概率论与数理统计理工类第四版吴赣昌主编答案5,6,7,8章.pdf

第五章 数理统计的基础知识 5 1 数理统计的基本概念 习题一 已知总体X服从 0 上的均匀分布 未知 X1 X2 Xn为X的样 本 则 A 1n i 1nXi 2是一个统计量 B 1n i 1nXi E X 是一 个统计量 C X1 X2是一个统计量 D 1n i 1nXi2 D X 是一个统 计量 解答 应选 C 由统计量的定义 样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本 的统计量 A B D 中均含未知参数 习题2 观察一个连续型随机变量 抽到100株 豫农一号 玉米的穗位 单 位 cm 得到如下表中所列的数据 按区间 70 80 80 90 150 160 将100个数据分成9个组 列出分组数据计表 包括频率和 累积频率 并画出频率累积的直方图 解答 分组数据统计表 组 序 号 1 2 34 组 限 组 中 值 组 频 率 组 频 率 累 计 70 807533380 9085991290 10095131325100 110105161661 频 率 组 序 号 678 组 限 组 中 值 组 频 率 组 频 率 累 计 频 率 120 130125202087130 1401357794140 1501454498150 16015522100 频率直方图见图 a 累积频率直方图见图 b 习题3 测得20个毛坯重量 单位 g 列成如下简表 毛 坯 重 量 185187192195200202205206 频 数 11111211 毛 坯 重 量 207208210214215216218227 频 数 21112121 将其按区间 183 5 192 5 219 5 228 5 组 列出分组统计 表 并画出频率直方图 解答 分组统计表见表 组 序号 12345 组 限 组 中值 组 频数 组频 率 183 5 192 5192 5 201 5201 5 210 5210 5 219 5219 5 频率直方图见下图 习题4 某地区抽样调查200个居民户的月人均收入 得如下统计资料 月人均收入 百元 5 66 77 88 99 1010 1111 12 合计 户数 18357624191414200 求样本容量n 样本均值X 样本方差S2 解答 对于抽到的每个居民户调查均收入 可见n 200 这里 没有给出原始 数据 而是给出了整理过的资料 频率分布 我们首先计算各组 的 组中值 然后计算X 和S2的近似值 月人 均收 入 百 元 5 66 77 88 99 1010 1111 12 合计 组中 值ak 5 56 57 58 59 510 511 5 户 数fk 18357624191414200 X 1n kakfk 1200 5 5 18 11 5 14 7 945 S2 1n 1 k ak X 2fk 1n 1 kak2fk X 2 1199 5 52 18 11 52 14 7 9452 66 0402 63 123025 2 917175 习题5 设总体X服从二项分布B 10 3100 X1 X2 Xn为来自总体的简单随 机样本 X 1n i 1nXi与Sn2 1n i 1n Xi X 2 分别表示样本均值和样本二阶中心矩 试求E X E S2 解答 由X B 10 3100 得 E X 10 3100 310 D X 10 3100 97100 2911000 所以 E X E X 310 E S2 n 1nD X 291 n 1 1000n 习题6 设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料 日售出台 数k 2 3 4 5 6 合计 天 数fk 2030102515100 求样本容量n 经验分布函数Fn x 解答 1 样本容量n 100 2 经验分布函数 Fn x 0 x 20 20 2 x 30 50 3 x 40 60 4 x 50 85 5 xx 1 P X1 x X2 x Xn x 1 P X1 x P X2 x P Xn x 1 1 P X1 x 1 P X2 x 1 P Xn x 1 1 F x n F 1 x f1 x n 1 F x n 1f x 习题8 设总体X服从指数分布e X1 X2是容量为2的样本 求X 1 X 2 的概率密度 解答 f x e x x 00 其它 F x 1 e x x 00 x 0 X 2 的概率密度为 f 2 x 2F x f x 2 e x 1 e x x 00 其它 又X 1 的概率密度为 f 1 x 2 1 F x f x 2 e 2 x x 00 其它 习题9 设电子元件的寿命时间X 单位 h 服从参数 0 0015的指数分布 今独立测试n 6元件 记录它们的失效时间 求 1 没有元件在800h之前失效的概率 2 没有元件最后超过3000h的概率 解答 1 总体X的概率密度f x 0 0015 e 0 0015x x 00 其它 分布函数F x 1 e 0 0015x x 00 其它 没有元件在800h前失效 最小顺序统计量X 1 800 有 P X 1 800 P X 800 6 1 F 800 6 exp 0 0015 800 6 exp 7 2 0 000747 2 没有元件最后超过3000h 最大顺序统计量X 6 3000 