高考数学 第七章 第八节直线的方向向量、直线与平面的垂直关系、平面的法向量、共面与平行课件 理.ppt

第八节直线的方向向量 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 共面与平行 1 直线的方向向量 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 1 直线的方向向量在直线l上任取两个不同的点a b 称 为直线l的方向向量 一般地 如果向量 与直线l 就称为l的方向向量 平行 2 直线与平面的垂直关系 直线与平面垂直的定义如果一条直线l与一个平面 相交 并且垂直于平面 内 就称直线l与平面 垂直 记作l 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线垂直于一个平面内 直线 那么这条直线就与这个平面垂直 所有 的直线 两条相交 射影 过空间任意一点p作平面 的垂线与 相交于点p0 则p0称为点p在平面 内的射影 预先给定平面 空间任何一个图形的每一个点p在平面 上都有一个射影p0 所有这些p0在平面 上组成一个图形 称为这个空间图形在平面 上的射影 三垂线定理在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和 垂直 三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线 如果它和这个平面的一条斜线垂直 那么它也和 垂直 这条斜线 这条斜线在平面内的射影 3 平面的法向量 向量与平面平行 垂直如果有向线段ab所在的直线与平面 或者 上 就称向量与平面 平行 如果有向线段ab所在的直线与平面 就称向量与平面 垂直 平面的法向量与平面 的 向量称为 的法向量 平行 ab在平面 垂直 垂直 非零 即时应用 1 思考 如何确定直线的方向向量 在求平面的法向量时 所列的方程组中有三个变量 但只有两个方程 如何求法向量 直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗 提示 在直线上任取两点 由这两点确定的向量即可作为直线的方向向量 给其中某一变量恰当赋值 求出该方程组的一组非零解 即可作为法向量的坐标 不唯一 凡是在直线l上的非零向量或与l平行的非零向量都可以作为直线的方向向量 凡是与平面垂直的非零向量都可以作为平面的法向量 2 若a 0 2 b 1 1 c 2 1 是平面 内的三点 设平面 的法向量n x y z 则x y z 解析 由得所以x y z y y y 2 3 4 答案 2 3 4 3 若平面 的法向量分别为a 1 2 4 b x 1 2 并且 则x的值为 解析 由 得a b 0 解得x 10 答案 10 4 若直线l1 l2的方向向量分别为a 2 4 4 b 6 9 6 则直线l1 l2的位置关系是 解析 由a b 2 6 4 9 4 6 0得a b 从而l1 l2 答案 l1 l2 2 共面与平行 1 图形共面如果若干个图形 就称这些图形共面 2 设n是平面abc的任意一个法向量 则a b c d共面 直线ad在平面abc内 在同一个平面内 3 利用法向量判定共面与平行设n是平面 的一个法向量 是直线l的方向向量 则 n 如果且l上至少有一点a 则 如果且l上至少有一点a 则 l 或l l l 即时应用 1 若直线a b的方向向量分别为a 1 1 2 b 2 2 4 则直线a与b的位置关系是 2 设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为b 若a b 0 则直线l与平面 的位置关系是 3 空间直角坐标系中 a 1 2 3 b 2 1 6 c 3 2 1 d 4 3 0 则直线ab与cd的位置关系是 解析 1 a 1 1 2 b 2 2 4 b 2a a与b共线 即a b或a与b重合 2 a b 0 a b l 或l 3 3 3 3 1 1 1 与共线 又与没有公共点 ab cd 答案 1 a b或a与b重合 2 l 或l 3 ab cd 热点考向1利用空间向量证平行 方法点睛 用向量证平行的方法 提醒 用向量证明平行问题时 要注意解题的规范性 如证明线面平行时 仍需要表明一条直线在平面内 另一条直线在平面外 例1 1 若直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 能使l 的是 a a 1 0 0 n 2 0 0 b a 1 3 5 n 1 0 1 c a 0 2 1 n 1 0 1 d a 1 1 3 n 0 3 1 2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 解题指南 1 验证a n 0是否成立即可 2 建立空间直角坐标系 由向量共线得线线平行 从而得出线面平行 规范解答 1 选d 若l 则a n 0 经验证知 d满足条件 2 方法一 如图所示 以d为原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则d 0 0 0 a1 1 0 1 m 0 1 n 1 1 于是 da1 mn 而mn平面a1bd da1 平面a1bd mn 平面a1bd 方法二 建立如方法一中的坐标系 则d 0 0 0 m 0 1 n 1 1 a1 1 0 1 b 1 1 0 设平面a1bd的法向量是n x y z 则n 0 且n 0 得 取x 1 得y 1 z 1 n 1 1 1 又 n 又mn平面a1bd mn 平面a1bd 反思 感悟 1 利用空间向量解决空间中线面位置关系的证明问题 以代数运算代替复杂的空间想象 为解决立体几何问题带来了简捷的方法 2 用空间向量解决立体几何问题的关键是建立适当的坐标系 并准确地确定点的坐标 另外运算错误也是解题中常出现的问题 变式训练 长方体abcd a1b1c1d1中 da 2 dc 3 dd1 4 m n e f分别是棱a1d1 a1b1 d1c1 b1c1的中点 求证 平面amn 平面efbd 解析 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系 取mn db及ef的中点r t s 则a 2 0 0 m 1 0 4 n 2 4 d 0 0 0 b 2 3 0 e 0 4 f 1 3 4 