高中数学 2.2.3.2圆与圆的位置关系课件 北师大版必修2 .ppt

1 两圆位置关系的判断方法 1 几何法 解题步骤 计算两圆的半径r1 r2 计算r1 r2 r1 r2 计算两圆的圆心距d 比较d与r1 r2 r1 r2 的大小关系 给出两圆的位置关系 判断两圆的位置关系 2 代数法 解题步骤 联立方程得方程组 消元得到关于x或y的一元二次方程 计算判别式 由判别式 0得两圆相交 由判别式 0得两圆内切或外切 由判别式 0得两圆外离或内含 2 判断两圆位置关系应注意的问题 1 两圆没有公共点不一定外离 也可能内含 2 两圆有且仅有一个公共点不一定外切 也可能内切 由于代数法运算量比较大运用不方便 所以一般用几何法来判断两圆的位置关系 例1 已知圆c1 x2 y2 2mx 4y m2 5 0 与圆c2 x2 y2 2x 0 1 当m 1时 圆c1与圆c2什么关系 2 是否存在m使得圆c1与圆c2内含 审题指导 1 参数m的值已知 求解时可先找出圆心及半径 然后比较两圆的圆心距d与r1 r2 r1 r2 的大小关系 2 假设存在m使得圆c1与圆c2内含 则圆心距d r1 r2 规范解答 1 m 1 两圆的方程分别可化为 c1 x 1 2 y 2 2 9 c2 x 1 2 y2 1 两圆的圆心距又 r1 r2 3 1 4 r1 r2 3 1 2 r1 r2 d r1 r2 所以圆c1与圆c2相交 2 假设存在m使得圆c1与圆c2内含 则即 m 1 2 0 显然不等式无解 故不存在m使得圆c1与圆c2内含 互动探究 在题设条件不变的情况下 问 m 4时 圆c1与圆c2什么关系 解题提示 求解时可先找出圆心及半径 然后比较两圆的圆心距d与r1 r2 r1 r2 的大小关系 解析 m 4 两圆的方程分别可化为 c1 x 4 2 y 2 2 9 c2 x 1 2 y2 1 两圆的圆心距又 r1 r2 3 1 d r1 r2所以圆c1与圆c2相外离 两圆相交公共弦所在的直线方程及弦长的求法 1 可先求得两圆的公共点 进而求得公共弦所在的直线方程 利用两点间距离公式求弦长 此法易懂 但计算较繁琐 一般选用下面的方法 与两圆的公共弦相关的问题 2 设圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0 圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0 联立方程组 得 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 若两圆交点分别为a x1 y1 b x2 y2 可知点a b的坐标满足方程 同时也满足 而二元一次方程与直线间的关系又是一一对应的 故 就是过两圆交点的直线方程 求得公共弦所在的直线方程后 可根据弦心距 半径 公共弦的一半所在的直角三角形求公共弦长 例2 求两圆x2 y2 2x 10y 24 0和x2 y2 2x 2y 8 0的公共弦所在的直线方程及公共弦长 审题指导 将两圆方程相减 先得到公共弦所在直线的方程 再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求得公共弦长 也可以利用圆的半径长 弦心距及弦长的一半组成直角三角形这一性质求解 规范解答 联立两圆的方程得方程组 得x 2y 4 0 此即为两圆公共弦所在直线的方程 方法一 设两圆相交于点a b 则a b两点满足方程组解得或所以即公共弦长为 方法二 由x2 y2 2x 10y 24 0 得 x 1 2 y 5 2 50 其圆心坐标为 1 5 半径为圆心到直线x 2y 4 0的距离为设公共弦长为2l 由勾股定理得r2 d2 l2 即解得故公共弦长 变式训练 过点p 2 3 向圆o x2 y2 1作两条切线pa pb 则弦ab所在的直线方程为 解析 由题意知 a b在以op为直径的圆上 则圆的方程为即x2 y2 2x 3y 0 又x2 y2 1 由 得2x 3y 1 答案 2x 3y 1 过两圆的交点的圆系方程的设法 1 过两圆交点的圆的方程的求法 可联立两个圆的方程 求出两交点的坐标 再由一个独立的条件 代入圆的一般方程求解 过两圆交点的圆系方程 2 过两圆fi x y x2 y2 dix eiy fi 0 i 1 2 的交点的圆系方程可设为x2 y2 d1x e1y f1 x2 y2 d2x e2y f2 0 1 即f1 x y f2 x y 0 1 利用过两圆的交点的圆系方程f1 x y f2 x y 0 1 求圆的方程时 要验证 1的情形 例3 求圆心在直线x y 4 0上 且经过两圆x2 y2 4x 6 0和x2 y2 4y 6 