高中数学 1.7.1简单几何体的侧面积课件 北师大版必修2 .ppt

1 圆柱 圆锥 圆台的侧面积的求法由圆柱的侧面积公式可知 要求其侧面积 必须已知 或能求出 它的底面圆的半径和它的母线长 要求圆锥的侧面积应已知它的母线长和底面圆的半径 要求圆台的侧面积应已知圆台的母线长和上 下两底面圆的半径 简单旋转体的侧面积 2 圆柱 圆锥 圆台的侧面积之间的关系旋转体中轴截面可以将母线 底面半径 高等主要元素联系在一起 因此处理好轴截面中的边角关系是正确计算的关键 例1 2010 上海高考 如图所示 为了制作一个圆柱形灯笼 先要制作4个全等的矩形骨架 总计耗用9 6米铁丝 再用s平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面 不安装上底面 1 当圆柱底面半径r取何值时 s取得最大值 并求出该最大值 结果精确到0 01平方米 2 若要制作一个如图放置的 底面半径为0 3米的灯笼 请作出灯笼的三视图 作图时 不需考虑骨架等因素 审题指导 根据总计耗用9 6米铁丝可以推出圆柱的高与底面半径之间的关系 以及半径r的取值范围 另外要注意到s是由圆柱的侧面和圆柱的一个底面组成的 规范解答 1 设圆柱形灯笼的高为h 则4 4r 2h 9 6 所以h 1 2 2r 所以s s底面 s侧面 r2 2 rh r2 2 r 1 2 2r 2 4 r 3 r2 0 r 0 6 所以 当 米 时s有最大值 最大值为2 4 0 4 3 0 42 1 51 平方米 2 由 1 知r 0 3 米 时 h 0 6 米 其主视图与左视图均为边长是0 6米的正方形 俯视图是直径为0 6米的圆 如图 变式训练 2011 嘉峪关高一检测 已知圆台的上 下底面半径分别是2 5 且侧面面积等于两底面面积之和 求该圆台的母线长 解析 设圆台的母线长为l 则s圆台侧 r1 r2 l 2 5 l 7 l 两底面的面积之和为 r12 r22 22 52 29 由题意知7 l 29 1 正棱柱 正棱锥 正棱台的侧面积之间的关系 简单多面体的表面积 2 简单多面体的侧面积的求法 1 关键 找到多面体的特征几何图形 如棱柱中的矩形 棱台中的直角梯形 棱锥中的直角三角形 它们是联系高与斜高 侧棱 底面边长间的桥梁 架起了求侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁 2 策略 正棱柱 正棱锥 正棱台的所有侧面的面积都相等 因此求侧面积时 可先求一个侧面的面积 然后乘以侧面的个数 解决台体的问题 通常要补上截去的小棱锥 寻找上下底面之间的关系 棱柱的侧面积不一定等于底面周长和侧棱长的乘积 只有直棱柱的侧面积等于底面周长与侧棱长的乘积 例2 正四棱锥底面正方形的边长为4cm 高与斜高的夹角为30 求正四棱锥的侧面积和表面积 审题指导 审题时要画出正四棱锥的高 斜高 底面正方形的边心距组成的直角三角形 在此三角形中计算正四棱锥的关键量 规范解答 如图 正棱锥的高po 斜高pe 底面边心距oe组成rt poe ope 30 又s底 42 16 cm2 s表 s侧 s底 32 16 48 cm2 互动探究 把本题中的条件 高与斜高的夹角为30 改为 高与侧棱的夹角为30 应如何解答 解题提示 pob和 pbe都是直角三角形 通过解这两个三角形求出正四棱锥的斜高 进而计算侧面积和表面积 解析 正棱锥的高po 侧棱pb 底面线段ob组成rt pob 其中在rt pbe中 be 2 cm peb 90 1 求组合体的表面积的基本步骤 1 首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成的 组成形式是什么 2 其次根据组合体的组成形式设计计算思路 3 最后根据公式计算求值 组合体的表面积 2 求组合体的表面积的解题策略 1 对于由基本几何体拼接成的组合体 要注意拼接面重合对组合体表面积的影响 2 对于从基本几何体中切掉或挖掉的部分构成的组合体 要注意新产生的截面和原几何体的表面的变化 例3 如图 abc中 ac 3 bc 4 ab 5 以ab所在直线为轴 三角形面绕轴旋转一周形成一旋转体 求此旋转体的表面积 审题指导 该旋转体是一个组合体 由两部分组成 上部为圆锥 下部为与上部同底面的另一圆锥 