高考数学 7.4直线、平面平行的判定及其性质配套课件 理 新人教A版.ppt

第四节直线 平面平行的判定及其性质 三年8考高考指数 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题 1 对线线平行 线面平行和面面平行的考查是高考的热点 2 平行关系的判断多以选择题和填空题的形式出现 考查对与平行有关的概念 公理 定理 性质 结论的理解和运用 题目难度较小 3 平行关系的证明及运用 多以解答题的形式出现 主要考查有关定理 性质的运用及各种平行关系的相互转化 题目有一定的综合性 常与垂直的证明 空间角的求法及空间向量结合在一起考查 属低中档题 1 直线与平面平行 1 判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与 的一条直线平行 则该直线与此平面平行 l a 此平面内 l a a l l 线线平行 线面平行 2 性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的任一平面与此平面的与该直线平行 l b l l b b l 简记为 线面平行 线线平行 交线 即时应用 1 已知直线a b和平面 判断下列命题的正确性 请在括号中填写 或 若a b a 则b 若a b a 则b 若a b 则a b 2 如图 在空间四边形abcd中 m ab n ad 且则直线mn与平面bdc的位置关系是 解析 1 中直线b在 内时不成立 b可能在 内 a b可以平行 相交或异面 2 由得mn bd 又mn 平面bdc bd 平面bdc 所以mn 平面bdc 答案 1 2 平行 2 平面与平面平行 1 判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条 与另一个平面平行 则这两个平面平行 相交直线 简记为 线面平行 面面平行 a b a b p a b a p b 2 性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面 那么它们的 平行 相交 交线 a b a b a b 即时应用 1 思考 能否由线线平行推证面面平行 如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 则这两个平面一定平行吗 提示 可以 只需一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线 则两平面平行 不一定平行 如果这无数条直线互相平行 则这两个平面就可能相交 2 已知两平面 与 平行 a 判断下列命题的正确性 请在括号中填写 或 a与 内的任何一条直线都不垂直 a与 无公共点 解析 中 a可以与 内的直线垂直 故不正确 由 a 可得a 故 正确 答案 3 设 是两个不重合的平面 a b是两条不同的直线 给出下列条件 都平行于直线a b a b是 内两条直线 且a b 若a b相交 且都在 外 a a b b 其中可判定 的条件的序号为 解析 中的平面可能平行 相交 故不正确 因为a b相交 可设其确定的平面为 根据a b 可得 同理可得 因此 故 正确 答案 线面平行的判定及性质 方法点睛 1 判定线面平行的方法 1 利用定义 判定直线与平面没有公共点 一般结合反证法进行 2 利用线面平行的判定定理 3 利用面面平行的性质 即两平面平行 则其中一平面内的直线平行于另一平面 2 线面平行的性质 1 直线与平面平行 则该直线与平面无公共点 2 由线面平行可得线线平行 提醒 利用线面平行的性质和判定定理时 适当添加辅助线 或面 是解题的常用方法 例1 1 若一条直线和两个相交平面都平行 则这条直线和它们的交线的位置关系是 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 点n在bd上 点m在b1c上 并且cm dn 求证 mn 平面aa1b1b 解题指南 1 把文字叙述转化为符号叙述 然后利用线面平行的性质 把线面平行转化为线线平行 2 线线平行 线面平行 面面平行 是可以互相转化的 本题可以采用任何一种转化方式 规范解答 1 已知a a l 设过a的平面 m a a m 设过a的平面 n a a n m n n m m 又 m l m l a l 答案 平行 2 方法一 如图所示 作me bc交bb1于e 作nf ad 交ab于f 连接ef 则 在正方体abcd a1b1c1d1中 cm dn bd b1c b1m nb 又bd b1c 又bc ad me nf 又me bc ad nf 四边形mefn为平行四边形 mn ef 又ef 平面aa1b1b