单摆的混沌运动.docx

广西民族学院学报 (自然科学版)第 9 卷第 2 期journal of guangxi university for national itiesvol. 9 no. 22003 年 5 月( natural science edition)may. 2003文章编号 :1007 - 0311( 2003) 02 - 0021 - 05单摆的混沌运动杨青勇( 南宁地区教育学院 物理系 ,广西 南宁530001)摘要 : 采用相图方法和庞加莱截面法描述单摆的复杂运动 ,研究单摆运动中的分岔 、混沌等非线性特征 1关键词 : 单摆 ; 相图 ;庞加莱映射 ;混沌中图分类号 : o313文献标识码 : a单摆是物理学中最简单的模型之一 , 传统的力学教材一般只讨论单摆在摆幅很小的条件下作简谐振 动 、阻尼振动和受迫振动的特征. 事实上 , 如果不限制00d0令 2 = g/ l , = t , = / , =2 f = f , 则 (1) 式变为 : 2 m0, f =其摆幅 , 单摆在周期性策动力的作用下 , 其运动将有m l0m g2意想不到的复杂性. 本文将从单摆的动力学方程出发 ,采用相图 、庞加莱截面等描述方法研究单摆的复dd2= - 2dd- sin + f cos(2)杂运动.1单摆模型的动力学方程我们把传统的单摆模型一般化 :单摆的摆线换成引入新变量 , 将 (2) 式化成自治方程形式 := = - 2 - sin + f cos= (3)质量可忽略不计的刚性杆 , 摆角的取值范围不受限制 , 设摆长为 l , 摆球质量为 m , 沿切向受阻力 - l ( 为阻尼系数) 、重力 的分力 - m gsin以及周期策 动力 fcos d t 作用 , 由牛顿第二定律 f = m a 得此单摆所满足的动力学方程为这是一个反映单摆运动所遵循的动力学规律的 不显含时间的微分方程组. (3) 式中有 3 个可调参 量 :, 和 f , 每个参量的改变都会引起解的变化. 可以通过控制, f 参量的变化去考察其解的类型 和结构的变化 , 从而得出反映系统运动特征的信息.m l= - rl- m gsin+ fcosdt(1)为使 (1) 式各物理量无量纲化 , 作如下标度变换 :2单摆运动的相图及庞加莱截面描述方法1 2 收稿日期 :2003 - 03 - 16 .作者简介 :杨青勇(1962 - ) ,男 ,广西马山人 ,南宁地区教育学院物理系讲师. 广西民族学院学报 (自然科学版)2003 年 5 月第 9 卷由于 (3) 式含有非线性项 , 一般而言 , 不能用解 析法求解. 对于这类微分方程 , 法国数学家庞加莱在 十九世纪末创建了一种微分方程的定性理论 , 发明了 相图和拓扑学方法 , 在不求出解的情况下 , 通过直接 考察微分方程的系数及其本身的结构去研究它的解 的性质. 相图方法是非线性动力学最基本的研究方 法. 描写动力学系统状态的空间称为相空间 , 相空间 的每一点都代表系统的一个状态 , 反映系统状态演化 过程的图像就是相图. 下面我们用相图方法以及与之 相联系的庞加莱截面法描述单摆的运动.2. 1无阻尼无策动力的单摆的相图无阻尼 、无策动力相当于 = 0 , f = 0 的情况 ,此时单摆是一保守系统 , 由 (3) 式得图 2无阻尼无策动力的单摆相图图 2 即为反映了单摆在不同初始值下对应运动状态变化情况的相图. 当 h = 0 , = 0 时 ,= 0 , 对应于相图中的不动点 0 , 为单摆的稳定平衡点 ; 当 h= d= - sin(4)较小时 , 轨线为圆形闭合回线 , 表明单摆作简谐振动 ;当 h 增大时 , 轨线将偏离圆形 , 系统运动表现出非线把d = d d = d代入 (4) 式 , 整理得dd dd d= - sind(5)(1) 若 很小 , sin, 在此情况下我们容易得 到 (4) 、( 5) 的解 , 它归结为简谐振动情形. 为便于从 相图的角度来分析其运动特征 , 对 (5) 式积分 , 整理 得性特征 , 能量越高 , 回线越扁 ;当 h = 1 时单摆实际振 幅已达到 , 这相当于单摆的竖直倒立位置 , 是一 个不稳定的平衡点 ; h 1 , 轨线不再闭合 , 表明单摆 在竖直面上顺时针或逆时针旋转.2 . 2 有阻尼无策动力的单摆的相图由 (3) 式得到有阻尼无策动力时单摆的运动方程为=2 + 2a 2(6) + 2 + sin = 0(6)其中 , 积分常数 a 2 = 2 h , h 由初始条件决定 , 对应于系统的总能量 (无量纲) .