高中数学 323空间角的计算课件 苏教版选修21.ppt

课标要求 3 2 3空间角的计算 核心扫描 能用向量方法解决线线 线面 面面的夹角的计算问题 体会向量方法在研究几何问题中的作用 用向量方法解决线线 线面 面面的夹角的计算问题 重点 用向量方法求线面角 二面角 难点 1 2 1 2 自学导引 设n1 n2是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与向量n2的夹角 或其补角 就是二面角的平面角的大小 想一想 当一条直线l与一个平面 的夹角为0时 这条直线一定在平面内吗 提示不一定 这条直线还可能与平面平行 如何正确理解直线与平面所成的角 在理解直线与平面所成的角时 注意把握以下几点 1 斜线与平面的夹角范围是 0 90 而直线与平面的夹角范围是 0 90 名师点睛 1 拓展 最小角定理 斜线和它在平面内的射影所成的角 即斜线与平面所成的角 是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角 如何正确认识二面角 1 二面角是一个空间图形 它是由两个半平面和一条直线构成的图形 可以类比平面内的角 2 符号 l 表示以l为棱 为两个半平面的二面角 3 两个平面相交 可以构成四个二面角 4 在二面角 l 的棱l上任取一点o 在两半平面内分别作射线oa l ob l 则 aob叫做二面角 l 的平面角 2 题型一求异面直线所成的角 正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是a1d1 a1c1的中点 求 异面直线ae与cf所成角的余弦值 例1 如图 在四棱锥p abcd中 pd 平面abcd pa与平面abcd所成的角为60 在四边形abcd中 d dab 90 ab 4 cd 1 ad 2 1 建立适当的坐标系 并写出点b p的坐标 2 求异面直线pa与bc所成角的余弦值 变式1 解 1 如图所示 以d为原点 射线da dc dp分别为x轴 y轴 z轴的正方向 建立空间直角坐标系d xyz d dab 90 ab 4 cd 1 ad 2 a 2 0 0 c 0 1 0 b 2 4 0 由pd 平面abcd得 pad为pa与平面abcd所成的角 pad 60 题型二直线与平面所成的角 例2 规律方法充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系 再用向量有关知识求解线面角 方法二给出了一般的方法 先求平面法向量与斜线夹角 再进行换算 已知单位正方体abcd a1b1c1d1 e f分别是棱b1c1和c1d1的中点 试求 1 ad1与ef所成角的大小 2 af与平面beb1所成角的余弦值 变式2 14分 如图 正方形sg1g2g3中 e f分别是g1g2 g2g3的中点 d是ef的中点 现沿se sf及ef把这个正方形折成一个四面体 使g1 g2 g3三点重合 重合后的点记为g 1 求证 平面esg 平面fsg 2 求二面角g se f的余弦值 题型三求二面角 例3 审题指导证明面面垂直 利用面面垂直的判定定理 先证明线面垂直 而求二面角的大小 则通过建立空间直角坐标系将几何问题代数化 规范解答 1 证明 正方形sg1g2g3按题意折成的四面体如图所示 折叠后 有sg ge sg gf eg gf 2分又sg gf g 所以eg 平面fsg 又因为eg 平面esg 4分所以平面esg 平面fsg 6分 题后反思 求二面角的大小 一般先求两个半平面的法向量 再求两个法向量的夹角 并且判断法向量的方向 最后得到二面角的大小或所求三角函数值 如图所示 正三棱柱abc a1b1c1的所有棱长都为2 d为cc1的中点 求二面角a a1d b的余弦值 解取bc中点o 连结ao 因为 abc是正三角形 所以ao bc 因为在正三棱柱abc a1b1c1中 平面abc 平面bcc1b1 所以ao 平面bcc1b1 变式3 因为直线的方向向量与法向量可以确定直线与平面的位置 所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量来研究空间直线 平面间的平行 垂直 夹角 距离等问题 方法技巧直线方向向量与平面法向量在确定直线 平面位置关系中的应用 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是棱bc的中点 试在棱cc1上求一点p 使得平面a1b1p 平面c1de 思路分析 若要在棱cc1上求一点p 使得平面a1b1p 平面c1de 需建立恰当的空间 示例 直角坐标系 并设出点p的坐标 求出平面a1b1p与平面c1de的法向量 建立方程求出点p的坐标 确定点p的位置 方法点评直线方向向量与平面法向量在确定直线 平面位置关系中的应用 1 若两直线l1 l2的方向向量分别是u1 u2