高中数学 2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用课件 新人教A版选修21.ppt

第2课时椭圆方程及性质的应用 类型一直线与椭圆的位置关系 典型例题 1 若直线y kx 1与焦点在x轴上的椭圆总有公共点 则m的取值范围为 2 k为何值时 直线y kx 2和曲线2x2 3y2 6有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 解题探究 1 直线过定点的问题一般如何处理 当点在什么位置时 经过该点的直线总与椭圆有公共点 2 判断直线与椭圆有几个公共点时 常用什么方法 探究提示 1 1 把含参数的直线整理为两部分 一是含参数的部分 一是不含参数的部分 让两部分同时为零 即可求得直线的定点 2 当点在椭圆内部和在椭圆上时 经过该点的直线与椭圆总有公共点 2 判断直线与椭圆的交点个数 往往利用判别式的符号进行判断 解析 1 方法一 由消去y 整理得 m 5k2 x2 10kx 5 1 m 0 100k2 20 m 5k2 1 m 20m 5k2 m 1 直线与椭圆总有公共点 0对任意k r都成立 m 0 5k2 1 m恒成立 1 m 0 即m 1 又 椭圆的焦点在x轴上 0 m 5 1 m 5 方法二 直线y kx 1过定点m 0 1 要使直线与该椭圆总有公共点 则点m 0 1 必在椭圆内或椭圆上 由此得解得1 m 5 答案 1 5 2 由得2x2 3 kx 2 2 6 即 2 3k2 x2 12kx 6 0 144k2 24 2 3k2 72k2 48 当 72k2 48 0 即k 或k 时 直线和曲线有两个公共点 当 72k2 48 0 即k 或k 时 直线和曲线有一个公共点 当 72k2 48 0 即 k 时 直线和曲线没有公共点 拓展提升 1 点与椭圆的位置关系判断 2 直线与椭圆位置关系的判断方程 变式训练 已知椭圆4x2 y2 1及直线y x m 当直线和椭圆有公共点时 求实数m的取值范围 解析 由题意得消去y得 5x2 2mx m2 1 0 直线与椭圆有公共点 4m2 20 m2 1 20 16m2 0 类型二弦长问题 典型例题 1 如图所示 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点 交椭圆于a b两点 则弦ab的长为 2 2013 汝阳高二检测 椭圆 a b 0 的离心率为 椭圆与直线x 2y 8 0相交于点p q 且 pq 求椭圆的方程 解题探究 1 题1中的直线l已经具备了哪些条件 2 直线与椭圆相交的弦长问题 一般应如何处理 探究提示 1 直线l已经具备了两个条件 一是此直线的斜率为1 二是此直线上的一个点即焦点 0 2 对于直线与椭圆相交的弦长问题 一般应把直线与椭圆的方程联立方程组 应用根与系数的关系表示出x1 x2 或y1 y2 与x1x2 或y1y2 然后再根据条件求解其他问题 解析 1 设a b两点的坐标分别为a x1 y1 b x2 y2 由椭圆方程得a2 4 b2 1 c2 3 所以f 0 直线l的方程为y x 将其代入x2 4y2 4 化简整理 得5x2 8x 8 0 所以x1 x2 x1x2 所以 ab x1 x2 答案 2 设点p q的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 由e 得c a 由c2 a2 b2 得a2 4b2 由消去x 得2y2 8y 16 b2 0 由根与系数的关系 得y1 y2 4 y1y2 pq 2 x2 x1 2 y2 y1 2 5 y1 y2 2 5 y1 y2 2 4y1y2 10 即5 16 2 16 b2 10 解得b2 9 则a2 36 所以椭圆的方程为 互动探究 题1中若直线过x轴上点 m 0 那么当m为何值时 弦长 ab 最长 解题指南 列出直线方程 与椭圆方程构建方程组 利用弦长公式建立弦长的函数 再由二次函数求最值 解析 由条件可知 直线l的方程可设为y x m 再由得5x2 8mx 4m2 4 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 由 0即64m2 20 4m2 4 0得 m ab 故当m 0时 ab max 拓展提升 1 直线与椭圆相交时弦长的两种求法方法一 求直线与椭圆的交点 用两点间距离公式求解方法二 条件 直线l y kx m 椭圆 a b 0 提醒 有时为了方便 也可联立方程组消去x 利用公式 ab y2 