由于 (6) 式比 (4) 式多出 2这一耗散项 , 单摆无论由 (6) 式可作出单摆的角速度与角位移关系图像 , 如图 1. 即为单摆作简谐振动的相图.平面就是单摆的状态空间或相空间 , 图中的圆称为相轨道 (轨线) , 圆上一点确定了单摆的一个运动状态 , 圆形 闭合回线反映系统状态周而复始的演化过程.从什么状态出发 , 都要经阻尼振荡 , 最后静止下来 , 反映在相图 3 上 , 可以看出 , 小振幅下的阻尼振荡轨线 将不再是闭合回线 , 而是对数螺线 , 终结于不动点 0. 也是图 2 闭合回线的中心点 , 称为不动点吸引子. 大 振幅下 , 在相空间中从某点出发的轨线不再象图 2 那 样左右对称 , 而是倾斜地流向相应区域中心的吸引 子 ,每个吸引子都有自己的吸引域. 图中相邻的吸引 域用有无阴影区分开来.图 1简谐振动的相图(2) 若不限制其摆幅 , 对 (5) 式积分 , 整理得2 ( h - 1 + cos)= (5)图 3无策动力的阻尼振荡的相图积分常数 h 为单摆系统的总能量 , 给定 h 一系列分离值 , 作出 = f () 的函数图象 , 如图 2.2 . 3有阻尼有策动力的单摆的相图和庞加莱截面有阻尼无策动力时单摆的运动方程为 (3) 式.222003 年第 2 期杨青勇/ 单摆的混沌运动此时 , 单摆运动状态= f (,) , 相空间扩大到 了三维 , 相轨道变得很复杂. 对于多周期甚至更复杂 的运动情况 , 由于相轨道的二维投影会自身交叉 , 使 得相图难以分辨 , 采用庞加莱截面法能有效地反映 其运动特征.庞加莱截面法就是把复杂的动力学系统的相轨 道转化为与一个截面的交点来研究. 在三维相空间中 取一固定截面 , 如图 4. 由于运动规律是确定的 , 各次轨道与给定的横截面 的交点位置都是服从同一动力学规律 , 而且 , 下一次交点与上一次交点之间有确定的对应关系 , 或者说 , 轨线下一次与截面的交点 可以看作是前一次交点的一种映射 , 即 p( x) = r ( x) , 这种映射叫庞加莱映射. = 1/ 4 , = 2/ 3 , f = 1. 07图 6单摆的相图与庞加莱截面当 f = 1. 15 时 , 相点貌似无规地游荡着 , 永不重 复自己走过的路 , 从庞加莱截面上可看出 , 交点有一 定的分布 , 表明单摆此时的运动尽管很复杂 , 但仍有 一定规律. 如图 71图 4庞加莱截面在任意大振幅下 , 方程 (3) 不能用解析方法求 解 ,只能在给定参量和初始值后做数值计算 , 同时采 用二维相图及庞加莱截面定性 、定量分析方法确定解 的动态性质. 本文只讨论当阻尼 策动力周期 不 变 ,而逐渐加大策动力的幅度 f 的情况下 (3) 式解的 行为. 取= 14 , = 23 , f 由小到大取一系列数值. 当 f = 1. 025 时 , 相图显示出有两个终态 , 轨线为左右不对称的闭合线 , 对应于周期解. 如图 51 = 1/ 4 , = 2/ 3 , f = 1. 025图 5单摆的相图当 f = 1. 07 时 , 出现了二倍周期 , 可从庞加莱截 面上看出只有两个交点. 二维相图上的相点是离散 的 ,表明在策动力的两个周期内才恢复原状 , 然后周 而复始. 如图 61 = 1/ 4 , = 2/ 3 , f = 1. 15图 7单摆的相图与庞加莱截面当 f = 1. 35 及 f = 1. 45 时 , 运动却恢复了较简 单的形式 :一倍和二倍周期解 , 从相图上看出 , 它不是 单纯地往复摆动而是单向旋转中加着小摆动. 如图23 广西民族学院学报 (自然科学版)2003 年 5 月第 9 卷8 、图 91 = 1/ 4 , = 2/ 3 , f = 1. 35图 8单摆的相图 = 1/ 4 , = 2/ 3 , f = 1. 50图 11单摆的相图与庞加莱截面 = 1/ 4 , = 2/ 3 , f = 1. 45图 9单摆的相图当 f = 1. 47 时 , 出现了四倍周期的旋转运动及 小摆动 , 如图 10. 当 f = 1. 50 时 , 又出现貌似无规的 运动 , 如图 11. = 1/ 4 , = 2/ 3 , f = 1. 47图 10单摆的相图与庞加莱截面3单摆的混沌运动特征从以上各图可以看出 , 在某些特定情况下 , 单摆 出现了貌似无规的运动 , 而这种运动仍遵循相同的动 力学规律 , 称为决定性的混乱 , 简称为混沌 . 单摆作 混沌运动有如下主要特征 :(1) 单摆产生混沌行为是以在大振幅条件下 , 动 力学方程中含有非线性项为前提. 