P X 6 3000 P X 3000 6 F 3000 6 1 exp 0 0015 3000 6 1 exp 4 5 6 0 93517 习题10 设总体X任意 期望为 方差为 2 若至少要以95 的概率保证 X 0 1 问样本容量n应取多大 解答 因当n很大时 X N 2n 于是 P X 0 1 P 0 1 X 0 1 0 1 n 0 1 n 2 0 1n 1 0 95 则 0 1n 0 975 查表得 1 96 0 975 因 x 非减 故 0 1n 1 96 n 384 16 故样本容量至少取385才能满足要求 5 2 常用统计分布 习题1 对于给定的正数a 0 aF1 a n1 n2 P 1F1F1 a n1 n2 由于1F F n2 n1 所以 P 1F 1F1 a n1 n2 P 1F Fa n2 n1 a 即F1 a n1 n2 1Fa n2 n1 故 D 也是对的 习题2 1 2 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 问下列各统计量服 从什么分布 1 X1 X2X32 X42 解答 因为Xi N 0 1 i 1 2 n 所以 X1 X2 N 0 2 X1 X22 N 0 1 X32 X42 2 2 故X1 X2X32 X42 X1 X2 2X32 X422 t 2 习题2 2 2 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 问下列各统计量服 从什么分布 2 n 1X1X22 X32 Xn2 解答 因为Xi N 0 1 i 2nXi2 2 n 1 所以 n 1X1X22 X32 Xn2 X1 i 2nXi2 n 1 t n 1 习题2 3 2 设总体X N 0 1 X1 X2 Xn为简单随机样本 问下列各统计量服 从什么分布 3 n3 1 i 13Xi2 i 4nXi2 解答 因为 i 13Xi2 2 3 i 4nXi2 2 n 3 所以 n3 1 i 13Xi2 i 4nXi2 i 13Xi2 3 i 4nXi2 n 3 F 3 n 3 习题3 设X1 X2 X3 X4是取自正态总体X N 0 22 的简单随机样本 且 Y a X1 2X2 2 b 3X3 4X4 2 则a b 时 统计量Y服从 2分布 其自由度是多少 解答 解法一 Y a X1 2X2 2 b 3X3 4X4 2 令Y1 a X1 2X2 Y2 b 3X3 4X4 则 Y Y12 Y22 为使Y 2 2 必有Y1 N 0 1 Y2 N 0 1 因而 E Y1 0 D Y1 1 E Y2 0 D Y2 1 注意到D X1 D X2 D X3 D X4 4 由 D Y1 D a X1 2X2 aD X1 X2 a D X1 22D X2 a 4 4 4 20a 1 D Y2 D b 3X3 4X4 bD 3X3 4X4 b 9D X3 16D X4 b 4 9 16 4 100b 1 分别得a 120 b 1100 这时Y 2 2 自由度为n 2 解法二 因Xi N 0 22 且相互独立 知 X1 2X2 X1 2 X2 N 0 20 3X3 4X4 3X3 4 X4 N 0 100 故X1 2X220 N 0 1 3X3 4X4100 N 0 1 为使 Y X1 2X21 a 2 3X3 4X41 b 2 2 2 必有X1 2X21 a N 0 1 3X3 4X41 b N 0 1 与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是 1a 20 1b 100 即a 120 b 1100 习题4 设随机变量X和Y 相互独立且都服从正态分布N 0 32 X1 X2 X9 和Y1 Y2 Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本 试证统计量 T X1 X2 X9Y12 Y22 Y92 服从自由度为9的t分布 解答 首先将Xi Yi分别除以3 使之化为标准正态 令X i Xi3 Y i Yi3 i 1 2 9 则 X i N 0 1 Y i N 0 1 再令X X 1 X 2 X 9 则X N 0 9 X 3 N 0 1 Y 2 Y 12 Y 22 Y 92 Y 2 2 9 因此 T X1 X2 X9Y12 Y22 Y92 X1 X2 X9 Y 12 Y 22 Y 92 X Y 2 X 3Y 2 9 t 9 注意到X Y 2相互独立 习题5 设总体X N 0 4 而X1 X2 X15为取自该总体的样本 问随机变 量 Y X12 X22 X1022 X112 X122 X152 服从什么分布 参数为多少 解答 因为Xi2 N 0 1 故Xi24 2 1 i 1 2 15 而X1 X2 X15独立 故 X12 X22 X1024 2 10 X112 X122 X1524 2 5 所以 X12 X22 X1024 10X112 X122 X1524 5 X12 X22 X1022 X112 X122 X152 Y 习题6 证明 若随机变量X服从F n1 n2 的分布 则 1 Y 1X服从F n2 n1 分布 2 并由此证明F1 n1 n2 1F n2 n1 解答 1 因随机变量X服从F n1 n2 故可设X U n1V n2 其中U服从 2 n1 V服从 2 n2 且U与V相互独立 