高中数学 第1部分 第二章 2.3 2.3.2 平面与平面垂直的判定课件 新人教A版必修2.ppt

第二章 2 32 3 2 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 知识点一 知识点二 随手打开一本书 发现每两书页之间所在的平面也形成一个空间问题 或将一张纸拆叠后也会形成同样的问题 问题1 通过上述问题 联想空间两直线 空间线与面都可形成角 那么空间两平面会形成角吗 提示 可以 问题2 动手折叠一张纸 随着翻动 会发现两平面形成角有何特点 提示 可以是锐角 直角 钝角 平角 问题3 两平面形成的角可否为0 角 提示 可以 当两平面平行时满足 二面角 1 定义 从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角 如图 叫做二面角的棱 叫做二面角的面 记法 在 内 分别取点p q时 可记作 当棱记为l时 可记作或 两个半 平面 半平面 和 ab p ab q l p l q 直线ab 2 二面角的平面角 定义 在二面角 l 的棱l上任取一点o 如图所示 以点o为垂足 在分别作垂直于棱l的射线oa和ob 则射线oa和ob构成的 aob叫做 直二面角 平面角是的二面角 半平面 和 内 二面角的平面角 直角 建筑工地上 泥水匠砌墙时 为了保证墙面与地面垂直 泥水匠常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线 再沿着该线砌墙 如图 这样就能保证墙面与地面垂直 问题1 由上述可知当直线与平面垂直时 过此直线可作无数个平面 那么这些平面与已知平面有何关系 提示 垂直 问题2 若要判断两平面是否垂直 根据上述问题能否得出一方法 提示 可以 只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可 1 面面垂直的定义 1 定义 如果两个平面相交 且它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 画法 记作 直二面角 2 两平面垂直的判定 1 文字语言 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 2 图形语言 如图 3 符号语言 ab ab b ab 垂线 1 对于二面角及其平面角的理解 1 二面角是一个空间图形 而二面角的平面角是平面图形 二面角的大小通过其平面角的大小表示 体现了由空间图形向平面图形转化的思想 2 二面角的平面角的定义是两条 射线 的夹角 不是两条直线的夹角 因此 二面角 的取值范围是0 180 2 对于平面与平面垂直的判定定理的理解平面与平面垂直的判定定理告诉我们 可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直 通常我们将其记为 线面垂直 则面面垂直 因此 处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题 进一步转化为处理线线垂直问题 以后证明平面与平面垂直 只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可 例1 如图 在空间四边形abcd中 ab bc cd da e f g分别是cd da ac的中点 求证 平面bef 平面bgd 思路点拨 要证明两个平面互相垂直 有两种方法 一种是用定义证明 一种是用判定定理证明 在这里易证ac 平面bgd 而ef ac 故ef所在平面与平面bgd垂直 精解详析 ab bc g为ac中点 所以ac bg 同理可证 ac dg 又 bg dg g ac 面bgd e f为 adc的中点 ef ac ef 面bgd 又 ef 平面bef 平面bef 平面bgd 一点通 证明面面垂直的方法有两种 1 根据定义 若 abe是二面角 l 的平面角 且 abe 90 则 具体作法是 作出两面构成的二面角的平面角 计算其为90 2 利用面面垂直的判定定理 具体作法是在其中一个平面内寻找与另一个平面垂直的直线 1 对于直线m n和平面 能得出 的一组条件是 a m n m n b m n m n c m n n m d m n m n 解析 a与d中 也可与 平行 b中不一定 故选c 答案 c 2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e是cc1的中点 求证 平面a1bd 平面bed 例2 2011 珠海二中 abc为正三角形 ec 平面abc bd ce 且ce ca 2bd m是ea的中点 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 思路点拨 1 利用垂直关系证明并计算de da可得结论 2 证明om 面aec 3 由 2 可证 一点通 证明垂直关系时 注意 线线垂直线面垂直面面垂直 的应用 3 如图 设p是正方形abcd外一点 且pa 平面abcd 则平面pab与平面pbc 平面pad的位置关系是 a 平面pab与平面pbc 平面pad都垂直b 它们两两都垂直c 平面pab与平面pbc垂直 与平面pad不垂直d 平面pab与平面pbc 平面pad都不垂直 解析 ad ab ad pa且pa ab a ad 面pab 面pad 面pab bc ad bc 面pab 面pbc 面pab 答案 a 4 如图所示 abcd a1b1c1d1为长方体 且底面abcd为正方形 求证 截面acb1 平面bdd1b1 解 四边形abcd是正方形 ac bd bb1 底面abcd ac b1b 又bd bb1 b 故ac 平面bdd1b1 又ac 平面acb1 截面acb1 平面bdd1b1 例3 12分 四边形abcd是正方形 pa 平面abcd 且pa ab 1 求二面角a pd c平面角的度数 2 求二面角b pa d平面角的度数 3 求二面角b pa c平面角的度数 思路点拨 1 证明面pad 面pcd 2 定义法确定二面角 3 bac为所求角 可求 精解详析 1 pa 平面abcd pa cd 又四边形abcd为正方形 2分 cd ad pa ad a cd 平面pad 又cd 平面pcd 平面pad 平面pcd 3分 二面角a pd c平面角的度数为90 4分 2 pa 平面abcd ab pa ad pa bad为二面角b pa d的平面角 6分 又由题意 bad 90 二面角b pa d平面角的度数为90 8分 3 pa 平面abcd ab pa ac pa bac为二面角b pa c的平面角 10分 又四边形abcd为正方形 bac 45 即二面角b pa c平面角的度数为45 12分 一点通 解答此类问题的关键是清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关 通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点 求二面角的大小的方法为 一作 即先作出二面角的平面角 二证 即说明所作角是二面角的平面角 三求 即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值 其中关键是 作 5 下列说法中正确的是 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b形成的角与这个二面角的平面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成角的最小角 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 解析 由二面角的定义知 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 由于 有四个二面角 故 不对 由于a b垂直于这个二面角的两个面 则a b都垂直于二面角的棱 故 正确 中所作的射线不一定垂直