由方程 ( 3) 可知 , 在小振幅的条件下 , 方程可简化为线性方程 , 其解所 描述的运动是规则的 , 不产生混沌运动.(2) 单摆的混沌运动是一种确定性的随机行为. 尽管随着时间的推移 , 系统演化为一种稳定的貌似无 规的运动 , 不能再确定某时刻系统沿哪条轨线运动 , 系统处于哪一个确定状态 , 但是 , 那些永不相交的杂 乱无章的轨线还是由动力学方程 (3) 所决定 , 相图上 出现的任何一点仍能满足动力学方程 , 因此说混沌是 决定性的混乱 , 这种混乱不是完全随机的 , 也与外界 的噪声无关.(3) 单摆的混沌运动有其内在的规律性. 系统单 个的运动轨道敏感地依赖初始条件 , 从而系统的长期 行为具有不可预测性 , 即有“蝴蝶效应”. 系统长期行 为的某些全局特征却与初绐条件无关 , 与其它混沌行 为一样 , 具有一定的普适性. 这些都可以从图 7 、图 11 的进一步分析中看出 .(4) 单摆的混沌行为可以通过参量的变化进行 控制. 由以上图 5 11 知道 , 当,给定 , 逐渐增大 f242003 年第 2 期杨青勇/ 单摆的混沌运动时 ,单摆的周期行为和混沌行为交替出现 , 而且都是 经倍周期分岔再演进为混沌. 事实上 , f 继续增大 , 还 将多次出现混沌行为. 不仅如此 , 改变其它参量 , 同样 也可以使系统进入混沌运动状态.从以上分析讨论可以看出 , 单摆作为一个非线性 的动力学系统 , 其演化过程存在着多样性和复杂性 , 简单的单摆并不简单 , 尤其是其混沌行为 , 在这里只 能进行一些简单的描述 , 对其深入讨论 , 还得在前沿 学科 混沌理论中进行. 参考文献 1 赵凯华. 从单摆到混沌 j . 现代物理知识 , 1993 , 5 ( 5 ) ; 1994 , 6(1) . 2 常树人 ,吕可诚. 浅说混沌j . 大学物理 ,1999 ,18 (9) . 3 邓明成. 新编大学物理学 m . 北京 :科学出版社 ,1999 , 313 . 责任编辑黄祖宾 责任校对苏琴 the chaotic motion of simple pendulumyan g qing2yong(educational college of n anning pref ect ure , n anning 530001 , china)abstract : phase diagram method and poincare section method are used to describe the complicated motion of simple pendulum and make a study of the nonlinear properties of the bifurcation and the chaotic motion in the simple pendulum motion.key words : simple pendulum ; phase diagram ; poincare mappings ; chaotic(上接第 13 页) 参考文献 1 dobener h d. goldinc g a. propertics of nonlinear schrdingger equa2 tions associated wihdiffeomj . orphism group representations ,journal of physic a : mathematical and general. 1994 ,27 :1771 - 1780 . 2 makhankov v g. dynamics of classical solitonsj . physics reports.1978 ,35 (1) :1 - 128 . 3 cooper f. shepard h. sodano p. solitary wave in a class of generalized kortewg - de vries equations physical review e j . 1993 , 48 ( 5 ) : 4027 - 4032 . 4 gazenave t. equations de schrdingger nonlinear m . pocroysoc , 1979 ,84s.5 deng lihong. gobal solutions in n 4 for a class of nonlinear schr ? dingg