0交点的圆的方程 审题指导 思路一 先求两圆的交点坐标 再设出圆心坐标 根据圆心到两圆交点的距离相等求得参数的值 进而写出圆的方程 思路二 直接设过交点的圆系方程x2 y2 4x 6 x2 y2 4y 6 0 然后把方程转化成一般式 把圆心坐标代入x y 4 0中 求 的值 规范解答 方法一 由得或即两圆的交点坐标为a 1 1 b 3 3 设所求圆的圆心坐标c为 a a 4 由题意可知 ca cb 即解得a 3 c 3 1 所以 所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 16 方法二 设经过两圆交点的圆系方程为x2 y2 4x 6 x2 y2 4y 6 0 1 即 圆心坐标为又 圆心在直线x y 4 0上 即 所求圆的方程为x2 y2 6x 2y 6 0 互动探究 在题设不变的情况下 求两圆公共弦所在的直线方程 解析 联立两圆的方程 得 y x 0两圆公共弦所在的直线方程为y x 0 涉及圆与圆相关的轨迹求法 建立适当的坐标系 利用圆与圆的位置关系建立等量关系 对上述等量关系化简 明确曲线形式 并验证范围的有效性 轨迹与轨迹方程是不同的 前者是图形后者是方程 与圆有关的轨迹问题 例 2011 黄冈高二检测 已知点f 0 1 一动圆过点f且与圆x2 y 1 2 8内切 1 求动圆圆心的轨迹c的方程 2 设点a a 0 点p为曲线c上任一点 求点a到点p距离的最大值d 用a表示 审题指导 1 从题目可得到以下信息 动圆过点f 与圆x2 y 1 2 8内切 解答本题的关键是通过内切建立等量关系 并适当注意半径间的关系 2 建立最值函数 利用函数思想求点a到点p距离的最大值的表达式 规范解答 1 设圆心坐标为c x y 则动圆的半径为又动圆与x2 y 1 2 8内切 所以有化简得2x2 y2 2所以动圆圆心轨迹c的方程为2x2 y2 2 2 设p x y 则 pa 2 x a 2 y2 x a 2 2 2x2 x a 2 2a2 2 令f x x a 2 2a2 2 x 1 1 所以 当 a 1 即a 1时f x 在 1 1 上是减函数 f x max f 1 a 1 2 当 1 a 1 即 1 a 1时 f x 在 1 a 上是增函数 在 a 1 上是减函数 则 f x max f a 2a2 2 当 a 1 即a 1时 f x 在 1 1 上是增函数 f x max f 1 a 1 2 所以 变式备选 如图所示 圆o1与圆o2的半径都等于1 o1o2 4 过动点p分别作圆o1 圆o2的切线pm pn m n为切点 使得试建立适当的坐标系 并求动点p的轨迹方程 解析 以o1o2的中点o为原点 o1o2所在直线为x轴 o1o2的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 则o1 2 0 o2 2 0 由已知得 pm 2 2 pn 2 又因为两圆的半径均为1 所以 po1 2 1 2 po2 2 1 设p x y 则 x 2 2 y2 1 2 x 2 2 y2 1 即 x 6 2 y2 33 所以所求动点p的轨迹方程为 x 6 2 y2 33 或x2 y2 12x 3 0 典例 12分 求半径为4 与圆x2 y2 4x 2y 4 0相切 且和直线y 0相切的圆的方程 审题指导 利用与直线y 0相切可知 圆心纵坐标为4或 4 设出圆的方程 利用两圆相切 要分内切和外切两种情况 求得圆心横坐标 写出圆的方程 规范解答 由题意 设所求圆c的方程为 x a 2 y b 2 16 因为圆c与直线y 0相切 且半径为4 故b 4 所以圆心坐标为c a 4 或 a 4 又已知圆的方程可化为 x 2 2 y 1 2 9 则圆心坐标为a 2 1 半径为3 若两圆相切 则 ca 4 3 7 或 ca 4 3 1 2分 当取c a 4 时 a 2 2 4 1 2 72或 a 2 2 4 1 2 12 无解 故此时圆的方程为 6分 当取c a 4 时 a 2 2 4 1 2 72或 a 2 2 4 1 2 12 无解 故此时圆的方程为 10分 综上 所求圆的方程为 12分 误区警示 对解答本题时易犯的错误具体分析如下 即时训练 圆o1的方程为 x2 y 1 2 4 圆o2的圆心坐标为 2 1 1 若圆o1与圆o2相外切 求圆o2的方程 2 若圆o1与圆o2相交于a b两点 且求圆o2的方程 解题提示 1 利用圆与圆的位置关系求圆o2的半径 进而求出圆的方程 2 利用求圆o2的半径 进而求出圆的方程 解析 1 圆o1的方程为 x2 y 1 2 4 圆心o1 0 1 半径r1 2 设圆o2的半径为r2 由两圆外切知 o1o2 r1 r2 又 