高三数学一轮复习 5.2等差数列及其前n项和课件.ppt

备考方向要明了 考什么 怎么考 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等差数列与一次函数的关系 1 以填空题的形式考查等差数列的基本量及等差数列性质的简单应用 如2011年高考t13等 2 以解答题的形式考查等差数列的概念 等差数列的判定 通项公式 前n项和公式以及等差数列的性质等 如2012年高考t20 归纳知识整合 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 通常用字母表示 定义表达式为 常数 n n n 2 或 常数 n n 2 等差数列的通项公式若等差数列 an 的首项为a1 公差为d 则其通项公式为 亦可以用数列中的第m项am与公差d表示为an 二 同一个常数 an an 1 d an 1 an d d an a1 n 1 d am n m d 探究 1 已知等差数列 an 的第m项为am 公差为d 则其第n项an能否用am与d表示 提示 能 an am n m d 探究 2 等差数列前n项和公式的推导运用了什么方法 提示 倒序相加法 3 等差数列前n项和公式能否看作关于n的函数 该函数是否有最值 提示 当d 0时 sn是关于n的且常数项为0的二次函数 则 n sn 是二次函数图象上的一群孤立的点 由此可得 当d 0时 sn有最小值 当d 0时 sn有最大值 5 等差数列的性质已知数列 an 是等差数列 sn是其前n项和 1 若m n p q 则 特别 若m n 2p 则am an 2ap 2 am am k am 2k am 3k 仍是等差数列 公差为 3 数列sm s2m sm s3m s2m 也是等差数列 am an ap aq kd 自测牛刀小试 1 2012 重庆高考改编 在等差数列 an 中 a2 1 a4 5 则 an 的前5项和s5 答案 15 2 2012 辽宁高考改编 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前11项和s11 答案 88 3 教材习题改编 在等差数列 an 中 若a4 a5 15 a7 15 则a2的值为 解析 题意知 a2 a7 a4 a5 所以a2 a4 a5 a7 0 答案 0 5 教材习题改编 有两个等差数列2 6 10 190及2 8 14 200 由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 则这个新数列 an 的通项公式an 解析 两个等差数列的公共项为2 14 26 即新数列的首项为2 公差为12 故an 2 n 1 12 12n 10 答案 12n 10 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法 1 定义法 对于n 2的任意自然数 验证an an 1为同一常数 2 等差中项法 验证2an 1 an an 2 n 3 n n 成立 3 通项公式法 验证an pn q 4 前n项和公式法 验证sn an2 bn 注意 在解答题中常应用定义法和等差中项法 而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题 填空题中的简单判断 等差数列基本量的计算 等差数列运算问题的通法等差数列的通项公式及前n项和公式中 共涉及五个量 知三可求二 如果已知两个条件 就可以列出方程组求解 体现了用方程思想解决问题的方法 如果利用等差数列的性质 几何意义去考虑也可以 2 已知等差数列 an 中 a1 1 a3 3 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解 1 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d n 1 n n 由a1 1 a3 3 可得1 2d 3 解得d 2 从而 an 1 n 1 2 3 2n 2 由 1 知an 3 2n 等差数列前n项和的最值 例3 已知在等差数列 an 中 a1 31 sn是它的前n项和 s10 s22 1 求sn 2 这个数列的前多少项和最大 并求出这个最大值 若将 a1 31 s10 s22 改为 a1 20 s10 s15 则n为何值时 sn取得最大值 3 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a3 12 s12 0 s13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出s1 s2 s12中 哪一个最大 并说明理由 等差数列性质的应用 例4 1 2013 江门模拟 等差数列 an 前17项和s17 51 则a5 a7 a9 a11 a13等于 2 等差数列 an 中 若a1 a4 a7 39 a3 a6 a9 27 则前9项的和s9 答案 1 3 2 99 在等差数列有关计算问题中 结合整体思想 灵活应用性质 可以减少运算量 达到事半功倍的效果 4 1 2013 山西四校联考 在等差数列 an 中 a1 a2 a3 3 a18 a19 a20 87 则此数列前20项的和等 2 2012 江西高考 设数列 an bn 都是等差数列 若a1 b1 7 a3 b3 21 则a5 b5 答案 1 300 2 35 数学思想 整体思想在数列中的应用利用整体思想解数学问题 就是从全局着眼 由整体入手 把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法 有不少数列题 其首项 公差无法确定或计算繁琐 对这类问题 若从整体考虑 往往可寻得简捷的解题途径 典例 2013 盐城模拟 设等差数列 an 的前n项和sn m 前m项和sm n m n 则它的前m n项的和sm n 答案 m n 2 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知其前6项和为36 sn 324 最后6项的和为180 n 6 求该数列的项数n及a9 a10 解 由题意知a1 a2 a3 a4 a5 a6 36 an an 1 an 2 an 3 an 4 an 5 180 6 a1 an 36 180 216 a1 an 36 1 已知数列 an 的通项公式an pn2 qn p q r 且p q为常数 1 当p和q满足什么条件时 数列 an 是等差数列 2 求证 对任意实数p和q 数列 an 1 an 是等差数列 解 1 an 1 an p n 1 2 q n 1 pn2 qn 2pn p q 要使 an 是等差数列 则2pn p q应是一个与n无关的常数 所以2p 0 即p 0 故当p 0时 数列 an 是等差数列 2 证明 an 1 an 2pn p q an 2 an 1 2p n 1 p q 而 an 2 an 1 an 1 an 2p为一个常数 an 1 an 是等差数列 2 设 an 是一个公差为d d 0 的等差数列 它的前10项和s10 110 且a1 a2 a4成等比数列 1 证明a1 d 2 求公差d的值和数列 an 的通项公式 4