高中数学 第2章 解三角形同步课件 北师大版必修5.ppt

正 余弦定理的应用利用正 余弦定理解三角形 三角形一般由三个条件确定 比如 1 已知三边a b c 2 已知两边a b及夹角c 3 已知角a b和边a 4 已知两边a b和角a等 但是必须要知道一条边长 解题时可以将a b c和a b c作为解三角形的基本要素 根据已知条件 通过运用正弦定理 余弦定理 面积公式等并利用解方程组等手段进行求解 必要时可考虑作辅助线 将所给条件置于同一三角形中 例1 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 已知cos2c 1 求sinc的值 2 当a 2 2sina sinc时 求b及c的长 审题指导 利用二倍角余弦公式求sinc的值 再利用正弦定理求c 利用余弦定理求b 规范解答 1 因为cos2c 1 2sin2c 及0 c 所以sinc 2 当a 2 2sina sinc时 由正弦定理 得c 4 由cos2c 2cos2c 1 及0 c 得cosc 由余弦定理c2 a2 b2 2abcosc b2 12 0 解得b 或b 所以或 三角形形状的判定方法判断三角形形状的解题思路 1 欲判断三角形的形状特征 必须深入研究边与边的大小关系 是否两边相等 是否三边相等 是否符合勾股定理 还要研究角与角的大小关系 是否两角相等 是否三个角相等 有无直角 有无钝角 2 判定三角形的形状通常有两种途径 一是通过正弦定理和余弦定理 化边为角 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 二是利用正弦定理和余弦定理 化角为边 通过代数恒等变换 求出三条边之间的关系进行判断 通过三角公式或代数变形运算 转化为反映三角形类型特征的数量关系后 要特别注意不要随便约掉等式两边的共同因式 这样很容易丢解 例2 在 abc中 已知a b c分别是角a b c的对边 若 试确定 abc的形状 审题指导 用正弦定理或余弦定理将边角统一成边的关系或角的关系 化简整理后 得出结论 规范解答 方法一 由 得acosa bcosb a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 0 a b或a2 b2 c2 abc是等腰三角形或直角三角形 方法二 由得 sinacosa cosbsinb sin2a sin2b a b为 abc的内角 2a 2b或2a 2b a b或a b abc为等腰三角形或直角三角形 正 余弦定理与三角函数的问题正 余弦定理与三角函数解三角形与三角函数有着必然的联系 这类问题不但要用到正弦定理 余弦定理等基础知识 同时还需利用三角公式进行恒等变换 这是高考的热点试题之一 三角形中的三角变换 除了三角公式和变换方法外 还要注意三角形自身的特点 1 在 abc中 因为a b c 所以sin a b sinc cos a b cosctan a b tanc 2 三角形边角关系定理及面积公式 在解三角形中常常用到 例3 2011 天津高考 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 已知b c 2b 1 求cosa的值 2 求cos 2a 的值 审题指导 1 寻找a b c的关系 利用余弦定理求解 2 利用三角函数的倍角公式 两角和公式化简计算 规范解答 1 由b c 2b 可得c b 所以cosa 2 因为cosa a 0 所以sina cos2a 2cos2a 1 sin2a 2sinacosa 所以cos 2a cos2acos sin2asin 解三角形实际应用问题解三角形应用题的一般步骤 1 审题 弄清题意 分清已知与所求 准确理解应用题中的有关名称和术语 如仰角 俯角 方向角等 2 画图 将文字语言转化为图形语言和符号语言 3 建模 将要求解的问题归结到一个或几个三角形中 通过合理运用正弦定理 余弦定理等数学知识建立相应的数学模型 4 求模 求解数学模型 得到数学结论 演算过程要算法简练 计算准确 5 还原 把用数学方法得到的结论 还原为实际问题的意义作答 别忘记把求得的结果代入实际问题中进行检验 看求得的结果是否有意义 例4 甲船在a处遇险 在甲船西南10海里b处的乙船收到甲船求救信号后 测得甲船正沿着北偏西15 的方向 以每小时9海里的速度向某岛靠近 如果乙船要在40分钟内追上甲船 问乙船应以多大速度 向何方向航行 审题指导 先用余弦定理求bc 然后用正弦定理求角b 最后求乙船航行方位角 规范解答 设乙船速度为v海里 时 在 abc中 由余弦定理可知 bc2 ac2 ab2 2ac ab cos cab 9 10 cos120 v 21海里 时 又由正弦定理可知 sinb b 21 47 即乙船应按北偏东45 21 47 23 13 的方向航行 函数与方程的思想函数与方程的思想 函数与方程的思想是最重要的一种数学思想 高考中所占比重较大 综合知识多 题型多 应用技巧多 1 函数思想 函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数 结合初等函数的图像与性质 加以分析 转化 解决有关求值 解方程以及讨论参数的取值范围等问题 2 方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程加以解决 例5 在 abc中 a b c分别为角a b c的对边 若a b是方程x2 2 0的两个根 且2cos a b 1 1 求角c 2 求ab的长 审题指导 解题时首先需关注题目中的已知条件 根据已知角的关系求出角c 然后再利用边长a b满足的关系式结合余弦定理求出ab的长 规范解答 1 cosc cos a b cos a b c 120 2 a b是方程x2 2 0的两个根 ab2 ac2 bc2 2ac bc cosc b2 a2 2abcos120 b2 a2 ab a b 2 ab 2 10 ab 1 2011 辽宁高考 abc的三个内角a b c所对的边分别为a b c asinasinb bcos2a 则 a b c d 解析 选d 利用正弦定理 将已知等式化为sin2asinb sinbcos2a sina 整理得 sinb sina 再利用正弦定理得 b a 所以 2 在 abc中 三个角a b c的对边边长分别为a 3 b 4 c 6 则bccosa cacosb abcosc的值为 a b c d 26 解析 选c bccosa cacosb abcosc 故选c 3 已知锐角三角形abc的面积为 bc 4 ca 3 则角c的大小为 a 75 b 60 c 45 d 30 解析 选b 由题知 4 3 sinc sinc 又 0 c c 4 在 abc中 已知a 120 且 则sinc等于 a b c d 解析 选a 由 可设ac 2k ab 3k k 0 由余弦定理可得bc2 4k2 9k2 2 2k 3k 19k2 bc 根据正弦定理可得 sinc 5 2011 南京高二检测 在 abc中 若sina sinb sinc 5 7 8 则角b的大小是 解析 sina sinb sinc a b c 5 7 8 令a 5 b 7 c 8 则cosb 又 b 0 b 答案 6 某地电信局信号转播塔建在一山坡上 如图所示 施工人员欲在山坡上a b两点处测量与地面垂直的塔cd的高 由a b两地测得塔顶c的仰角分别为60 和45 又知ab的长为40米 斜坡与水平面成30 角 求该转播塔的高度是多少米 解析 根据题意可得 abc 45 30 15 dac 60 30 30 bac 150 acb 15 ac ab 40 米 在 adc中 bdc 120 由正弦定理得 cd 米 答 转播塔的高度为米 7 在 abc中 a b c分别是角a b c的对边 且 1 求b的大小 2