规范解答 过c点作cd ab 垂足为d abc以ab所在直线为轴旋转一周 所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥 如图所示 这两个圆锥的高的和为ab 5 底面半径故即所得旋转体的表面积为 变式训练 一个几何体的直观图如图 求该几何体的表面积 解题提示 此几何体的表面积等于下面长方体的全面积加上面圆柱的侧面积 解析 由几何体的直观图可知 该几何体上面是一个圆柱 下面是一个长方体 其表面积等于下面长方体的全面积加上面圆柱的侧面积 其中下面的长方体的长 宽 高分别为8 8 4 上面的圆柱的底面直径为4 高为8 所以该几何体的表面积为2 8 8 8 4 8 4 4 8 256 32 展开图问题的解题方法 1 基本思想 曲面上有关距离的问题 往往需根据侧面展开图来处理 2 基本方法 解答几何体表面上两点间最短线路问题 一般都是将几何体表面展开 转化为求平面内两点间线段的长 3 有关知识 两点之间线段最短 解直角三角形等有关知识 展开图问题 例 如图所示 长方体abcd a1b1c1d1中 ab a bc b bb1 c 并且a b c 0 求沿着长方体的表面自a点到c1点的最短线路的长 审题指导 沿着长方体的表面自a点到c1点由以下三种可能 1 沿平面aa1b1b 平面bb1c1c 2 沿平面aa1b1b 平面a1b1c1d1 3 沿平面abcd 平面bb1c1c 规范解答 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能 如图所示 图 1 2 3 中ac1的长分别为 a b c 0 ab ac bc 0 故最短线路的长为 变式备选 如图所示 在直三棱柱abc a1b1c1中 abc 90 e f分别为aa1 c1b1的中点 求沿棱柱的表面从e点到f点的最短路径的长度 解析 将三棱柱的侧面 底面展开有三种情形 如图所示 在 1 中 在 2 中 取b1b的中点g 连接eg 则eg b1b 故在 3 中 作eg a1c1 fg a1a 交点为g 则易知eg fg 故比较后可知 如图 3 所示的e点到f点的路线最短 典例 12分 一个几何体的三视图如图所示 其中主视图中 abc是边长为2的正三角形 俯视图为正六边形 求该几何体的表面积 审题指导 审题时要注意以下信息 1 几何体是正六棱锥 2 正六棱锥的底面是正六边形 其边长为1 侧棱长为2 求该几何体的表面积时需先求底面积和侧面积 然后求和即可 规范解答 由三视图可知该几何体是正六棱锥 如图 其底面边长为 2分侧棱长为ac 2 4分 斜高 6分 8分 10分 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 2010 安徽高考改编 一个几何体的三视图如图 求该几何体的表面积 解析 由几何体的三视图可知 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的侧面积 其中下面长方体的长 宽 高分别为8 10 2 上面的长方体的长 宽 高分别为6 2 8 所以该几何体的表面积为2 8 10 8 2 10 2 2 6 8 2 8 360 1 下图不是棱柱的展开图的是 解析 选c 观察可知选项c 不是棱柱的展开图 2 一个边长为a的正方体 切成27个全等的小正方体 则表面积增加了 a 6a2 b 12a2 c 18a2 d 24a2 解析 选b 切成27个小正方体后 每个正方体的棱长为故表面积为而原来的表面积是6a2 故增加了12a2 3 已知圆锥的母线长为5 底面半径为3 则圆锥侧面积为 a 15 b 24 c 30 d 39 解析 选a s圆锥侧 3 5 15 4 如图所示 一个圆柱的底面半径为3 高为5 o o 分别为上 下两个底面圆的圆心 aa bb 为两条母线 用平面aa o o 平面bb o o截此圆柱 其中 aob a o b 60 剩余几何体的表面积为 解析 答案 40 30 5 圆台的较小底面半径为1 母线长为2 一条母线和底面的一条半径有交点且成60 则圆台的侧面积为 解析 由题意得 圆台的上 下底面半径r1 1 r2 2 母线l 2 s圆台侧 r1 r2 l 6 答案 6 6 如图所示 