r 4 s 4 t 1 0 mn ef ar ts mn 平面efbd ar 平面efbd 又 ar mn r ar mn平面amn 平面amn 平面efbd 方法二 由方法一可知 a 2 0 0 m 1 0 4 n 2 4 d 0 0 0 e 0 4 f 1 3 4 则 1 0 4 0 4 0 4 1 3 4 设平面amn 平面efbd的法向量分别为n1 x1 y1 z1 n2 x2 y2 z2 则 令x1 1 得又令y2 1 得 得n1 n2 平面amn 平面efbd 热点考向2利用空间向量证明垂直 方法点睛 用向量证明垂直的方法 例2 如图所示 在四棱锥p abcd中 pc 平面abcd pc 2 在四边形abcd中 b c 90 ab 4 cd 1 点m在pb上 pb 4pm pb与平面abcd的夹角为30 1 求证 cm 平面pad 2 求证 平面pab 平面pad 解题指南 建立空间直角坐标系 1 可证明与平面pad的法向量垂直 也可将分解为平面pad内的两个向量的线性组合 利用共面向量定理证明 2 取ap中点e 利用向量证明be 平面pad即可 规范解答 由题意可知 以c为坐标原点 所在直线为x轴 所在直线为y轴 所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系 pc 平面abcd pbc为pb与平面abcd的夹角 pbc 30 pc 2 bc pb 4 d 0 1 0 b 0 0 1 方法一 令n x y z 为平面pad的一个法向量 则即令y 2 得n 2 1 n 又cm平面pad cm 平面pad 方法二 假设 平面pad 则存在x y使则方程组的解为 由共面向量定理知与共面 故假设成立 又 cm平面pad cm 平面pad 2 取ap的中点e 连接be 则e 2 1 又 be da 又pa da a be 平面pad 又 be 平面pab 平面pab 平面pad 互动探究 本例的条件不变 结论改为 求证 ab cm 则如何用向量法证明 证明 由本例的解题过程可知 0 4 0 即ab cm 反思 感悟 方向向量与法向量的作用利用直线的方向向量与平面的法向量证明线线 线面 面面的平行和垂直关系的关键就是把垂直与平行关系转化为向量的垂直与平行关系 然后利用向量的数量积解决 当然垂直与平行关系的判断与证明也可以不利用向量方法 而利用定理进行转化证明 两种方法都要熟练掌握 变式备选 如图 已知直三棱柱abc a1b1c1中 abc为等腰直角三角形 bac 90 且ab aa1 d e f分别为b1a c1c bc的中点 求证 1 de 平面abc 2 b1f 平面aef 证明 如图以a为原点 的方向分别为x轴 y轴 z轴的正方向建立空间直角坐标系 令ab aa1 4 则a 0 0 0 e 0 4 2 f 2 2 0 b 4 0 0 b1 4 0 4 1 取ab中点为n 连接cn 则n 2 0 0 c 0 4 0 d 2 0 2 2 4 0 2 4 0 de nc 又nc在平面abc内 de不在平面abc内 故de 平面abc 2 2 2 4 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 4 2 0 则 b1f ef 2 2 2 2 4 0 0 即b1f af 又 af fe f b1f 平面aef 热点考向3三垂线定理的应用 方法点睛 三垂线定理主要用于以下方面 1 证明问题 如线线垂直 线面垂直 面面垂直 2 计算问题 如求空间一点到平面内某一直线的距离 求两平行直线间的距离 求两条异面直线所成的角等 3 二面角问题 主要是构造二面角的平面角 例3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱bb1 dd1上的动点 1 求证 ef ac 2 当e恰为棱bb1的中点时 能否在棱dd1上确定点f的位置 使平面ace与平面acf垂直 请说明理由 解题指南 1 利用线面垂直证ef ac 2 通过三垂线定理证二面角的平面角为90 证面面垂直 规范解答 1 在正方体中 dd1 底面abcd ac 底面abcd dd1 ac 连接bd b1d1 则ac bd 又dd1 bd d 于是知ac 平面bb1d1d 又e f分别是棱bb1 dd1上的动点 所以ef 平面bb1d1d 故ef ac 2 df 底面abcd 设ac bd o ac bd 由三垂线定理知fo ac 同理eo ac 故 eof是二面角e ac f的平面角 设正方体棱长为1 fd t 在rt fdo中 e为棱bb1的中点 在rt ebo中 在平面bb1d1d内 过点e作eg dd1于g 则fg t 要使平面ace与平面acf垂直 即 eof 90 则eo2 fo2 ef2 即解得t 1 故当点f运动到顶点d1时 平面ace与平面acf垂直 反思 感悟 解答本题容易出现找不出正确的二面角的平面角而得出错误答案的情况 变式训练 如图 abc所在平面 外一点p 已知pa bc pb ac 1 求证 p在平面 内的投影是 abc的垂心 2 求证 pc ab 证明 1 作po 平面 于o点 连接ao并延长交bc于d 连接bo并延长交ac于e pa bc bc ad 同理 ac be o为 abc的垂心 2 连接oc并延长交ab于f o为 abc的垂心 ab cf 又 po 平面 ab pc 1 2013 宁德模拟 已知a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 三点 n 1 1 1 则以n为方向向量的直线l与平面abc的关系是 a 垂直 b 不垂直 c 平行 d 以上都有可能 解析 选a 由题意知 1 1 0 0 1 1 以n为方向向量的直线l与平面abc垂直 2 2013 厦门模拟 在正方体abcd a1b1c1d1中 若e为a1c1的中点 则直线ce垂直于 a ac b bd c a1d d a1a 解析 选b 以a为原点 的方向分别为x y z轴正方向建立空间直角坐标系 设正方体棱长为1 则a 0 0 0 c 1 1 0 b 1 0 0 d 0 1 0 a1 0 0 1 即ce bd 3 2013 龙岩模拟 如图 已知四棱锥p abcd的底面为正方形 pa 底面abcd e f分别为ab pd的中点 pa a 二面角p cd b为45 求证 1 af 平面pce 2 平面pce