圆o2的方程为 2 设圆o2的方程为又圆o1的方程为 x2 y 1 2 4 两方程的二次项系数相同 两式相减得两圆公共弦ab所在的直线方程为 4x 4y r22 8 0 作o1h ab于h 则 r1 2 又得r22 4或r22 20 圆o2的方程为 x 2 2 y 1 2 4或 x 2 2 y 1 2 20 1 圆 x 1 2 y 2 2 5与圆 x 1 2 y 1 2 1的位置关系是 a 相离 b 相外切 c 相交 d 相内切 解析 选c 由题意可知r1 r2 d 3 r1 r2 所以两圆相交 2 两圆x2 y2 2y 3 0与x2 y2 2x 0的公共弦所在的直线方程为 a 2x 2y 3 0 b 2x 2y 3 0 c 2x 2y 3 0 d 2x 2y 3 0 解析 选c 联立两方程相减得2x 2y 3 0 选c 3 已知圆c1 x 1 2 y 1 2 1 圆c2与圆c1关于直线x y 1 0对称 则圆c2的方程为 a x 2 2 y 2 2 1 b x 2 2 y 2 2 1 c x 2 2 y 2 2 1 d x 2 2 y 2 2 1 解析 选b 设圆c2的圆心为 a b 则依题意 有解得 对称圆的半径不变 故选b 4 圆x2 y2 4与圆x2 y m 2 9相外切 则实数m 解析 由题意可知 m 2 3 m 5 答案 5 5 两圆x2 y2 10 x 10y 0与x2 y2 6x 2y 40 0的公共弦长为 解析 两圆的方程可分别化为 x 5 2 y 5 2 50 x 3 2 y 1 2 50 由于两圆是等圆且圆心距由圆的几何性质可得 公共弦长等于答案 10 6 判断下列两圆的位置关系 1 x 2 2 y 2 2 1与 x 2 2 y 5 2 16 2 x2 y2 6x 7 0与x2 y2 6y 27 0 解析 1 圆心 2 2 2 5 半径r1 1 r2 4 圆心距r1 r2 5 d r1 r2 两圆外切 2 圆心 3 0 0 3 半径r1 4 r2 6 圆心距r1 r2 10 r2 r1 2 2 d 10 两圆相交 一 选择题 每题4分 共16分 1 圆c1 x2 y2 1 0和圆c2 x2 y2 4x 2y 4 0的位置关系是 a 内切 b 外离 c 外切 d 相交 解析 选d 两圆的方程可化为c1 x2 y2 1 c2 x 2 2 y 1 2 9 3 1 d 3 1 两圆相交 选d 2 2011 厦门高一检测 两圆相交于点a 1 3 b m 1 两圆的圆心均在直线x y c 0上 则m c的值为 a 1 b 2 c 3 d 0 解析 选c 由圆的几何性质可知 a b两点关于直线x y c 0对称 解得 m c 3 3 2011 广州模拟 已知圆x2 y2 4与圆x2 y2 6x 6y 14 0关于直线l对称 则直线l的方程是 a x 2y 1 0 b 2x y 1 0 c x y 3 0 d x y 3 0 解析 选d 两圆关于直线l对称 则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线 方法技巧 直线与圆的对称问题解答此类问题的通法是求两圆心连线的中垂线 即先计算两圆心连线的斜率 再求其中点坐标 利用点斜式得出方程 在本题的求解过程中 考虑到两圆关于l对称 结合对称原理易知其半径必相等 故而采用两圆相减得公共弦的原理 探求两等圆的对称轴方程 实际上当两圆相切时 两圆相减得到的是公切线方程 学习中应注意积累这些知识 4 2011 蒲田高二检测 设集合a x y x2 y2 4 b x y x 1 2 y 1 2 r2 r 0 当a b b时 r的取值范围是 a 0 b 0 1 c 0 d 解题提示 明确两集合的含义 由a b b可知两圆内含或内切 解析 选c a x y x2 y2 4 b x y x 1 2 y 1 2 r2 r 0 均表示圆及其内部的点 由a b b可知两圆内含或内切 即 二 填空题 每题4分 共8分 5 2011 合肥高二检测 以点 3 4 为圆心且与圆x2 y2 4相外切的圆的标准方程是 解析 设所求圆的标准方程为 x 3 2 y 4 2 r2 r 0 由两圆相外切可知故所求圆的标准方程为 x 3 2 y 4 2 9 答案 x 3 2 y 4 2 9 6 若圆x2 y2 4与圆x2 y2 2ay 6 0 a 0 的公共弦的长为则a 解析 x2 y2 2ay 6 0的半径为由圆的几何性质可知解之得a 1 答案 1 三 解答题 每题8分 共16分 7 2011 石家庄高二检测 求经过两圆 x 3 2 y2 13和x2 y 3 2 37的交点 且圆心在直线x y 4 0上的圆的方程 解析 设所求圆的方程为 x 3 2 y2 13 x2 y