设1X V n2U n1 由F 分布之定义知 Y 1x V n2U n1 服从F n2 n1 2 由上侧 分位数和定义知 P X F1 n1 n2 1 P 1X 1F1 n1 n2 1 即P Y 1F1 n1 n2 1 1 P Y 1F1 n1 n2 1 故 P Y 1F1 n1 n2 而P Y F n2 n1 又Y为连续型随机变量 故P Y 1F1 n1 n2 从而 F n2 n1 1F1 n1 n2 即F1 n1 n2 1F n2 n1 习题7 查表求标准正态分布的上侧分位数 u0 4 u0 2 u0 1与u0 05 解答 u0 4 0 253 u0 2 0 8416 u0 1 1 28 u0 05 1 65 习题8 查表求 2分布的上侧分位数 0 952 5 0 052 5 0 992 10 与 0 012 10 解答 1 145 11 071 2 558 23 209 习题9 查表求F分布的上侧分位数 F0 95 4 6 F0 975 3 7 与F0 99 5 5 解答 0 1623 0 0684 0 0912 习题10 查表求t分布的下侧分位数 t0 05 3 t0 01 5 t0 10 7 与t0 005 10 解答 2 353 3 365 1 415 3 169 5 3 抽样分布 习题1 已知离散型均匀总体X 其分布律为 X 246 pi1 31 31 3 取大小为n 54的样本 求 1 样本平均数X 落于4 1到4 4之间的概率 2 样本均值X 超过4 5的概率 解答 E X 13 2 4 6 4 2 E X2 E X 2 13 22 42 66 42 83 所以 X 4 X 2 2n 8 354 481 X 29 令Z X 42 9 则n充分大时 Z 近似N 0 1 1 P 4 1 X 4 4 P 4 1 42 9 Z4 5 P Z 4 5 42 9 1 P Z 2 25 1 2 25 1 0 9878 0 0122 习题2 设总体X服从正态分布N 10 32 X1 X2 X6是它的一组样本 设 X 16 i 16Xi 1 写出X 所服从的分布 2 求X 11的概率 解答 1 X N 10 326 即X N 10 32 2 P X 11 1 P X 11 1 11 1032 1 0 8165 1 0 82 0 2061 习题3 设X1 X2 Xn是总体X的样本 X 1n i 1nXi 分别按总体服从下 列指定分布求E X D X 1 X服从0 1分布b 1 p 2 X服从二项分布b m p 3 X服从泊松分布P 4 X服从均匀分布U a b 5 X服从指数分布e 解答 1 由题意 X的分布律为 P X k Pk 1 P 1 k k 0 1 E X p D X p 1 p 所以 E X E 1n i 1nXi 1n i 1nE Xi 1n np p D X D 1n i 1nXi 1n2 i 1nD X1 1n2 np 1 p 1np 1 p 2 由题意 X的分布律为 P X k CmkPk 1 p m k k 0 1 2 m 同 1 可得 E X mp D X 1nmp 1 p 3 由题意 X的分布律为 P X k kk e 0 k 0 1 2 E X D X 同 1 可得 E X D X 1n 4 由E X a b2 D X b a 212 同 1 可得 E X a b2 D X b a 212n 5 由E X 1 D X 1 2 同 1 可得 D X 1 D X 1n 2 习题4 某厂生产的搅拌机平均寿命为5年 标准差为1年 假设这些搅拌机的 寿命近似服从正态分布 求 1 容量为9的随机样本平均寿命落在4 4年和5 2年之间的概率 2 容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率 解答 1 由题意知X N 5 1n n 9 则标准化变量 Z X 51 9 X 51 3 N 0 1 而 P 4 4 X 5 2 P 4 4 51 3 X 51 3 5 2 51 3 P 1 8 Z 0 6 0 6 1 8 0 7257 0 0359 0 6898 2 P X 6 P X 51 3 6 51 3 P Z1 解答 X N 0 1616 Y N 1 925 X Y N 1 1 925 即 X Y N 1 3425 标准化变量X Y 令Z X Y 34 5 N 0 1 所以 P X Y 1 1 P X Y 1 1 P 1 X Y 1 1 P 0 X Y 134 5 234 5 1 1 715 0 1 0 9569 0 5 0 5431 习题6 假设总体X服从正态分布N 20 32 样本X1 X25来自总体X 计算 P i 116Xi i 1725Xi 182 解答 令Y1 i 116Xi Y2 i 1725Xi 由于X1 X25相互独立同正态 分布N 20 32 因此有Y1与Y2相互独立 且Y1 N 320 122 Y2 N 180 92 Y1 Y2 N 140 152 P i 116Xi i 1725Xi 182 P Y1 Y2 182 P Y1 Y2 14015 2 8 2 8 0 997 习题7 从一正态总体中抽取容量为n 16的样本 假定样本均值与总体均值之 差的绝对值大于2的概率为0 01 试求总体的标准差 解答 设总体X N 2 样本均值为X 则有 X n X 4 N 0 1 因为 P X 2 P X 4 8 2P Z 8 