mn 平面aa1b1b mn 平面aa1b1b 方法二 过m作mq bb1交bc于q 连接nq mq 平面aa1b1b bb1 平面aa1b1b mq 平面aa1b1b 由mq bb1得 又cm dn cb1 db nq dc nq ab nq 平面abb1a1 ab 平面abb1a1 nq 平面abb1a1 又mq nq q 平面mqn 平面abb1a1 又mn 平面mqn mn 平面aa1b1b 互动探究 若将本例 2 中的条件 cm dn 改为 则如何证明 解析 将转化为cm dn 以下同例题 反思 感悟 1 证明线面平行时 先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行 若找不到这样的直线 可以考虑通过面面平行来推导线面平行 2 应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置 有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线 变式备选 四边形abcd是平行四边形 点p是平面abcd外一点 m是pc的中点 在dm上取一点g 过g和ap作平面交平面bdm于gh 求证 ap gh 证明 如图 连接ac交bd于o 连接mo 四边形abcd是平行四边形 o是ac的中点 又m是pc的中点 ap om 根据直线和平面平行的判定定理 有ap 平面bmd 平面pahg 平面bmd gh 根据直线和平面平行的性质定理 得ap gh 面面平行的判定和性质 方法点睛 1 判定面面平行的方法 1 利用定义 即证两个平面没有公共点 2 利用面面平行的判定定理 3 利用垂直于同一条直线的两平面平行 4 利用平面平行的传递性 即两个平面同时平行于第三个平面 则这两个平面平行 2 面面平行的性质 1 两平面平行 则一个平面内的直线平行于另一平面 2 若一平面与两平行平面相交 则交线平行 3 三种平行间的转化关系线线平行 线面平行 面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想 解题中既要注意一般的转化规律 又要看清题目的具体条件 选择正确的转化方向 性质定理 例2 如图 已知 异面直线ab cd和平面 分别交于a b c d四点 e f g h分别是ab bc cd da的中点 求证 1 e f g h共面 2 平面efgh 平面 解题指南 1 证明四边形efgh为平行四边形即可 2 利用面面平行的判定定理 转化为线面平行来证明 规范解答 1 e h分别是ab da的中点 ehbd 同理 fgbd fgeh 四边形efgh是平行四边形 e f g h共面 2 平面abd和平面 有一个公共点a 设两平面交于过点a的直线ad ad bd 又 bd eh eh bd ad eh 平面 同理 ef 平面 又eh ef e eh 平面efgh ef 平面efgh 平面efgh 平面 反思 感悟 1 线面 面面平行的判定和性质常常结合在一起进行考查 解题中要注意性质和判定交替应用 2 利用判定或性质解题时 应注意解题过程的规范性 即要准确地使用数学语言及符号来表示出定理的有关内容 变式训练 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n p分别是c1c b1c1 c1d1的中点 求证 平面mnp 平面a1bd 证明 如图 连接b1d1 b1c p n分别是d1c1 b1c1的中点 pn b1d1 又b1d1 bd pn bd 又pn 平面a1bd pn 平面a1bd 同理mn 平面a1bd 又pn mn n 平面mnp 平面a1bd 平行关系中的计算问题 方法点睛 求解平行关系中范围问题的数学思想解答立体几何中的有关最值或范围问题 常用函数思想解决 通过设出适当的变量 建立函数关系 转化为求函数的最值 或值域 的问题 解题时要弄清哪些是定值 哪些是变量 如何根据题意建立函数关系 如何求函数的最值等 例3 1 如图 已知平面 平面 平面 且 位于 与 之间 点a d c f ac b df e 设af交 于m ac与df不平行 与 间距离为h 与 间距离为h 则当 bem的面积最大时 2 2012 合肥模拟 如图所示 四边形efgh所在平面为三棱锥a bcd的一个截面 四边形efgh为平行四边形 求证 ab 平面efgh cd 平面efgh 若ab 4 cd 6 求四边形efgh周长的取值范围 解题指南 1 由面面平行得到线线平行 进而得到各线段间的关系 结合三角形的面积公式求解即可 2 证明ab cd各平行于平面efgh内的一条直线即可 设ef x 用含x的式子表示四边形efgh的周长 