高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修4.ppt

1 4 3正切函数的性质与图象 函数y tanx的图象和性质 r 奇函数 判断 正确的打 错误的打 1 正切函数的定义域和值域都是r 2 正切曲线是中心对称图形 有无数个对称中心 3 正切曲线有无数条对称轴 其对称轴是 提示 1 错误 正切函数的定义域为值域为r 2 正确 点是其对称中心 3 错误 正切曲线没有对称轴 答案 1 2 3 知识点拨 1 正切函数性质的拓展 1 对称性 正切函数图象的对称中心是不存在对称轴 2 单调性 正切函数在每个区间内是单调增加的 但不能说其在定义域内是增加的 3 渐近线 直线称为正切曲线的渐近线 渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分 正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线 在渐近线左侧向上无限接近渐近线 2 三点两线法 作正切曲线的简图 1 三点 分别为其中k z 两线为直线和直线其中k z 两线也称为正切曲线的渐近线 即无限接近但不相交 2 作简图时 只需先作出一个周期中的两条渐近线 然后描出三个点 用光滑的曲线连接得一条曲线 最后平行移动至各个周期内即可 类型一正切函数的定义域 值域问题 典型例题 1 函数y tan sinx 的定义域为 值域为 2 函数y tan2x 2tanx 3的最小值为 3 求函数的定义域 解题探究 1 解三角不等式的两种常用方法是什么 2 如何求形如y atan2x btanx c的函数最值 3 求与正切函数有关的定义域时应注意什么问题 探究提示 1 求解三角不等式 一种是利用三角函数线 另一种是利用三角函数图象 先在一个周期内找到满足不等式的解 再根据周期性加上周期的整数倍即可得完整解集 同时要注意定义域对解集的限制 2 一般是转化为二次函数配方后求最值 3 除了按求函数定义域的一般要求外 还要保证正切函数有意义 解析 1 因为sinx 1 1 所以y tan sinx 的定义域为r 值域为 tan 1 tan1 答案 r tan 1 tan1 2 y tanx 1 2 2 由于tanx r 所以当tanx 1时 函数取最小值2 答案 23 由得 所以的定义域为 拓展提升 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 1 求与正切函数有关的函数的定义域时 除了求函数定义域的一般要求外 还要保证正切函数y tanx有意义 即而对于构建的三角不等式 常利用三角函数的图象求解 解形如tanx a的不等式的步骤 2 求解与正切函数有关的函数值域时 要注意函数的定义域 在定义域内求值域 对于求由正切函数复合而成的函数的值域时 常利用换元法 但要注意新 元 的范围 变式训练 函数的值域是 a 1 1 b 1 0 0 1 c 1 d 1 解析 选a 为增函数 故值域为 1 1 类型二正切函数的单调性的应用 典型例题 1 比较大小 tan167 tan173 2 求的单调区间 解题探究 1 函数y tanx的周期和单调区间分别是什么 2 常采用何种方法求形如y atan x 的单调区间 探究提示 1 周期是 单调增区间为2 常采用 整体代换 的思想 令k z 解得x的范围即可 解析 1 因为所以又y tanx在上为增函数 所以所以tan167 tan173 答案 2 由题意 即所以增区间为 互动探究 题2若改为如何求单调区间 解析 可化为由故减区间为 拓展提升 1 求函数y atan x a 都是常数 的单调区间的方法 1 若 0 由于y tanx在每一个单调区间上都是增函数 故可用 整体代换 的思想 令解得x的范围即可 2 若 0 可利用诱导公式先把y atan x 转化为y atan x atan x 即把x的系数化为正值 再利用 整体代换 的思想 求得x的范围即可 2 运用正切函数单调性比较大小的方法 1 运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内 2 运用单调性比较大小关系 变式训练 若则 a f 0 f 1 f 1 b f 0 f 1 f 1 c f 1 f 0 f 1 d f 1 f 0 f 1 解题指南 y tanx在上为增函数 根据诱导公式把转化到上再比较大小 解析 选a 又所以f 0 f 1 f 1 类型三正切函数的奇偶性与周期 典型例题 1 函数的周期是 2 函数y tanx 的图象对称于 a 原点b y轴c x轴d 直线y x 解题探究 1 如何求函数y atan x 的最小正周期 2 怎样判断函数的对称性 探究提示 1 2 先求出函数的定义域 再判断此定义域是否关于原点对称 然后根据奇偶函数的定义寻找f x 与f x 的关系 解析 1 选c 2 选b 由 tanx tan x 所以y tanx 为偶函数 所以图象关于y轴对称 拓展提升 与正切函数有关的函数的周期性 奇偶性问题的解决策略 1 一般地 函数y atan x 的最小正周期为常常利用此公式来求周期 2 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域 判断其是否关于原点对称 若不对称 则该函数无奇偶性 若对称 再判断f x 与f x 的关系 变式训练 下列函数中 既是以 为周期的奇函数 又是上的增函数的是 a y tanxb y cosx 解析 选a 由于y tanx与是奇函数 但是只有y tanx的周期为 y cosx与y sinx 是偶函数 规范解答 正切函数性质的应用 典例 条件分析 规范解答 由于函数y tanx的对称中心为其中k z 2分故令其中 4分由于所以当k 2时 故函数解析式为 6分 由于正切函数y tanx在区间上为增函数 则令 8分解得 10分故函数的单调增区间为 12分 失分警示 防范措施 1 结合图象把握性质 对于函数的性质 充分利用好图象 掌握性质 如本例中正切函数的对称中心和单调区间 2 整体代换的思想 在求三角函数的单调区间以及对称轴 对称中心时 要有充分的整体意识 如本例中的求 值和求单调增区间 类题试解 函数f x tan 3x 图象的一个对称中心是其中试求函数f x 的定义域 值域和单调性 解析 由于函数y tanx的对称中心为其中k z 故令其中由于故当k 1时 得故函数解析式为由得所以函数的定义域为值域为r 由于正切函数y tanx在区间上为增函数 故令解得 即函数的单调增区间为 1 直线y a a为常数 与正切曲线y tan x 是常数且 0 相交 则相邻两交点间的距离是 解析 选c 相邻两交点间的距离恰为该函数的周期 由y tan x 0 得 2 已知a tan2 b tan3 c tan5 下列大小关系正确的是 a a b cb aa cd ba c 3 函数的一个对称中心是 解析 选c 由y t