高考数学总复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性配套课件 文.ppt

第3讲 函数的奇偶性与周期性 1 函数的奇偶性 f x f x f x f x 0 1 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为奇函数 奇函 数的图象关于 对称 原点 2 对于函数f x 的定义域内任意一个x 都有 或 则称f x 为偶函数 偶函数的图象关于 轴 对称 f x f x f x f x 0 y 注意 通常利用图象或定义判断函数的奇偶性 具有奇偶性的函数 其定义域关于原点对称 也就是说 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称 2 函数的周期性 非零常数 f x t f x 对于函数f x 如果存在一个 t 使得定义域内的每一个x值 都满足 那么函数f x 就叫做周期函数 非零常数t叫做这个函数的 周期 d a 奇函数b 偶函数c 既是奇函数又是偶函数d 非奇非偶函数 2 下列函数中 在其定义域内是奇函数的是 c c a y轴对称b 直线y x对称c 坐标原点对称d 直线y x对称4 2012年广东广州一模 若函数f x ln x2 ax 1 是偶函 数 则实数a的值为 0 5 2013年大纲 设f x 是以2为周期的函数 且当x 1 3 时 f x x 2 则f 1 1 解析 因为f x 是以2为周期的函数 且当x 1 3 时 f x x 2 则f 1 f 1 1 2 1 考点1判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性 解 1 函数的定义域为x 关于原点对称 f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x f x x 1 x 1 是奇函数 4 函数f x 的定义域是 0 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x x 1 x f x x 0 当x 0时 x 0 f x x 1 x f x x 0 故函数f x 为奇函数 5 此函数的定义域为 1 1 且f x 0 可知图象既关于原点对称 又关于y轴对称 故此函数既是奇函数又是偶函数 6 函数的定义域为2x 1 0 即x 0 f x 是奇函数 方法与技巧 1 函数的奇偶性是函数的一个整体性质 定义域具有对称性 即若奇函数或偶函数的定义域为d 则x d时都有 x d 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 因此判断函数的奇偶性应首先考虑函数的定义域 2 分段函数的奇偶性一般要分段证明 3 用定义判断函数的奇偶性的步骤是 定义域 关于原点对称 验证f x f x 下结论 还可以利用图象法或定义的 互动探究 1 2013年广东 定义域为r的四个函数y x3 y 2x y c x2 1 y 2sinx中 奇函数的个数是 a 4个b 3个c 2个d 1个 2 2012年重庆 若函数f x x a x 4 为偶函数 则实数 a 4 解析 由函数f x 为偶函数 得f a f a 即 a a a 4 a a a 4 a 4 考点2利用奇偶性求函数值 例2 1 2012年新课标 设函数 的最大 值为m 最小值为m 则m m f x 最大值为m 最小值为m g x 的最大值为m 1 最小值为m 1 即有m 1 m 1 0 m m 2 答案 2 2 2013年重庆 已知函数f x ax3 bsinx 4 a b r a 5 b 1 c 3 d 4 解析 设lg log210 t 则lg lg2 t f lg log210 f t at3 bsint 4 5 at3 bsint 1 f lg lg2 f t a t 3 bsin t 4 at3 bsint 4 1 4 3 答案 c f lg log210 5 则f lg lg2 方法与技巧 本题主要考查函数奇偶性 最值及转换与化归思想 有一定难度 1 题不是奇函数 但是它的一部分 却是奇函数 2 题主要考查函数的奇偶性及对数的基 本运算 解题的关键是我们能否敏锐地把握两个细节 f x ax3 bsinx 4的前半部分ax3 bsinx是奇函数 而f x ax3 bsinx 4是非奇非偶函数 lg log210 与lg lg2 互为相反数 互动探究 3 2011年广东广州综合测试 已知函数f x 是定义在r上的偶函数 当x 0时 f x x3 x2 则当x 0时 f x 的解析式 为 f x x3 x2 考点3 函数奇偶性与周期性的综合应用 例3 1 2012年浙江 设函数f x 是定义在r上的周期为2 2 2011年全国 设f x 是周期为2的奇函数 当0 x 1 答案 a 互动探究 4 2011年山东 已知f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且当0 x 2时 f x x3 x 则函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为 b a 6个 b 7个 c 8个 d 9个 解析 因为当0 x 2时 f x x3 x 又因为f x 是r上最小正周期为2的周期函数 且f 0 0 所以f 6 f 4 f 2 f 0 0 又因为f 1 0 所以f 3 f 5 0 故函数y f x 的图象在区间 0 6 上与x轴的交点的个数为7个 故选b 易错 易混 易漏 判断函数奇偶性时没有考虑定义域例题 给出四个函数 y lg 2 x lg 2 x y lg x 2 x 2 y lg x 2 lg x 2 其中奇函数是 偶函数是 正解 的定义域相同 均为 2 2 且均有f x f x 所以都是奇函数 的定义域为 2 2 且有f x f x 所