度高中数学 1.3.3 函数的奇偶性同步辅导与检测课件 新人教A版必修1.ppt

集合与函数概念 1 3函数的基本性质1 3 3函数的奇偶性 1 结合具体函数 了解函数奇偶性的含义 2 会运用函数图象理解和研究函数的性质 基础梳理 1 奇偶性定义 如果对于函数f x 定义域内的任意x都有f x f x 则称f x 为奇函数 如果对于函数f x 定义域内的任意x都有f x f x 则称f x 为偶函数 如果函数f x 不具有上述性质 则f x 不具有奇偶性 如果函数同时具有上述两条性质 则f x 既是奇函数 又是偶函数 例如 判断下列函数的奇偶性 y x2 y x3 y x2 x y 0 2 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任意一个x 则 x也一定是定义域内的一个自变量 即定义域关于原点对称 例如 若奇函数f x 的定义域为 p q 则p q 偶函数奇函数非奇非偶函数既是奇函数又是偶函数 0 思考应用 1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是否一致 偶函数呢 解析 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致 而偶函数刚好相反 2 若函数f x 满足f 1 f 1 能否判断函数f x 为偶函数 解析 不能 由定义可知 必须是定义域内任意x都有f x f x 不能用特殊性代替任意性 自测自评 1 奇函数f x 图象一定过原点吗 答案 当f 0 有意义时 由f 0 f 0 得 f 0 0 当f 0 没有意义时 如函数f x 它的图象不过原点 2 函数y 是偶函数吗 为什么 答案 不是 因为定义域不关于原点对称 3 设函数f x x x a b是奇函数 求实数a b的值 解析 因为函数f x x x a b为奇函数 所以f 0 0 f a f a 0 解得a b 0 判断函数的奇偶性 判断下列函数是否具有奇偶性 1 f x x x3 x5 2 f x x2 1 3 f x x 1 4 f x x2 x 1 3 分析 先求定义域 再判断f x 与f x 的关系 解析 1 函数f x x x3 x5的定义域为r 当x r x r f x x x3 x5 x x3 x5 f x f x x x3 x5为奇函数 2 函数f x x2 1的定义域为r 当x r x r f x x 2 1 x2 1 f x f x x2 1是偶函数 3 函数f x x 1的定义域是r 当x r时 x r f x x 1 x 1 f x x 1 f x f x 且f x f x x r f x x 1既不是奇函数 也不是偶函数 4 因为函数的定义域关于原点不对称 存在3 1 3 而 3 1 3 f x x2 x 1 3 既不是偶函数 也不是奇函数 点评 定义域关于原点对称是函数具备奇偶性的前提 跟踪训练 解析 1 函数的定义域为 关于原点对称 因为f x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f x 所以f x 是奇函数 2 由于 0 得 1 x 1 其定义域不关于原点对称 所以f x 既不是奇函数也不是偶函数 3 f x 的定义域是 0 0 关于原点对称 当x 0时 x 0 f x 1 x 1 x f x 当x 0时 x 0 f x 1 x 1 x f x 综上可知 对于x 0 0 都有f x f x 所以f x 为偶函数 奇偶函数的图象及应用 1 奇函数y f x x r 的图象必过点 a a f a b a f a c a f a d 2 设偶函数f x 的定义域为 5 5 若当x 0 5 时 f x 的图象如图所示 则不等式f x 0的解集是 解析 1 根据奇函数图象的特征 奇函数的图象关于原点对称 知点 a f a 在其图象上 则它关于原点的对称点 a f a 也必在其图象上 2 由于偶函数的图象关于y轴对称 所以可根据对称性确定不等式f x 0的解 当x 0 5 时 f x 0的解为2 x 5 所以当x 5 0 时 f x 0的解为 5 x 2 f x 0的解集是 x 5 x 2或2 x 5 答案 1 c 2 x 5 x 2或2 x 5 跟踪训练 2 偶函数f x x r 满足 f 4 f 1 0 且在区间 0 3 与 3 上分别递减和递增 使f x 0的自变量范围是 a 4 4 b 4 1 1 4 c 4 1 0 d 4 1 0 1 4 解析 根据题目条件 想象函数图象如下 答案 b 利用函数的奇偶性求函数的解析式 已知函数f x 是定义在 上的偶函数 当x 0 时 f x x x4 求当x 0 时 f x 的表达式 解析 当x 0 时 x 0 因为x 0 时 f x x x4 所以f x x x 4 x x4 因为f x 是定义在 上的偶函数 所以f x f x 所以f x x x4 跟踪训练 3 若f x 是定义在r上的奇函数 当x 0时 f x x 1 x 求当x 0时 函数f x 的解析式 分析 将x0上 这是解决本题的关键 解析 由f x 是奇函数 当x 0时 f x f x x 1 x x 1 x 当x 0时 f 0 f 0 即f 0 0 当x 0时 f x x 1 x 一 选择填空题1 已知f x 是定义在r上的奇函数 则f 0 的值为 a 1b 0c 1d 无法确定解析 f x 为r上的奇函数 f x f x f 0 f 0 f 0 0 答案 b2 设f x 是定义在r上的奇函数 且当x 0时 f x 2x 3 则f 2 c 1 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 1 首先确定函数的定义域 并判断其定义域是否关于原点对称 2 确定f x 与f x 的关系 3 作出相应结论 2 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是偶函数 3 若f x f x 或f x f x 0 则f x 是奇函数 4 函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 5 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 对于定义域内的任意一个x 则 x也一定是定义域内