高考数学总复习 第五章 第三节等比数列及其前n项和课件 理.ppt

第三节等比数列及其前n项和 第五章数列 考纲要求 1 理解等比数列的概念 2 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 4 了解等比数列与指数函数的关系 课前自修 知识梳理 一 等比数列的定义一般地 一个数列从第二项起 每一项与前一项的比都是同一个常数 即 q n n 则这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 q 0 二 等比数列的通项公式若数列 an 为等比数列 则an a1 qn 1 五 等比数列的主要性质1 an am qn m n m n 2 对于任意正整数m n r s 只要满足m n r s 则am an ar as 3 对于任意正整数p r s 如果p r 2s 则ap ar 4 对任意正整数n 1 有 an 1 an 1 5 对于任意非零实常数b ban 也是等比数列 6 若 an bn 是等比数列 则 anbn 也是等比数列 7 等比数列中 如果an 0 则 logaan 是等差数列 8 若数列 logaan 成等差数列 则 an 成等比数列 9 若数列是等比数列 则数列 a2n a2n 1 a3n 1 a3n 2 a3n 等都是等比数列 10 若数列是等比数列 则sm s2m sm s3m s2m成等比数列 所以 s2m sm 2 sm s3m s2m 1 2012 北京市西城区模拟 若数列 an 是公比为4的等比数列 且a1 2 则数列 log2an 是 a 公差为2的等差数列b 公差为lg2的等差数列c 公比为2的等比数列d 公比为lg2的等比数列 答案 a 基础自测 2 2012 三明市模拟 设数列为公比q 1的等比数列 若a4 a5是方程4x2 8x 3 0的两根 则a6 a7 3 2012 辽宁卷 已知等比数列 an 为递增数列 且 a10 2 an an 2 5an 1 则数列 an 的通项公式an 解析 a10 a1q4 2 a1q9 a1 q an qn 2 an an 2 5an 1 2an 1 q2 5anq 2 1 q2 5q 解得q 2 an 2n 答案 2n 舍去q 考点探究 考点一 等比数列基本量的计算 例1 1 已知等比数列 an 中 a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求公比q 首项a1及通项公式an 2 2011 大纲全国卷 设等比数列 an 的前n项和为sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和sn 思路点拨 利用等比数列的基本量的关系式 根据条件列方程 进而求出a1和q 点评 转化成基本量的方程 进而解方程是解决数列问题的基本方法 变式探究 1 1 2012 南宁市适应性测试 已知数列 an 是正项等比数列 若a2 2 2a3 a4 16 则数列 an 的通项公式an a 2n 2b 22 nc 2n 1d 2n 2 2012 泉州市四校联考 满足a1 1 log2an 1 log2an 1 n n 它的前n项和为sn 则满足sn 1025的最小n值是 a 9b 10c 11d 12 考点二 等比数列的证明 或判断 例2 2012 赣州市期末改编 设sn为数列 an 的前n项和 对任意的n n 都有sn m 1 man m为常数 且m 0 1 求证 数列 an 是等比数列 2 设数列 an 的公比q f m 数列 bn 满足b1 2a1 bn f bn 1 n 2 n n 求数列 bn 的通项公式 变式探究 2 已知a1 2 点 an an 1 在函数f x x2 2x的图象上 其中n 1 2 3 1 证明 数列 lg 1 an 是等比数列 2 设tn 1 a1 1 a2 1 an 求tn及数列 an 的通项 2 解析 由 1 知lg 1 an 2n 1 lg 1 a1 2n 1 lg3 lg 1 an an 1 tn 1 a1 1 a2 1 an 31 2 an 1 a1 2 an 1 sn 1 又tn sn 1 例3 2012 大连市模拟 在数列 an 中 a1 1 a2 2 且an 1 1 q an qan 1 n 2 q 0 1 设bn an 1 an n n 证明 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 