一个简单的空间几何体的主视图和左视图均是边长为2的正三角形 俯视图轮廓为正方形 试描述该几何体的特征 并求该几何体的表面积 解析 该几何体为底面是边长为2的正方形 高为的正四棱锥 四棱锥的侧面是全等的等腰三角形 设其高为h 则 该几何体的表面积为12 一 选择题 每题4分 共16分 1 某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒 如图 则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为 解析 选a 观察可知b c d选项不符合对面图案相同 2 表面积为3 的圆锥 它的侧面展开图是一个半圆 则该圆锥的底面直径为 a 1 b 2 解析 选b 设圆锥的底面半径为r 母线长为l 则由题意得 l 2 r l 2r 又 r2 rl 3 3 r2 3 r2 1 r 1 1舍去 圆锥的底面直径为2 3 2011 嘉峪关高一检测 圆柱的一个底面面积为s 侧面展开图是一个正方形 那么这个圆柱的侧面积是 a s b 2 s c 4 s 解析 选c 设圆柱的底面半径为r 则由题意得母线长为2 r 又 r2 s s侧 2 r 2 4 s 4 2010 福建高考 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示 则其侧面积等于 a b 2 c 2 d 6 解题提示 把三视图恢复成直观图 求出各个侧面的侧面积 进而求出总的侧面积 解析 选d 三棱柱的直观图如图 其底面是边长为2的正三角形 侧棱长为1的正三棱柱 s侧 1 2 3 6 二 填空题 每题4分 共8分 5 已知一个几何体的三视图如图所示 则此几何体的表面积是 解析 s圆柱侧 2 a 2a 4 a2 s底面 a2 s表面 s圆锥侧 s圆柱侧 s底面答案 6 正四棱台的高是12cm 两底面边长相差10cm 表面积是512cm2 则正四棱台的侧面积为 解析 如图所示 o o分别为上 下底面中心 则o o 12cm 分别取b c bc的中点e e 过点e 作e f oe于点f 设上 下底面边长分别为acm bcm 故b a 10 在rt e ef中 e f o o 12cm 则斜高e e 13cm 由即有a2 b2 2 a b 13 512 结合 可得a 2 b 12 则答案 364cm2 方法技巧 棱锥 棱台中的重要图形1 棱台中三个重要的直角梯形 如本题中的直角梯形o e eo b e eb o b bo 因为它们和台体的特征量 上下底边长 高 斜高 紧密相关 所以做此类题目时关键是要作出示意图 将与解题有关的特征量 转化到同一直角梯形中求解 2 正棱锥中几个重要的直角三角形 1 侧棱 高 底面正多边形外接圆的半径构成的直角三角形 2 侧棱 斜高 底面边长的一半构成的直角三角形 3 斜高 高 边心距构成的直角三角形 三 解答题 每题8分 共16分 7 直角梯形的一个底角为45 下底长为上底长的这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是求这个旋转体的体积 解题提示 先根据表面积建立方程 求出计算体积时所需的关键量 再求体积 解析 如图所示 梯形abcd中 ab cd a 90 b 45 绕ab边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体 设cd x 则 s表 s圆柱底 s圆柱侧 s圆锥侧 ad2 2 ad cd ad bc由题意得 则x 2 cd 2 ab 3 v v圆柱 v圆锥 方法技巧 方程思想在几何体体积计算中的妙用此类已知旋转体 或其他几何体 表面积 或体积 的问题 常利用方程思想 先通过分析题目条件选出与该几何体关键量联系最密切的量作为未知数 列方程求出各关键量的值 8 如图所示是某几何体的三视图 试根据三视图求该几何体的表面积 解析 此几何体是四棱锥 作出其直观图 如图所示 由三视图可知四棱锥p abcd中 底面四边形abcd是矩形 po 平面abcd o是ad的中点 且ab cd 2 ad bc 6 po 4 易证pd cd pa ab 取bc的中点e 连接oe pe 则bc 平面poe bc pe 且pd pa 5 同样得s pcd 5 s矩形abcd 6 2 12 该