2 1 8 0 01 所以 8 0 995 查标准正态分布表 得8 2 575 从而 82 575 3 11 习题8 设在总体N 2 中抽取一容量为16的样本 这里 2均为未 知 1 求P S2 2 2 041 其中S2为样本方差 2 求D S2 解答 1 因为是正态总体 根据正态总体下的统计量分布可知 n 1 S2 2 2 n 1 这里n 16 于是 P S2 2 2 041 P 15S2 2 15 2 041 1 P 15S2 2 30 615 查 2分布表可得 1 0 01 0 99 2 因为 n 1 S2 2 2 n 1 又知 D n 1 S2 2 2 n 1 所以 D S2 4 n 1 2D n 1 S2 2 4 n 1 2 2 n 1 2n 1 4 215 4 因为n 16 习题9 设总体X N 16 X1 X2 X10为取自该总体的样本 已知 P S2 a 0 1 求常数a 解答 因为 n 1 S2 2 2 n 1 n 10 4 所以 P S2 a P 9S216 916a 0 1 查自由度为9的 2分布表得 916a 14 684 所以a 26 105 习题10 设X1 X2 Xn和Y1 Y2 Yn分别取自正态总体 X N 1 2 和Y N 2 2 且相互独立 问以下统计量服从什么分布 1 n 1 S12 S22 2 2 n X Y 2 2 2S12 S22 解答 1 由 n 1 S12 2 2 n 1 n 1 S22 2 2 n 1 由 2 n 的可加性 n 1 S12 S22 2 2 n 1 2 X Y N 1 2 2 2n 标准化后 X Y 1 2 2n N 0 1 故有 X Y 1 2 22 2n 2 1 又由 n 1 S12 S22 2 2 2n 2 注意F分布定义 X Y 1 2 21n2 2 1 n 1 S12 S22 2 2 n 1 n X Y 1 2 2S1 习题11 分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本 求第 一个样本方差不小于第二个样本方差的两倍的概率 解答 用S12和S22分别表示两个样本方差 由定理知 F S12 12S22 22 S12 20S22 35 1 75S12S22 F 8 1 10 1 F 7 9 又设事件A S12 2S22 下面求P S12 2S22 因 P S12 2S22 P S12S22 2 P S12 20S22 35 2 3520 P F 3 5 查F分布表得到自由度为n1 7 n2 9的F分布上 分布点 F n1 7 n2 9 有如下数值 F0 05 7 9 3 29 F0 025 7 9 4 20 因而F0 05 7 9 3 29 3 5 F0 025 7 9 4 20 即事件A的概率 介于0 025和0 05之间 故 0 025 P S12 2S22 0 05 总习题解答 习题1 设总体X服从泊松分布 一个容量为10的样本值 为1 2 4 3 3 4 5 6 4 8 计算样本均值 样本方差和经验分布函 数 解答 样本的频率分布为x 4 s2 3 6 经验分布函数为 F10 x 0 x 11 10 1 x 22 10 2 x 34 10 3 x 47 10 4 x 58 10 5 x 69 10 6 x00 x 0 未知 样本X1 X2 Xn是n件某种电器的使用寿命 抽到的n件电器的使用寿 命是样本的一组观察值 样本X1 X2 Xn相互独立 来自同一总 体X 所以样本的联合密度为 f x1 x2 xn ne x1 x2 xn x1 x2 xn 00 其它 习题3 设总体X在区间 a b 上服从均匀分布 求 1 来自X的简单随机样本X1 X2 Xn的密度f x1 x2 xn 2 Y max X1 X2 Xn 的密度fY x Z min X1 X2 Xn 的密度fZ x 解答 1 X的密度为f x 1b a x a b 0 其它 由于X1 X2 Xn独立且与X同分 布 所以有 f x1 x2 xn i 1nf xi 1 b a n a x1 xn b0 其它 2 由题设X在 a b 上服从均匀分布 其分布函数为 F x 0 xb 由Y max X1 X2 Xn 及Z min X1 X2 Xn 分布函数的定义 FY x F x n FZ x 1 1 F x n 于是有 fY x nFn 1 x f x n x a n 1 b a n x a b fZ x n 1 Fn 1 x n 1 f x n b x n 1 b a n x a b 习题4 在天平上重复称一重量为a的物品 假设各次称量的结果相互独立 且 服从正态分布N a 0 2 若以X 表示n次称量结果的算术平均值 求 使P X a 0 1 0 95成立的称量次数n的最小值 解答 因为X 1n i 1nXi N a 0 2 2n 所以 X a0 2 n N 0 1 故 P X a 0 1 P X a0 2 n 0 3 解答 因为X1 X2 X10和Y1 Y2 Y15独立同分布 所以 X N 20 310 Y N 20 0 2 于是X Y N 0 0 5 P X Y 0 3 P X Y 0 5 0 3 0 5 1 P X Y 0 5 0 3 0 5 2 1 0 3 0 5 2 1 0 6628 0 6744 查正态分布表 习题6 设总体X N 2 假如要以0 9606的概率保证偏差 X 0 1 试问 当 2 0 