数列 a b c全不为零 若a b c成等比数列 则b2 ac a2 c2 ac e2 e 1 0 又0 e 1 所以 故e为黄金椭圆 答案 充要 变式备选 如图 在平面直角坐标系xoy中 点a为椭圆e a b 0 的左顶点 b c在椭圆e上 若四边形oabc为平行四边形 且 oab 30 则椭圆e的离心率等于 解析 依题设知 点c的坐标为 又因为点c在椭圆e上 所以有解得a2 9b2 因此 a2 9 a2 c2 即所以椭圆e的离心率等于答案 椭圆的焦点三角形 方法点睛 焦点三角形常用结论 以 a b 0 为例 1 定义 r1 r2 2a 2 余弦定理 r12 r22 2r1r2 cos 2c 2 3 面积 其中p x0 y0 为椭圆上不同于左右端点的一点 pf1 r1 pf2 r2 f1pf2 4 其中 pf2f1 pf1f2 例3 已知p是椭圆 a b 0 上一点 f1 f2分别是左 右两个焦点 1 若 f1pf2 0 求证 f1pf2的面积为 2 若存在点p 使 f1pf2 90 求椭圆离心率的取值范围 3 若过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a b两点 abf2是正三角形 求这个椭圆的离心率 解题指南 1 f1pf2为焦点三角形 设 pf1 m pf2 n 则m n 2a 而只要将mn用m n表示出来即可 2 若求离心率e的取值范围 则必须依据条件 得到关于e的不等式求解 3 利用求解 规范解答 1 如图所示 设 pf1 m pf2 n 则m n 2a f1pf2的面积为s 则s 在 f1pf2中 2c 2 m2 n2 2mncos m n 2 2mn 1 cos 又m n 2a 1 cos 0 mn 由 得 2 方法一 当 f1pf2 90 时 由 1 得4c2 4a2 2mn 又mn 当且仅当m n时取等号 4a2 4c2 2a2 e e的取值范围为 1 方法二 因为椭圆上存在点p 使 f1pf2 90 所以以f1f2为直径的圆与椭圆有公共点 c b c2 a2 c2 可得e的取值范围为 1 3 设 af1 d 由 abf2是正三角形知 af2 2d f1f2 d 所以椭圆的离心率 反思 感悟 记椭圆上一点p与两个焦点f1 f2构成的三角形为焦点三角形 对焦点三角形的考查是高考的热点 在会推导会应用的情况下熟悉下列结论 可大大提高解题速度 pf1 pf2 f1f2 pf1 pf2 常用来求范围或最值 当p为短轴端点时 f1pf2最大 当p为短轴端点时 三角形f1pf2的面积最大为bc 变式训练 1 2012 苏州模拟 椭圆上的点p到它的两个焦点f1 f2的距离之比 pf1 pf2 2 且 pf1f2 0 则 的最大值为 2 已知f1 f2是椭圆的两个焦点 p为椭圆上一点 f1pf2 60 求椭圆离心率的取值范围 解析 1 pf1 pf2 2 pf1 pf2 2a 又 f1f2 2c在 pf1f2中 当且仅当 2 a c时取 pf1f2的最大值为即 max 答案 2 不妨设椭圆方程为 a b 0 pf1 m pf2 n 在 pf1f2中 由余弦定理可知 4c2 m2 n2 2mncos60 m n 2a m2 n2 m n 2 2mn 4a2 2mn 4c2 4a2 3mn 又 当且仅当m n时取等号 4a2 4c2 3a2 即e e的取值范围是 1 满分指导 椭圆解答题的规范解答 典例 14分 2011 天津高考 在平面直角坐标系xoy中 点p a b a b 0 为定点 f1 f2分别为椭圆的左 右焦点 已知 f1pf2为等腰三角形 1 求椭圆的离心率e 2 设直线pf2与椭圆相交于a b两点 m是直线pf2上的点 满足求点m的轨迹方程 解题指南 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 考查用代数的方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想 解题的关键是正确联立方程并结合已知进行转化求解 规范解答 1 设f1 c 0 f2 c 0 c 0 由题意 可得 pf2 f1f2 2分即整理得得 1 舍去 或 e 6分 2 由 1 知a 2c 可得椭圆方程为3x2 4y2 12c2 8分直线pf2的方程为y x c a b两点的坐标满足方程组 消去y并整理 得5x2 8cx 0 解得x1 0 x2 c 得方程组的解 10分不妨设a b 0 c 设点m的坐标为 x y 则由y x c 得c x y 于是由即 x 2 化简得 12分将代入c x y 得所以x 0 因此 点m的轨迹方程是18x2 16xy 15 0 x 0 14分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 连云港模拟 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍 则椭圆的离心率等于 解析 由已知可得 2a 3 2b 即a 3b 答案 2 2011 新课标全国卷改编 在平面直角坐标系xoy中 椭圆c的中心为原点 焦点f1 f2在x轴上 离心率为 过f1的直线l交c于a b两点 且 abf2的周长为16 那么c的方程为 解析 由 abf2的周长为4a 16 得a 4 又知离心率为 即进而所以a2 16 b2 a2 c2 16 8 8 c的方程为答案 3 2012 南京模拟 已知正方形abcd的四个顶点在椭圆 a b 0 上 ab x轴 ad过左焦点f 则该椭圆的离心率为 解析 由题意可画如图 ad过左焦点f 设a点坐标为 c t 又 t 结合图形可知t 0 t 则 ad 又可求 ab 2c ad ab 即又 a2 b2 c2 答案 4 2012 无锡模拟 如图 已知椭圆c的中心在坐标原点o 焦点在x轴上 f1 f2分别是椭圆c的左 右焦点 m是椭圆短轴的一个端点 过f1的直线l与椭圆交于a b两点 mf1f2的面积为4 abf2的周长为 1 求椭圆c的方程 2 设点q的坐标为 1 0 是否存在椭圆上的点p及以q为圆心的一个圆 使得该圆与直线pf1 pf2都相切 若存在 求出点p的坐标及圆的方程 若不存在 请说明理由 解析 1 由题意知 2c b 4 即bc 4又4a