高中数学 第一章 计数原理归纳整合课件 北师大版选修23.ppt

本章归纳整合 选择使用两个原理解决问题时 要根据我们完成某件事情采取的方式而定 怎样确定是分类还是分步 要抓住两个原理的本质 分类加法计数原理的关键是 类 分类时 首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准 然后在这个标准下进行分类 其次分类时要注意 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类 并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法 专题一对比两个计数原理 做到心中有 数 分步乘法计数原理的关键是 步 分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准 其次 分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后 这件事才算完成 只有满足了上述条件 才能用分步乘法计数原理 在直角坐标系xoy平面上 平行直线x n n 0 1 2 5 与平行直线y n n 0 1 2 5 组成的图形中 矩形共有 a 25个b 36个c 100个d 225个 例1 答案d 本题主要考查两个原理的综合应用 使用分类加法计数原理 首先要根据问题特征确定分类标准 各类方法不重不漏 相互独立 同样 使用分步乘法计数原理也要根据问题的特征 合理确定分步的标准 各步之间是连续的 各步骤完成 事情也就完成了 规律方法 已知集合a a1 a2 a3 a4 集合b b1 b2 其中ai bj i 1 2 3 4 j 1 2 均为实数 1 从集合a到集合b能构成多少个不同的映射 2 能构成多少个以集合a为定义域 以集合b为值域的不同函数 由映射的定义可知 集合b中的每一个元素在集合a中均要有原象 因此只要从问题 1 的映射数中减去a中四个元素均对应b中一个元素的情况种数即可得到 2 的解 例2 思路探索 1 因为集合a中的每个元素ai i 1 2 3 4 与集合b中元素的对应方法都有2种 由分步计数原理 构成a b的映射有2 2 2 2 24 16 个 2 在 1 的映射中 a1 a2 a3 a4均对应同一元素b1或b2的情形构不成以集合a为定义域 以集合b为值域的函数 这样的映射有2个 所以 构成以集合a为定义域 以集合b为值域的函数有16 2 14 个 解 正确理解 映射 与 函数 的概念是解决本题的关键 由此可见 解决两个计数原理的实际应用问题的关键在于 一方面 要准确把握两个原理 并能灵活地运用它解决问题 另一方面 要熟练掌握前面我们所学习的知识 因为两个原理的应用题综合性强 它涉及到中学数学方方面面的知识 去杂法 是解决本章有关问题的基本方法之一 所谓 去杂法 就是从方法总数中减去不符合条件的方法数 规律方法 1 认真分析题目的条件和结论 明确 完成一件事 的具体含义 及完成这件事需要 分类 还是 分步 还要搞清楚问题的解决与 顺序 有无关系 以确定是排列问题还是组合问题 解题时 可以借助示意图 表格等 专题二排列组合应用题的处理方法和策略 2 常用解题策略如下 包含特殊元素或特殊位置的问题 采用优先法 即先考虑特殊元素或特殊位置 特殊位置对应 排 与 不排 问题 特殊元素对应 在 与 不在 问题 某些元素要求 相邻 的问题 采用捆绑法 即将要求 相邻 的元素捆绑为一个元素 注意内部元素是否有序 某些元素要求 不相邻 的问题 采用插空法 即将要求 不相邻 的元素插入其他无限制条件的元素之间的空位或两端 直接计数困难的问题 采用间接法 即从方法总数中减去不符合条件的方法数 排列和组合的综合题 采用 先组后排 即先选出元素 再排序 6个女学生 其中有一个领唱 和2个男学生 分成两排表演 1 若每排4人 共有多少种不同的排法 2 领唱站在前排 男学生站在后排 每排4人 有多少种不同的排法 本题是排列组合的综合性应用问题 1 可以从8人中先选4人排列 其余4人全排列 2 从5个女学生 除去领唱 中选出3人放在前排 4人全排列 其余4人全排列 例3 思路探索 1 本题主要考查排列 