25时 样本容量n应取多大 解答 P X 0 1 0 9606 即 P X 0 1 P X 0 25 n 0 10 25 n 2 0 1n0 25 1 0 9606 0 1n0 25 0 9803 n5 2 06 n 106 P X 0 1 0 9606 即 P X 0 1 P X 0 25 n P X1 X2 2 n n2 2 n2 2 1 n2 0 975 查正态分布表n2 1 96 所以n 7 68 即取 n 8 习题8 设总体X f x x x 0 02 解答 E X 11x x dx 0 2 D X E X2 E X 2 E X2 11x2 x dx 12 1 X 1n i 1nXi n 50 E X E 1n i 1nXi 1n i 1nE Xi 0 D X 2n 12n 1100 2 E S2 1n 1 i 1n Xi X 2 1n 1E i 1n Xi X 2 1n 1E i 1nXi2 nX 2 1n 1 i 1nD X1 nD X 1n 1 n 12 n 12n 12 3 P X 0 02 1 P X 0 02 1 P X D X 0 02 D X 1 P X1 10 0 2 2 1 0 2 0 8414 习题9 从一正态总体中抽取容量为10的样本 设样本均值与总体均值之差的绝 对值在4以上的概率为0 02 求总体的标准差 解答 由于X N 2n 故有 0 02 P X 4 P X n 4 n 2 1 4 n 2 1 12 65 12 65 0 99 即有12 65 u0 01 2 33 解得 5 43 习题10 设X1 Xn是取自总体X的样本 X S2分别为样本均值与样本方差 假定 E X 2 D X 均存在 试求E X D X E S2 解答 E X 1n i 1nE Xi 1n i 1nE X D X 1n2 i 1nD Xi 1n2 i 1nD X 2n E S2 E 1n 1 i 1nXi2 nX 2 1n 1 i 1nE Xi2 nE X 2 1n 1 i 1nE X2 nE X 2 1n 1 i 1n 2 2 n 2 2n 2 注 本题证明了对于任何存在均值 与方差 2的总体分布 均有 E X E S2 2 习题11 设总体X服从正态分布N 2 0 从总体中抽取简单随机样 本X1 X2n n 2 其样本均值为X 12n i 12nXi 求统计量 Y i 1n Xi Xn i 2X 2的数学期望 解答 注意到Xi Xn i相互独立 同分布N 2 2 2 则它们可认为是取 自同一正态总体N 2 2 2 的样本 其样本均值为 1n i 1n Xi Xn i 1n i 12nXi 2X 如果记Zi Xi Xn i i 1 n 即Zi i 1 n 是取自N 2 2 2 的样本 且 Yn 1 1n 1 i 1n Xi Xn i 2X 2 S2 Z 则有E S2 Z 1n 1E Y 2 2 所以E Y 2 n 1 2 习题12 设有k个正态总体Xi N i 2 从第i个总体中抽取容量为ni的样 本Xi1 Xi2 Xini 且各组样本间相互独立 记 Xi 1n j 1niXij i 1 2 k n n1 n2 nk 求W 1 2 i 1k j 1ni Xij Xi 2的分布 解答 因为 j 1ni Xij Xi 2 2 ni 1 Si2 2 2 ni 1 且 ni 1 Si2 2 i 1 2 k 相互独立 故 W 1 2 i 1k j 1ni Xij Xi 2 i 1k ni 1 Si2 2 2 i 1k ni 1 而 i 1k ni 1 i 1kni k n k 故 W 1 2 i 1k j 1ni Xij Xi 2 2 n k 习题13 已知X t n 求证X2 F 1 n 解答 设X U Yn 其中U N 0 1 Y 2 n 且U与Y相互独立 于是 U2 2 1 且U2与Y也相互独立 所以 X2 U2 Yn 根据F变量的构成模式知 X2应服从F 1 n 分布 习题14 设X1 X2 X9是取自正态总体X N 2 的样本 且 Y1 16 X1 X2 X6 Y2 13 X7 X8 X9 S2 12 i 79 Xi Y2 2 求证Z 2 Y1 Y2 S t 2 解答 易知 Y1 16 X1 X2 X6 N 26 Y2 13 X7 X8 X9 N 23 且Y1与Y2独立 故Y1 Y2 N 0 22 又 2S2 2 i 79 Xi Y2 2 2 2 2 Y1 Y2与2S2 2 独立 从而 Y1 Y2 22S2 2 2 2 Y1 Y2 S Z t 2 习题15 设X1 Xn Xn 1是取自正态总体X N 2 的样本 Xn 1n i 1nXi Sn 1n 1 i 1n Xi Xn 2 试确定统计量nn 1 Xn 1 Xn Sn的分布 解答 将统计量改写成下列形式 nn 1 Xn 1 Xn Sn Xn 1 Xn 1 1n n 1 Sn2 2 n 1 由于Xn 1与Xi i 1 n 相互独立 Xn 1n i 1nXi N 2n Xn 1 N 2 所以Xn 1 Xn N 0 1 1n 2 从而 Xn 1 Xn 1 1n N 0 1 注意到Xn 与Sn2相互独立 Xn 1也与Sn2相互独立 且 n 1 Sn2 2 2 n 1 故由 式即得 nn 1 Xn 1 Xn Sn t n 1 习题16 假设X1 X2 X9是来自总体X N 0 22 的简单随机样本 求系 数a b c 使 Q a X1 X2 2 b X3 