转化为求关于x的函数的值域 规范解答 1 由题意知bm cf 同理 据题意知 ad与cf是异面直线 只是 在 与 间变化位置 故cf ad是常量 sin bme是ad与cf所成角的正弦值 也是常量 令h h x 只要考查函数y x 1 x 的最值即可 显然当x 即时 y x2 x有最大值 当 即 在 两平面的中间时 s bem最大 答案 2 四边形efgh为平行四边形 ef gh hg 平面abd ef 平面abd ef 平面abd ef 平面abc 平面abd 平面abc ab ef ab ef 平面efgh ab 平面efgh ab 平面efgh 同理可得cd 平面efgh 设ef x 0 x 4 四边形efgh的周长为l 由 知ef ab 则又由 同理可得cd fg 则 从而 四边形efgh的周长l 2 x 6 x 12 x 又0 x 4 8 l 12 即四边形efgh周长的取值范围为 8 12 互动探究 本例第 2 题的条件不变 结论改为 若ab 4 cd 6 当四边形efgh的面积最大时 求截面的位置 如何求解 解析 设ef x efg 为异面直线ab cd所成的角或其补角 由本例的解题过程可得fg 6 x 故s四边形efgh ef fg sin x 6 x sin 所以当x 2时 四边形efgh的面积最大 此时fg 3 即e f g h分别为ac bc bd ad的中点 反思 感悟 解决立体几何中范围 或最值 问题的关键是如何确定变量及如何建立关系式 求最值的常用方法是运用函数或利用基本不等式 解题中需注意函数的定义域及基本不等式成立的条件 变式备选 如图所示 在棱长为1的正方体abcd a1b1c1d1中 点m在ad1上移动 点n在bd上移动 d1m dn a 0 a 连接mn 1 证明对任意a 0 总有mn 平面dcc1d1 2 当a为何值时 mn的长最小 解析 1 作mp ad 交dd1于p 作nq bc 交dc于q 连接pq 由题意得mp nq 且mp nq 则四边形mnqp为平行四边形 mn pq 又pq 平面dcc1d1 mn 平面dcc1d1 mn 平面dcc1d1 2 由 1 知四边形mnqp为平行四边形 mn pq 由已知得d1m dn a dd1 ad dc 1 ad1 bd d1p 1 a dq 1 a 即d1p dq 故当a 时 mn的长有最小值 即当m n分别移动到ad1 bd的中点时 mn的长最短 此时mn的长为 满分指导 平行关系证明题的规范解答 典例 14分 2012 南通模拟 已知正方体abcd a1b1c1d1 aa1 2 e为棱cc1的中点 1 求证 ac 平面b1de 2 求三棱锥a bde的体积 解题指南 1 利用面面平行证明线面平行 2 确定三棱锥的底面及高 根据公式求解 规范解答 1 取bb1的中点f 连接af cf ef 2分 a b c e f d a1 d1 c1 b1 e f分别是cc1 bb1的中点 ceb1f 四边形b1fce是平行四边形 cf b1e 4分 e f是cc1 bb1的中点 efbc 又bcad efad 四边形adef是平行四边形 6分 af ed af cf f b1e ed e 平面acf 平面b1de 8分又ac 平面acf ac 平面b1de 10分 2 由条件得s abd ab ad 2 va bde ve abd s abd ec 13分即三棱锥a bde的体积为 14分 阅卷人点拨 通过阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 珠海模拟 对于平面 和直线a b m n 下列命题中是真命题的是 a 若a m a n m n 则a b 若a b b 则a c 若a b a b 则 d 若 a b 则a b 解析 选d 对于a 只有当m n相交时 a 对于b 还可能a 对于c 只有当a b相交时 故选d 2 2012 丽水模拟 已知m n是不同的直线 是不重合的平面 给出下列命题 若m 则m平行于平面 内的无数条直线 若 m n 则m n 若m n m n 则 若 m 则m 其中 真命题的序号是 解析 由线面平行的定义及性质知 正确 中若m n 则m n可能平行 也可能异面 还可能相交 故 错 中由条件知 也可能相交 故 错 中由 m 可得 m 或m 故 错 答案 3 2011 福建高考 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 ab 2 点e为ad的中点 点f在cd上 若ef 平面ab1c 则线段ef的长度等于 解析 ef 平面ab1c ef 平面adc 平面adc 平面ab1c ac ef ac 又 e为ad的中点 f为cd的中