组合 分步乘法计数原理以及综合运用这些知识的能力 2 在解排列 组合的问题中 根据实际问题设计恰当的思维程序是解题的关键 规律方法 二项式定理是历年高考中的必考内容 解决二项式定理问题 特别是涉及求二项展开式的通项的问题 关键在于抓住通项公式 还要注意区分 二项式系数 与 展开式系数 二项式定理的应用主要有以下几个方面 1 近似求值 利用二项式定理进行近似计算 关键在于构造恰当的二项式 p q n 其中 q 1 并根据近似要求 对展开式的项合理取舍 专题三二项式定理的应用 2 解决整除问题 通常把底数化为两数的和或差的形式 且这种转化形式与除数有密切的关系 再利用二项式定理展开 只考虑前面或后面的一两项就可以 3 求和 求二项展开式系数和的基本方法是赋值法 在解决有些数列求和的问题时 要注意对问题实施转化 为应用二项式定理创造条件 4 解不等式或证明组合恒等式 用二项式定理证明不等式时 通常表现为二项式定理的正用或逆用 再结合不等式的证明方法论证 而证明组合恒等式的关键在于构造不同的二项式 比较系数进行证明 将1995分解为8 249 3 即199510 8 249 3 10 它的展开式中除末项为310外 其余各项均含有8这个因数 故199510被8除的余数与310被8除的余数相同 而310 95 8 1 5 8 1 5的展开式中除最末一项为1外 其余均含有8这个因数 故310被8除的余数为1 从而199510被8除的余数也为1 例4 求199510除以8的余数 解 1 用二项式定理证明组合数不等式时 通常表现为二项式定理的正用或逆用 再结合不等式证明的方法进行论证 2 应用时应注意巧妙地构造二项式 3 证明不等式时 应注意运用放缩法 即对结论不构成影响的若干项可以去掉 或增加 规律方法 命题趋势 纵观近年高考试题可知 本章在高考中命题的规律如下 1 排列 组合试题从形式上看有以下几种最为常见的问题 数字问题 人或物的排列问题 几何问题 选代表或选样品的问题 集合的子集个数问题 试题的难度与教材习题相当 为体现高考的选拔功能 少数题有难度 多为几何问题 2 排列 组合试题从解法上看 大致有以下几种 第一 有附加条件的排列 组合问题 大多需要用分类讨论的方法 注意分类时不重不漏 第二 排列与组合的混合型问题 分步骤 用分步乘法计数原理解决 第三 元素要相邻 看做一个整体的方法 第四 元素不相邻 用插空的方法 第五 间接法 或组合一一把不符合条件的排列或组合剔除掉 第六 穷举法 把符合条件的所有排列写出来 3 二项式定理试题每年一道 题型为以下几种 求展开式中的某一项或某一项系数的问题 求所有项系数的和或者奇数项 偶数项系数和的问题 二项式某一项为字母 求这个字母的值的问题 求近似值的问题 试题难度不大 与教材习题相当 1 2012 新课标全国 将2名教师 4名学生分成2个小组 分别安排到甲 乙两地参加社会实践活动 每个小组由1名教师和2名学生组成 不同的安排方案共有 a 12种b 10种c 9种d 8种 高考真题 答案a 答案d 3 2012 辽宁 一排9个座位坐了3个三口之家 若每家人坐在一起 则不同的坐法种数为 a 3 3 b 3 3 2c 3 4d 9 答案c 4 2012 陕西 两人进行乒乓球比赛 先赢3局者获胜 决出胜负为止 则所有可能出现的情形 各人输赢局次的不同视为不同情形 共有 a 10种b 15种c 20种d 30种解析由题意知比赛场数至少为3场 至多为5场 当为3场时 情况为甲或乙连赢3场 共2种 答案c 5 2012 浙江 若将函数f x x5表示为f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 其中a0 a1 a2 a5为实数 则a3 答案10 答案d 7 2012 安徽 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 任意两位同学之间最多交换一次 进行交换的两位同学互赠一份纪念品 已知6位同学之间共进行了13次交换 则收到4份纪念品的同学人数为 a 1或3b 1或4c 2或3d 2或4解析设6位同学分别用a b c d e f表示 若任意两人交换 共有c 15次 因此一定有两次交换没发