X4 X5 2 c X6 X7 X8 X9 2 服从 2分布 并求其自由度 解答 由于X1 X2 X9相互独立且取自总体X N 0 22 由正态分布的线 性运算性质有 X1 X2 N 0 8 X3 X4 X5 N 0 12 X6 X7 X8 X9 N 0 16 于是 由 2 12 k2有 Q X1 X2 28 X3 X4 X5 212 X6 X7 X8 X9 216 2 3 故a 1 8 b 1 12 c 1 16 自由度为3 习题17 1 17 从总体X N 2 中抽取容量为16的样本 在下列情况下分别 求X 与 之差的绝对值小于2的概率 1 已知 2 25 解答 由 5 U统计量 X n N 0 1 P X 2 P X n 2 516 P U 1 6 2 1 6 1 0 8904 习题17 2 17 从总体X N 2 中抽取容量为16的样本 在下列情况下分别 求X 与 之差的绝对值小于2的概率 2 2未知 但s2 20 8 解答 由T统计量 X Sn t n 1 P X 2 P X Sn 2 20 816 P T 1 44 解答 由 i 1n Xi 2 2 2 n 题中 0 因此 P i 110Xi2 1 44 P i 110Xi2 0 3 2 1 44 0 3 2 P 2 10 16 0 1 习题19 1 设总体X具有方差 12 400 总体Y具有方差 22 900 两总体 的均值相等 分别自这两个总体取容量为400的样本 设两样本独立 分别记样本均值为X Y 试利用切比雪夫不等式估计k 使得 P X Y k 0 99 2 设在 1 中总体X和Y均为正态变量 求k 解答 1 由题设 E X Y E X E Y 0 D X Y D X D Y 400400 900400 134 由两样本的独 立性 由切比雪夫不等式 P X Y k 1 1k2 134 按题意应有1 1k2 134 0 99 解得k 18 028 2 由题设X Y均为正态变量 故有 X Y N 0 134 因此 P X Y k P X Y 13 4 k13 4 P k13 4 X Y 13 40 P Max X1 X2 Xn P Max X1 X2 Xn F F 因为 FX x 0 x 及F x FMax X1 X2 Xn x FX1 x FX2 x FXn x 所以 F 1 F P Max X1 X2 Xn 1 x n 故 P Max X1 X2 Xn 0 试证 2 2不是 2的无 偏估计 解答 因为D E 2 E 2 所以 E 2 D E 2 2 D 2 故 2不是 2的无偏估计 习题5 设X1 X2 Xn是来自参数为 的泊松分布的简单随机样本 试求 2的 无偏估计量 解答 因X服从参数为 的泊松分布 故 D X E X2 D X E X 2 2 E X 2 于是E X2 E X 2 即E X2 X 2 用样本矩A2 1n i 1nXi2 A1 X 代替相应的总体矩E X2 E X 便得 2的无偏估计量 2 A2 A1 1n i 1nXi2 X 习题6 设X1 X2 Xn为来自参数为n p的二项分布总体 试求p2的无偏估计量 解答 因总体X b n p 故 E X np E X2 D X E X 2 np 1 p n2p2 np n n 1 p2 E X n n 1 p2 E X2 E X n 1 E 1n n 1 X2 X p2 于是 用样本矩A2 A1分别代替相应的总体矩E X2 E X 便得p2的无偏 估计量 p 2 A2 A1n n 1 1n2 n 1 i 1n Xi2 Xi 习题7 设总体X服从均值为 的指数分布 其概率密度为 f x 1 e x x 00 x 0 其中参数 0未知 又设X1 X2 Xn是来自该总体的样本 试证 X 和 n min X1 X2 Xn 都是 的无偏估计量 并比较哪个更有效 解答 因为E X 而E X E X 所以E X X 是 的无偏估计量 设 Z min X1 X2 Xn 因为 FX x 0 x 01 e x x 0 FZ x 1 1 FX x n 1 e nx x 00 x 0 所以fZ x n e nx x 00 x 0 这是参数为n 的指数分布 故知 E Z n 而 E nZ E n min X1 X2 Xn 所以nZ也是 的无偏估计 现比较它们的方差大小 由于D X 2 故D X 2n 又由于D Z n 2 故有 D nZ n2D Z n2 2n2 2 当n 1时 D nZ D X 故X 较nZ有效 习题8 设总体X服从正态分布N m 1 X1 X2是总体X的子样 试验证 m1 23X1 13X2 m2 14X1 34X2 m3 12X1 12X2 都是m的无偏估计量 并问哪一个估计量的方差最小 解答 因为X服从N m 1 有 E Xi m D Xi 1 i 1 2 得 E m1 E 23X1 13X2 23E X1 13E X2 23m 13m m D m1 D 23X1 13X2 49D X1 19D X2 49 19 59 同理可得 E m2 m D m2 58 E m3 m D m3 12 所以 m1 m2 m3 都是m的无偏估计量 并且在m1 m2 m3 中 以m3 的方差 为最小 习题9 设有k台仪器 已知用第i台仪器测量时 测定值总体的标准差为 i i 1 2 k 用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次 