y1 求解 2 设而不求 的思想在求弦长时的应用设出两个交点a x1 y1 b x2 y2 目的不是求出点的坐标 而是通过方程联立得到一元二次方程 借用根与系数的关系 得到x1 x2 x1x2或y1 y2 y1y2 再转化求出 如 ab x2 x1 变式训练 已知椭圆c中心在原点o 焦点在x轴上 其长轴长为焦距的2倍 且过点m 1 f为其左焦点 1 求椭圆c的标准方程 2 过左焦点f的直线l与椭圆交于a b两点 当 ab 时 求直线l的方程 解题指南 1 采用待定系数法求解 2 分l斜率存在和不存在讨论 当斜率存在时 利用弦长公式建立方程 解方程求出斜率 进而求出直线l的方程 解析 1 由条件知 a 2c b2 a2 c2 3c2 设椭圆的标准方程为又过点m 1 c2 1 a2 4 b2 3 椭圆的标准方程为 2 当直线l斜率不存在时 ab 3 不合题意 当直线l斜率存在时 设直线l y k x 1 由得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 设a x1 y1 b x2 y2 x1 x2 x1x2 ab x1 x2 k2 即k 直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0 中点弦问题 典型例题 1 2013 安阳高二检测 如果椭圆的弦被点 4 2 平分 则这条弦所在的直线方程是 a x 2y 0b x 2y 4 0c 2x 3y 12 0d x 2y 8 02 焦点分别为 0 5 和 0 5 的椭圆截直线y 3x 2所得椭圆的弦的中点的横坐标为 求此椭圆的方程 解题探究 1 把中点弦的两端点 x1 y1 和 x2 y2 代入椭圆方程作差 能得到什么结论 2 在解决直线与椭圆的关系问题时 的值必须验证吗 探究提示 1 x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 其中 x0 y0 为中点坐标 所以把与作差后能直接求得直线的斜率k 2 一般情况下 的符号都要验证 其目的是防止增根 解析 1 选d 设弦的两端点分别为 x1 y1 x2 y2 则x1 x2 8 y1 y2 4 又由得 k 所以弦所在的直线方程为y 2 x 4 即x 2y 8 0 2 设椭圆方程为 a b 0 且a2 b2 5 2 50 由得 a2 9b2 x2 12b2x 4b2 a2b2 0 a2 3b2 由 得 a2 75 b2 25 此时 0 椭圆方程为 拓展提升 解决椭圆中点弦问题的两种方法 1 根与系数的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组 消去一个未知数 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 2 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 将端点坐标分别代入椭圆方程 然后作差 构造出中点坐标和斜率的关系 具体如下 已知a x1 y1 b x2 y2 是椭圆 a b 0 上的两个不同的点 m x0 y0 是线段ab的中点 则由 得变形得即 变式训练 2013 大理高二检测 已知椭圆的中心在原点 焦点为f1 0 2 f2 0 2 且离心率 1 求椭圆的方程 2 直线l 与坐标轴不平行 与椭圆交于不同的两点a b 且线段ab中点的横坐标为 求直线l的斜率的取值范围 解析 1 设椭圆方程为 a b 0 由已知c 2 又解得a 3 所以b 1 故所求方程为 2 设直线l的方程为y kx b k 0 代入椭圆方程整理得 k2 9 x2 2kbx b2 9 0 由题意得解得k 或k或k 椭圆中的最值问题 典型例题 1 已知椭圆c 点a 3 0 点p在椭圆c上 求 pa 的最小值 2 如图 点a b分别是椭圆长轴的左 右端点 点f是椭圆的右焦点 点p在椭圆上 且位于x轴上方 pa pf 1 求点p的坐标 2 设m是椭圆长轴ab上的一点 m到直线ap的距离等于 mb 求椭圆上的点到点m的距离d的最小值 解析 1 设p x0 y0 则 pa 2 x0 3 2 y02 x0 3 2 9 1 x02 6x0 9 9 6x0 18 5 x0 5且 5 5 x0 时 pa 2 min 即 pa 的最小值是 2 1 由已知可得点a 6 0 f 4 0 设点p的坐标是 x y 则 x 6 y x 4 y 由已知得消去y得2x2 9x 18 0 解得x 或x 6 由于y 0 只能x 于是y 