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文档简介

1 不等式的证明方法 反证法 1 反证法证明的定义 先假设要证明的命题不成立 然后由出发 结合已知条件 应用公理 定义 定理 性质等 进行 得到和命题的条件 或已证明的定理 性质 明显成立的事实等 矛盾的结论 以说明不成立 从而证明原命题成立 2 反证法证明不等式的一般步骤 假设命题不成立 依据假设推理论证 推出矛盾以说明 从而断定原命题成立 此假设 正确的推理 假设 假设不成立 2 不等式的证明方法 放缩法放缩法证明的定义 证明不等式时 通常把不等式中的某些部分的值或 简化不等式 从而达到证明的目的 3 放缩法的理论依据主要有 1 不等式的传递性 2 等量加不等量为 3 同分子 分母 异分母 分子 的两个分式大小的比较 放大 缩小 不等量 1 反证法适用范围 凡涉及不等式为否定性命题 唯一性 存在性命题可考虑反证法 如证明中含 至多 至少 不能 等词语的不等式 2 注意事项 在对原命题进行否定时 应全面 准确 不能漏掉情况 反证法体现了 正难则反 的策略 在解题时要灵活应用 1 实数a b c不全为0的等价条件为 a a b c均不为0b a b c中至多有一个为0c a b c中至少有一个为0d a b c中至少有一个不为0解析 不全为0 是对 全为0 的否定 与其等价的是 至少有一个不为0 答案 d 2 证明 三个互不相等的正数a b c成等差数列 则a b c不可能成等比数列 证明 假设a b c成等比数列 则b2 ac 又 a b c成等差数列 a b d c b d 其中d公差 ac b2 b d b d b2 b2 d2 d2 0 d 0 这与已知中a b c互不相等矛盾 假设不成立 a b c不可能成等比数列 3 已知函数y f x 在r上是增函数 且f a f b b 当a b时 a b则有f a f b f a f b 于是f a f b f b f a 与已知矛盾 当a b时 af b f b f a 于是有f a f b f b f a 与已知矛盾 故假设不成立 a b 1 利用放缩法证明不等式 要根据不等式两端的特点及已知条件 条件不等式 审慎地采取措施 进行恰当地放缩 任何不适宜的放缩都会导致推证的失败 2 一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法 利用放缩法证明不等式 就是采取舍掉式中一些正项或负项 或者在分式中放大或缩小分子 分母 或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数 从而达到证明不等式的目的 5 设f x x2 x 13 a b 0 1 求证 f a f b a b 证明 f a f b a2 a b2 b a b a b 1 a
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