分别 得到X1 X2 Xk 设仪器都没有系统误差 即E Xi i 1 2 k 问a1 a2 ak应取何值 方能使用 i 1kaiXi估计 时 是无偏的 并且D 最小 解答 因为E Xi i 1 2 k 故 E E i 1kaiXi i 1kaiE Xi i 1kai 欲使E 则要 i 1kai 1 因此 当 i 1kai 1时 i 1kaiXi为 的无偏估 计 D i 1kai2 i2 要在 i 1kai 1的条件下D 最小 采用 拉格朗日乘数法 令 L a1 a2 ak D 1 i 1kai i 1kai2 i2 1 i 1kai L ai 0 i 1 2 k i 1kai 1 即2ai i2 0 ai 2i2 又因 i 1kai 1 所以 i 1k12 i2 1 记 i 1k1 i2 1 02 所 以 2 02 于是 ai 02 i2 i 1 2 k 故当ai 02 i2 i 1 2 k 时 i 1kaiXi是 的无偏估计 且 方差最小 习题6 2 点估计的常用方法 习题1 设X1 X2 Xn为总体的一个样本 x1 x2 xn为一相应的样本值 求下 述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值及最大 似然估计量 1 f x c x 1 x c0 其它 其中c 0为已知 1 为未知 参数 2 f x x 1 0 x 10 其它 其中 0 为未知参数 3 P X x mx px 1 p m x 其中x 0 1 2 m 0 pc 对数似然函数为 lnL nln n lnc 1 i 1nlnxi 对lnL 求导 并令其为零 得 dlnL d n nlnc i 1nlnxi 0 解方程得 n i 1nlnxi nlnc 故参数的最大似然估计量为 n i 1nlnXi nlnc 2 E X 01x x 1dx 1 以X 作为E X 的矩估计 则 的 矩估计由X 1解出 得 X 1 X 2 的矩估计值为 x 1 x 2 其中x 1n i 1nxi为样本均值的观测 值 另外 似然函数为 L i 1nf xi n 2 i 1nxi 1 0 xi 1 对数似然函数为 lnL n2ln 1 i 1nlnxi 对lnL 求导 并令其为零 得 dlnL d n2 12 i 1nlnxi 0 解方程得 n i 1nlnxi 2 故参数的最大似然估计量为 n i 1nlnXi 2 3 X b m p E X mp 以X 作为E X 的矩估计 即X E X 则参数 p的矩估计为 p 1mX 1m 1n i 1nXi p的矩估计值为p 1mx 1m 1n i 1nxi 另外 似然函数为 L i 1nf xi i 1nCmxi p i 1nxi 1 p i 1n m xi xi 0 1 m 对数似然函数为 lnL i 1nlnCmxi i 1nxi lnp i 1n m xi ln 1 p 对lnL 求导 并令其为零 得 dlnL d 1p i 1nxi 11 p i 1n m xi 0 解方程得p 1mn i 1nxi 故参数的最大似然估计量为 p 1mn i 1nXi 1mX 习题2 设总体X服从均匀分布U 0 它的密度函数为 f x 1 0 x 0 其它 1 求未知参数 的矩估计量 2 当样本观察值为0 3 0 8 0 27 0 35 0 62 0 55时 求 的矩估计 值 解答 1 因为 E X xf x dx 1 0 xdx 2 令E X 1n i 1nXi 即 2 X 所以 2X 2 由所给样本的观察值算得 x 16 i 16xi 16 0 3 0 8 0 27 0 35 0 62 0 55 0 4817 所以 2x 0 9634 习题3 设总体X以等概率1 取值1 2 求未知参数 的矩估计量 解答 由 E X 1 1 2 1 1 1 2 1n i 1nXi X 得 的矩估计为 2X 1 习题4 一批产品中含有废品 从中随机地抽取60件 发现废品4件 试用矩估 计法估计这批产品的废品率 解答 设p为抽得废品的概率 1 p为抽得正品的概率 放回抽取 为了估计p 引入随机变量 Xi 1 第i次抽取到的是废品0 第i次抽取到的是正品 于是P Xi 1 p P Xi 0 1 p q 其中i 1 2 60 且E Xi p 故对于 样本X1 X2 X60的一个观测值x1 x2 x60 由矩估计法得p的估计值 为 p 160 i 160 xi 460 115 即这批产品的废品率为115 习题5 设总体X具有分布律 X 1 2 3 pi 2 2 1 1 2 其中 0 1 为未知参数 已知取得了样本值x1 1 x2 2 x3 1 试求 的矩估计值和最大似然估计值 解答 E X 1 2 2 2 1 3 1 2 3 2 x 1 3 1 2 1 4 3 因为E X X 所以 3 x 2 5 6为矩估计值 L i 13P Xi xi P X1 1 P X2 2 P X3 1 4 2 1 2 5 1 lnL ln2 5ln ln 1 对 求导 并令导数为零 dlnLd 5 11 0 得 L 56 习题6 1 设X1 X2 Xn来自总体X的一个样本 且X 求P X 0 的最 大似然估计 2 某铁路局证实一个扳道员五年内所引起的严重事故的次数服从泊松 分布 求一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率 p的最大似然估 计 