思路点拨 本题主要考查等比数列的概念 等比数列的通项公式及前n项和公式 考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法 1 证明 由题设an 1 1 q an qan 1 n 2 得an 1 an q an an 1 即 q n 2 又b1 a2 a1 1 q 0 所以 bn 是首项为1 公比为q的等比数列 2 解析 由 1 得an 1 an qn 1 n n 于是有a2 a1 1 a3 a2 q 变式探究 3 2012 西安一中期中 已知数列 an 满足 a1 1 a2 2 an 2 n n 1 令bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 1 证明 b1 a2 a1 1 当n 2时 bn an 1 an an an an 1 bn 1 所以 bn 是以1为首项 为公比的等比数列 考点三 等比数列性质的应用 思路点拨 根据题设条件 注意利用等比数列的性质 若m n r s m n r s n 则aman aras 问题迅速解决 点评 灵活运用等比数列的有关性质 尤其是下标和性质 若m n r s m n r s n 则aman aras 可以起到事半功倍的奇效 变式探究 考点四 等差数列与等比数列的综合 例5 已知数列 an 为等差数列 公差d 0 an 的部分项组成下列数列 恰为等比数列 其中k1 1 k2 5 k3 17 求k1 k2 k3 kn 思路点拨 运用等差 比 数列的定义分别求得 然后列方程求得kn 解析 设 an 的首项为a1 成等比数列 且k1 1 k2 5 k3 17 a1 4d 2 a1 a1 16d 解得a1 2d q 3 a1 kn 1 d a1 3n 1 kn 2 3n 1 1 k1 k2 kn 2 1 3 3n 1 n 2 n 3n n 1 点评 运用等差 比 数列的定义转化为关于kn的方程是解题的关键 转化时要注意akn是等差数列中的第kn项 也是等比数列中的第n项 变式探究 5 2012 安徽皖南八校联考 已知各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为sn a1 3 s3 39 1 求数列 an 通项公式 2 若在an与an 1之间插入n个数 使得这n 2个数组成一个公差为dn的等差数列 1 解决等比数列有关问题的常见思维方法 1 方程的思想 理解等比数列的定义与特征 知三求二 即知道an a1 n q sn这五个量中的任意三个 就可以求出其余的两个 2 分类的思想 运用等比数列的求和公式时 需要对q 1和q 1讨论 利用指数函数的单调性讨论等比数列的单调性 分类讨论 若an 1 an a1 q 1 qn 1 则当a1 0 q 1或a11或a1 0 0 q 1时 等比数列为递减数列 2 等比数列的判定方法 1 q q是不为0的常数 n n 是等比数列 2 an cqn c q均是不为0的常数 n n 是等比数列 3 an 为等比数列是 an an 2的充分但不必要条件 4 若证 an 不是等比数列 只需证 ak 1ak 1 k为常数 k n 且k 2 感悟高考 品味高考 1 2012 新课标全国卷 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 a 7b 5c 5d 7 解析 an 为等比数列 a5a6 a4a7 8 又a4 a7 2 a4 4 a7 2或a4 2 a7 4 若a4 4 a7 2 解得a1 8 a10 1 a1 a10 7 若a4 2 a7 4 解得a10 8 a1 1 仍有a1 a10 7 综上选d 答案 d 2 2012 陕西卷 设 an 是公比不为1的等比数列 其前n项和为sn 且a5 a3 a4成等差数列 1 求数列 an 的公比 2 证明 对任意k n sk 2 sk sk 1成等差数列 1 解析 设数列 an 的公比为q q 0且q 1 由a5 a3 a4成等差数列 得2a3 a5 a4 即2a1q2 a1q4 a1q3 由a1 0 q 0得q2 q 2 0 解得q1 2 舍去q2 1 所以q 2 高考预测 1 2012 衡阳八中月考 已知各项均为正数的等比数列 an a1a2a3 5 a4a5a6 则a7a8a9 a 10b 2c 8d 解析 因为a1a2a3 a4a5a6 a7a8a9成等比数列 公比为 所以a7a8a9 a1a2a3 q2 10 故选a 答案