吉林省松原市扶余县第一中学高考数学总复习 专题一第3讲 导数及其应用学课件.ppt

第3讲导数及其应用 本节目录 感悟真题把脉考向 聚焦高考突破热点 名师讲坛精彩呈现 知能演练轻松闯关 真题试做 1 2012 高考陕西卷 设函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点解析 选d f x xex f x ex xex ex 1 x 当f x 0时 即ex 1 x 0 即x 1 x 1时函数y f x 为增函数 同理可求 x 1时函数f x 为减函数 x 1时 函数f x 取得极小值 2 2012 高考课标全国卷 曲线y x 3lnx 1 在点 1 1 处的切线方程为 答案 y 4x 3 3 2012 高考课标全国卷 设函数f x ex ax 2 1 求f x 的单调区间 2 若a 1 k为整数 且当x 0时 x k f x x 1 0 求k的最大值 解 1 f x 的定义域为 f x ex a 若a 0 则f x 0 所以f x 在 上单调递增 若a 0 则当x lna 时 f x 0 当x lna 时 f x 0 所以 f x 在 lna 上单调递减 在 lna 上单调递增 2 由于a 1 所以 x k f x x 1 x k ex 1 x 1 故当x 0时 x k f x x 1 0等价于 考向分析 导数及其应用是高考考查的重点 主要考查 1 导数的概念 求导公式与法则 导数的几何意义 2 导数的简单应用 包括求函数极值 求函数的单调区间 证明函数的单调性等 3 导数的综合考查 包括导数的应用题以及导数与函数 不等式等的综合题 4 对微积分基本定理的考查频率较低 难度较小 从特点上看 高考对导数的考查有时单独考查 有时在知识交汇处考查 常常将导数与函数 不等式 方程 数列 解析几何等结合在一起考查 热点一导数的几何意义 1 函数f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率k 则k f x0 2 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程是y f x0 f x0 x x0 思路点拨 解答该题先求f x 再根据f 1 对应为切线x 2y 3 0的斜率 切点 1 f 1 既在切线上又在曲线y f x 上 建立关于a b的方程组 从而求解 规律方法 求曲线切线方程的步骤 1 求出函数y f x 在点x0处的导数 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处切线的斜率 2 在已知切点坐标p x0 f x0 和切线斜率的条件下 求得切线方程为y y0 f x0 x x0 注意 1 当曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线平行于y轴 此时导数不存在 时 由切线定义可知 切线方程为x x0 2 当切点坐标未知时 应首先设出切点坐标 再求解 变式1对于函数f x x3 a 1 x a g x xlnx 若y f x y g x 在x 1处的切线相互垂直 求这两条切线的方程 解 f x 3x2 a 1 g x lnx 1 f 1 2 a g 1 1 两曲线在x 1处的切线互相垂直 2 a 1 1 a 3 f 1 1 f 1 0 y f x 在x 1处的切线方程为x y 1 0 同理y g x 在x 1处的切线方程为x y 1 0 热点二导数与函数的单调性在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数f x 在这个区间内单调递增 如果f x 0 那么函数f x 在这个区间内单调递减 如果f x 0 那么函数f x 在这个区间内是常数函数 规律方法 利用导数研究函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求函数f x 3 若求单调区间 或证明单调性 只需在函数f x 的定义域内解 或证明 不等式f x 0或f x 0 若已知函数的单调性 求参数 只需转化为不等式f x 0或f x 0在单调区间内恒成立问题求解 解题过程中要注意分类讨论 函数单调性问题以及一些相关的逆向问题 都离不开分类讨论思想 热点三导数与函数的极值 最值 1 若在x0附近左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 为函数f x 的极小值 2 设函数y f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 则f x 在 a b 上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得 2012 高考重庆卷 已知函数f x ax3 bx c在点x 2处取得极值c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值28 求f x 在 3 3 上的最小值 思路点拨 1 先求函数f x 的导函数 再由极值点和极值列出关于a b的方程组 解出a b的值 2 由f x 的极大值为28 可以求出参数c的值 再根据函数单调性及比较函数f x 在区间 3 3 的端点值及极小值的大小 求出最小值 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 当x 2 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 由此可知f x 在x 2处取得极大值f 2 16 c f x 在x 2处取得极小值f 2 c 16 由题设条件知16 c 28 解得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 16 c 4 因此f x 在 3 3 上的最小值为f 2 4 规律方法 1 求函数y f x 在某个区间上的极值的步骤 第一步 求导数f x 第二步 求方程f x 0的根x0 第三步 检查f x 在x x0左 右的符号 左正右负 f x 在x x0处取极大值 左负右正 f x 在x x0处取极小值 2 求函数y f x 在区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 第一步 求函数y f x 在区间 a b 内的极值 极大值或极小值 第二步 将y f x 的各极值与f a f b 进行比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 注意 1 利用导数研究函数的极值和最值时 应首先考虑函数的定义域 2 导数值为0的点不一定是函数的极值点 它是函数在该点取得极值的必要而不充分条件 变式3 2 若f x 为r上的单调函数 则f x 在r上不变号 结合 与条件a 0 知ax2 2ax 1 0在r上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合a 0 知0 a 1 故a的取值范围是 0 1 热点四定积分求定积分的一些技巧 1 对较复杂的被积函数 要先化简 再求定积分 2 求被积函数是分段函数的定积分 依据定积分的性质 分段求定积分再求和 3 对含有绝对值符号的被积函数 要去掉绝对值符号才能求定积分 思路点拨 先求出f x 的解析式 再求出y xf x 的解析式 画出y xf x 的图象 应用积分求出图形面积 规律方法 简单定积分的计算步骤 第一步 把被积函数变为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的和或差 第二步 利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差 第三步 分别用求导公式找到f x 使得f x f x 第四步 利用微积分基本定理求出各个定积分的值 第五步 计算所求定积分的值 注意 1 计算定积分时一定要找准被积函数的原函数 2 解决曲边梯形面积计算问题时 要找准积分上 下限及被积函数 备选例题 2012 高考江西卷 已知函数f x ax2 bx c ex在 0 1 上单调递减且满足f 0 1 f 1 0 1 求a