使用下面122个观察值统计情况 下表中 r表示一扳道员某五年中 引起严重事故的次数 s表示观察到的扳道员人数 r 012345 sr444221942 解答 1 已知 的最大似然估计为 L X 因此 P X 0 e L e X 2 设X为一个扳道员在五年内引起的严重事故的次数 X服从参数为 的泊松分布 样本容量n 122 算得样本均值为 x 1122 r 05r r 1122 0 44 1 42 2 21 3 9 4 4 5 2 1 123 因此 P X 0 e x e 1 123 0 3253 习题6 3 置信区间 习题1 对参数的一种区间估计及一组观察值 x1 x2 xn 来说 下列结论中正 确的是 A 置信度越大 对参数取值范围估计越准确 B 置信度越大 置信区间越长 C 置信度越大 置信区间越短 D 置信度大小与置信区间有长度无关 解答 应选 B 置信度越大 置信区间包含真值的概率就越大 置信区间的长度就越 大 对未知参数的估计精度越低 反之 对参数的估计精度越高 置信区间的长度越小 它包含真值的概 率就越低 置信度就越小 习题2 设 1 2 是参数 的置信度为1 的区间估计 则以下结论正确的 是 A 参数 落在区间 1 2 之内的概率为1 B 参数 落在区间 1 2 之外的概率为 C 区间 1 2 包含参数 的概率为1 D 对不同的样本观察值 区间 1 2 的长度相同 解答 应先 C 由于 1 2都是统计量 即 1 2 是随机区间 而 是一个客观存 在的未知常数 故 A B 不正确 习题3 设总体的期望 和方差 2均存在 如何求 的置信度为1 的置信区 间 解答 先从总体中抽取一容量为n的样本X1 X2 Xn 根据中心极限定理 知 U X n N 0 1 n 1 当 2已知时 则近似得到 的置信度为1 的置信区间为 X u 2 n X u 2 n 2 当 2未知时 用 2的无偏估计S2代替 2 这里仍有 X S n N 0 1 n 于是得到 的1 的置信区间为 X u 2Sn X u 2Sn 一般要求n 30才能使用上述公式 称为大样本区间估计 习题4 某总体的标准差 3cm 从中抽取40个个体 其样本平均数 x 642cm 试给出总体期望值 的95 的置信上 下限 即置信区间的 上 下限 解答 因为n 40属于大样本情形 所以X 近似服从 N 2n 的正态分布 于是 的95 的置信区间近似为 X nu 2 这里x 642 3 n 40 6 32 u 2 1 96 从而 x nu 2 642 340 1 96 642 0 93 故 的95 的置信上限为642 93 下限为641 07 习题5 某商店为了了解居民对某种商品的需要 调查了100家住户 得出每户 每月平均需求量为10kg 方差为9 如果这个商店供应10000户 试就居 民对该种商品的平均需求量进行区间估计 0 01 并依此考虑最少 要准备多少这种商品才能以0 99的概率满足需求 解答 因为n 100属于大样本问题 所以X 近似服从N 2 n 于是 的99 的置信区间近似为 X Snu 2 而 x 10 s 3 n 100 u 2 2 58 所以 x snu 2 10 3100 2 58 10 0 774 9 226 10 774 由此可知最少要准备10 774 10000 107740 kg 这种商品 才能以0 99 的概率满足需求 习题6 观测了100棵 豫农一号 玉米穗位 经整理后得下表 组限不包括上 限 分 组 编 12345 号 组 限 组 中 值 频 数 70 8080 9090 100100 110110 12075859510511539131626 分 组 编 号 6789 组 限 组 中 值 频 数 120 130130 140140 150150 16012513514515520742 试以95 的置信度 求出该品种玉米平均穗位的置信区间 解答 因为n 100属于大样本情形 所以 的置信度为95 的置信区间上 下限 近似为X snu 2 这里n 100 u 2 1 96 还需计算出x 和s 取a 115 c 10 令zi xi a c xi 115 10 用简单算公式 1 x a cz 2 sx2 c2sz2 编号 123456789 组中值 xi zi xi 11510 组频率 mi mizi zi2 758595105115125135145155 4 3 2 101234 3913162620742 12 27 26 1602014128 16941014916 mizi2 123456789 z 1100 i 19mizi 1100 27 0 27 x 10 27 115 112 3 sz2 199 i 19mizi2 199 313 3 161616 sx2 102 3 161616 316 1616 sx 17 78 于是 x snu 112 3 17 7810 1 96 112 3 3 485 108 815 115 785 习题7 某城镇抽样调查的500名应就业的人中 有13名待业者 试求该城镇的 待业率p的置信度为0 95置信区间 解答 这是 0 1 分布参数的区间估计问题 待业率p的0 95置信区间为 p1 p2 b b2 4ac2a b b2 4ac2a 其中 a n u 22 b 2nX u 2 2 c nX 2 n 500 x 13500 u 2 1 96 则 p1 p2 0 015 0 04