故点p的坐标是 2 直线ap的方程是x y 6 0 设点m的坐标是 m 0 则m到直线ap的距离是于是 m 6 又 6 m 6 解得m 2 设椭圆上的点 x y 到点m的距离为d 有d2 x 2 2 y2 x2 4x 4 20 x2 x 2 15 由于 6 x 6 故当x 时 d取最小值 拓展提升 1 椭圆上的点到直线的最大距离 最小距离问题的最佳解法 2 解决与椭圆有关的最值问题的三种方法 1 定义法 利用定义转化为几何问题处理 2 数形结合法 利用数与形的结合 挖掘几何特征 进而求解 3 函数法 探求函数模型 转化为函数的最值问题来处理 规范解答 平面向量在椭圆求解中的应用 典例 条件分析 规范解答 1 由已知可设椭圆c2的方程为 其离心率为 故 则a 4 故椭圆c2的方程为 4分 2 方法一 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由及 1 知 o a b三点共线且点a b不在y轴上 因此可设直线ab的方程为y kx 6分 将y kx代入椭圆方程 y2 1得 1 4k2 x2 4 所以 8分将y kx代入中 得 4 k2 x2 16 所以 9分又由得xb2 4xa2 即解得k 1 11分故直线ab的方程为y x或y x 12分 方法二 a b两点的坐标分别记为 xa ya xb yb 由及 1 知 o a b三点共线且点a b不在y轴上 因此可设直线ab的方程为y kx 6分将y kx代入椭圆方程得 1 4k2 x2 4 所以xa2 故 7分由得 9分将xb2 yb2代入椭圆c2的方程中 整理得即4 k2 1 4k2 解得k 1 11分故直线ab的方程为y x或y x 12分 失分警示 防范措施 1 合理设出方程在解题时 根据题目条件合理设出方程是解题的关键 往往对解题起到很大的简化作用 如本例中 由题意可设出c2的方程为 a 2 2 向量式的应用关键在解析几何中 向量相等 往往是通过对应坐标相等来实现的 这是使用向量式的关键 要在平时解题中落实 类题试解 2013 天津高考 设椭圆 a b 0 的左焦点为f 离心率为过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 1 求椭圆的方程 2 设a b分别为椭圆的左 右顶点 过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c d两点 若 8 求k的值 解题指南 1 由离心率及过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长求出a b c的值 写出椭圆方程 2 写出过点f且斜率为k的直线方程 与椭圆方程联立 利用根与系数的关系表示求解 解析 1 设f c 0 由过点f且与x轴垂直的直线为x c 代入椭圆方程有解得解得又a2 c2 b2 从而a c 1 所以椭圆的方程为 2 设点c x1 y1 d x2 y2 由f 1 0 得直线cd的方程为y k x 1 由方程组消去y 整理得 2 3k2 x2 6k2x 3k2 6 0 所以x1 x2 因为a 0 b 0 所以 x1 y1 x2 y2 x2 y2 x1 y1 6 2x1x2 2y1y2 6 2x1x2 2k2 x1 1 x2 1 6 2 2k2 x1x2 2k2 x1 x2 2k2 由已知得 1 直线y x 1被椭圆所截得的弦的中点坐标是 a b c d 解析 选c 由得3x2 4x 2 0 x1 x2 弦中点的横坐标纵坐标故选c 2 过椭圆的一个焦点f作垂直于长轴的椭圆的弦 则此弦长为 a b 3c 2d 解析 选b c2 a2 b2 4 3 1 椭圆的焦点坐标为 1 0 把x 1或x 1代入得 y 所以此弦长为 3 3 过椭圆的左焦点且斜率为1的弦ab的长是 解析 椭圆的左焦点为 4 0 由得34x2 200 x 175 0 x1 x2 x1x2 ab 答案 4 已知以f1 2 0 f2 2 0 为焦点的椭圆与直线x y 4 0有且仅有一个交点 则椭圆的长轴长为 解析 设椭圆方程为 a b 0 由得 a2 3b2 y2 8b2y 16b2 a2b2 0 由 0及c 2 可得a2 7 2a 2答案 2 5 已知椭圆过点p 2 1 作一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 解析 方法一 由题意可知所作的弦所在直线的斜率存在 设所求直线的方程为y 1 k x 2 代入椭圆方程并整理 得 4k2 1 x2 8 2k2 k x