高中数学 1.3.1 函数的单调性配套课件 新人教A版必修1.ppt

1 3 函数的基本性质 1 3 1 函数的单调性 学习目标 1 通过已学过的函数特别是二次函数 理解函数的单调性 及其几何意义 2 能够熟练应用定义判断函数在某区间上的单调性 3 学会运用函数图象理解和研究函数的性质 1 增函数与递增区间设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的 两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说函数f x 在区间d上是增函数 区间d称为函数f x 的单调递增区间 任意 f x1 f x2 2 减函数与递减区间设函数f x 的定义域为i 如果对于定义域i内某个区间d上的 两个自变量的值x1 x2 当x1 x2时 都有 那么就说函数f x 在区间d上是减函数 区间d称为函数f x 的单调递减区间 任意 f x1 f x2 3 单调性与单调区间如果函数y f x 在区间d上是 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间d叫做 y f x 的 增函数或减函数 单调区间 练习1 函数y x2在区间 8 2 上是 函数 在 区间 2 3 上是 函数 减 增 c 练习2 下列函数在区间 0 2 上是增函数的是 问题探究 根据f x x2 x 0 的图象进行讨论 随着x的增大 函数值怎样变化 当x1 x2时 f x1 与f x2 有怎样的大小关系 答案 随着x x 0 的增大 f x 的函数值增大 当x1 x2时 f x1 f x2 题型1 用定义证明函数的单调性 1 上是增函数 思维突破 证明的关键是对f x1 f x2 进行变形 尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式 证明 设任意的x1 x2 0 1 且x1 x2 0 x1 x2 1 x1 x20 f x1 f x2 0 即f x1 f x2 同理可证 f x 在 1 上是增函数 1 利用增函数 减函数的定义证明或判断函数的单调性的步骤是 设出指定区间上的任意两个值 作差 变形 判断符号 下结论 数 在 1 0 上为减函数 在 1 上为增函数 3 解答本题易出现以下的错误结论 f x 在 1 0 0 1 上是减函数 在 1 1 上是增函数 或说f x 在 0 0 上是单调函数 排除障碍的关键是正确理解函数单调性的概念 注意 函数的单调性是对某个区间而言的 而不是两个或两个以上不相交的区间的并集 变式与拓展 1 用函数单调性的定义证明 f x 2x2 3x c c为常数 由x10 题型2 利用函数的图象求函数的单调区间 例2 画出函数y x2 2 x 3的图象 并指出函数的单调区间 思维突破 准确画出函数的图象 根据函数图象写出其单调区间 函数的图象如图d9 图d9 函数的单调递增区间是 1 0 1 单调递减区 间是 1 0 1 研究函数单调区间的一般方法有 图象法 定 义法及利用已知函数的单调性 数形结合始终是研究函数性质及其应用的重要思想 变式与拓展 2 如图1 3 1 已知函数y f x 的图象 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一个区间上 它是增函数还是减函数 图1 3 1 解 函数y f x 的单调递减区间有 3 2 0 2 y f x 在区间 3 2 0 2 上是减函数 单调递增区间有 2 0 2 y f x 在区间 2 0 2 上是增函数 3 求函数f x x2 x 12 的单调区间 作出函数的简图 如图d10 观察其图象 知 函数f x 的单调递增区间为 和 4 单调递减区间为 3 和 图d10 题型3 函数单调性的应用 例3 1 若函数f x x2 2 a 1 x 1在区间 4 上是减函数 求实数a的取值范围 的取值范围 思维突破 1 处理二次函数的单调性问题需要对对称轴进行讨论 2 处理含参数的二次函数需要对参数进行讨论 解 1 f x x2 2 a 1 x 1 其对称轴为x 2 a 1 2 1 1 a 若二次函数在 4 上是减函数 必须满足1 a 4 解得a 3 当k 0时 抛物线开口向上 在 0 上不可能单调递减 综上所述 k 0 对已知函数在某区间d上的单调性 求参数取值范围的问题 可先由函数本身求得的单调区间视为i 函数在d和i上单调性相同 进而利用d i求得参数 变式与拓展 数 则实数b的取值范围为 解析 令f1 x 2b 1 x b 1 x 0 f2 x x2 2 b x x 0 要使f x 在r上为增函数 须有f1 x 单调递增 f2 x 单调递增 且f2 0 f1 0 答案 a 过坐标原点 对称轴是x 区间 2 4 应在直线x 的左侧或右侧 例4 已知函数f x x2 kx在 2 4 上是单调函数 则实数k的取值范围为 易错分析 应将区间在对称轴左侧和右侧分别进行讨论 解析 函数f x x2 kx的图象是开口向下的抛物线 经 已知函数在 2 4 上是单调函数 答案 k 4或k 8 方法 规律 小结 1 函数单调性的判定方法 1 定义法 根据增函数 减函数的定义 按照 取值 作 差变形 判断符号 下结论 的步骤 进行判断 2 图象法 画出函数的图象 根据图象的上升或下降趋势 判断函数的单调性 3 直接法 对于熟悉的函数 如一次函数 二次函数和反 比例函数等 直接写出它们的单调区间 2 区间d上的单调函数f x 具有的结论 1 函数y f x 与函数y f x 在区间d上的单调性相反 2 当函数f x 在区间d上恒为正或负时 函数y 1f x 与函 数y f x 在区间d上的单调性相反 k 0 f x n n n n 1 都是增函数 3 求函数y f g x 的单调区间的步骤 1 确定定义域 2 将函数分解成函数y f u u g x 3 分别确定这两个函