高等数学同济第六版6全12部分课后答案.pdf

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两切线的交点为 3 2 3 所求的面积为 4 9 34 62 34 34 2 3 0 2 3 2 3 2 dxxxxxxxA 4 求抛物线y2 2px及其在点 2 p p 处的法线所围成的图形的面积 解 2y y 2p 在点处 1 2 p p y p y 2 p p 法线的斜率 k 1 法线的方程为 2 p xpy 即y p x 2 3 w w w k h d a w c o m 课后答案网 2 p p 求得法线与抛物线的两个交点为和 3 2 9 pp 法线与抛物线所围成的图形的面积为 2 3 32 3 2 3 16 6 1 2 1 2 3 22 3 py p yy p dy p y y p A p p p p 5 求由下列各曲线 所围成的图形的面积 1 2acos 解 所求的面积为 2 2 2 1 2 0 2 cos4 cos2 2 dadaA a2 acos3t y asin3t 解 2 2 x 所求的面积为 2 0 422 0 2 33 0 sincos34 cos sin 44 tdttatadtaydxA a 22 0 62 0 42 8 3 sinsin 12atdttdta w w w k h d a w c o m 课后答案网 3 2 解 所求的面积为 a 2 cos 2 2 0 22 2 0 2 18 coscos44 2 cos2 2 2 1 adadaA 6 求由摆线 x a t sin t y a 1 cos t 的一拱 0 t 2 与横轴 所围成的图形的面积 解 所求的面积为 aaa dttadttataydxA 2 0 22 2 0 2 0 cos1 cos1 cos1 2 2 0 2 3 2 cos1 cos21 adt t ta a 7 求对数螺线 ae 及射线 所围成的图形面积 解 w w w k h d a w c o m 课后答案网 所求的面积为 42 2 edeadae 11 22 2 222 e a 8 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积 1 3cos 及 1 cos 解 曲线 3cos 与 1 cos 交点的极坐标为 A 3 2 3 A 3 2 3 B 由对称性 所求的面积为 4 5 cos3 2 1 cos1 2 1 2 2 3 2 3 0 2 ddA 2 sin2 及 解 2cos 2 6 2 2 曲线 sin2 与 2cos 2 的交点 M 的极坐标为 M 所求的面积为 2 31 6 2cos 2 1 sin2 2 1 2 4 6 6 0 2 ddA w w w k h d a w c o m 课后答案网 于曲线ex下方 9 求位y 该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积 解 设直线y kx与曲线y ex相切于A x0 y0 点 则有 xy ey kxy x x 0 0 0 0 00 y0 e k e 所求面 ke 求得x0 1 积为 2 1 ln 2 1 ln 1 0 00 2 0 e dy y yyyy e dyyy e e ee e 10 求由抛物线y2 4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值 解 设弦的倾角为 由图可以看出 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 10 AAA 显然当 2 时 1 0 当 A 2 1 因此 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 0 2 0 3 0 0 3 8 3 8 22axadxaxA aa 1 把抛物线y2 4ax及直线x x0 x0 0 所围成的图形绕x轴旋转 计算 得旋转体的体积 1 所 解 所得旋转体的体积为 2 0 0 22 224 0 00 xaaxdxdxyV x xx 00 xa 12 由y x3 x 2 y 0 所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得 转所得旋转体的体积为 两个旋转体的体积 解 绕 x 轴旋 7 128 7 1 2 0 7 2 0 6 2 0 2 xdxxdxyV x 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为 w w w k h d a w c o m 课后答案网 8 0 3 2 8 0 22 3282dyydyxVy 5 64 5 3 32 8 0 3 5 y 所围成的图形 绕 x 轴旋 计算所得旋转体的体积 解 由对称性 所求旋转体的体积为 13 把星形线转 3 23 23 2 ayx dxxadxyV aa 22 2 2 0 3 33 2 0 3 0 2 3 4 3 2 3 2 3 4 2 105 32 33 2adxxxaxaa a 14 用 积 分 方 法 证 明 图 中 球 缺 的 体 积 为 2 H RHV 3 证明 R HR R HR dyyRdyyxV 222 3 1 32 yyR R HR 3 2 H RH 15 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生 的体积 1 的旋转体 2 xy 2 yx 绕 y 轴 22 dyyydyV 解 10 3 5 1 2 1 1 0 52 1 0 1 0 yy 2 a x aych x 0 x a y 0 绕 x 轴 解 1 0 2 ch udu 3 0 22 0 2 ch a x dx a x adxxyV aa 令 au w w w k h d a w c o m 课后答案网 1 0 22 2 uuu duee 22 3 1 0 3 2 1 2 2 1 44 u eue aa 2sh2 4 3 a 3 2 16 5 2 y 绕 x 轴 解 x 4 4 22 4 4 22 165 165 dxxdxxV 2 4 0 2 1601640 dxx x t sin t a 1 cos t 的一拱 y 0 绕直线 y 2a 解 a dyyadxaV 0 2 2 0 2 2 2 2323 7 8 ata a 16 求圆盘 4 摆线a y a2 2 0 2223 sin cos1 8ttdataa 0 sincos1 tdta 23 2 222 ayx 绕 x b b a 0 旋转所成旋转体 解 的体积 a a a a dyyabdyyabV 222222 22 0 22 28 badyyab a 17 设有一截锥体 其高为 h 上 下底均为椭圆 椭圆的轴 2a 2b 和 2A 求这截锥体的体积 解 建立坐标系如图 过 y 轴上 y 点作垂直于 y 轴的平面 则 易得其 长分别为2B 平面与截锥体的截面为椭圆 长短半轴分别为 y h aA A y h bB B 积为 y截面的面 hh B By aA A b 于是截锥体的体积为 w w w k h d a w c o m 课后答案网 2 6 1 bV h 0 ABahdyy h bB By h aA A 计算底面是半径为 R 的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角 x 且垂直于 x 件知 它是边长为 bAaB 18 形的立体体积 解 设过点轴的截面面积为 A x 由已知条 xR 2 的等边三角形的面积 其值为 3 22 xRxA 322 3 34 3RdxxRV R R 所以 a 如图 在 x 处取一宽为 dx 的边梯形 小曲边梯形绕 y 积近似为 2 x f x dx 这就是体积元素 即 dV 2 x f x dx y 轴旋转所成的旋转体的体积为 b a b dxxxfdxxxfV 2 2 用题 19 和结论 计算曲线 y sin x 0 x 和 x 轴所围 成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积 解 19 证明 由平面图形 0 a x b 0 y f x 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为 b dxxxfV 2 证明 小曲轴旋转所得的旋转体的体 于是平面图形绕 a 20 利 2 0 00 2 sincos 2cos2sin2 xxxxxdxdxxV y ln x 上相应于83 21 计算曲线x的一段弧的长度 解 8 2 8 3 8 x 3 2 3 2 1 1 1 1dx x x dxdxxys t1 2 tx x 2 1 即 则 令 2 3 ln 2 1 1 1 1 1 11 3 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 2 ts dt t dtd t t dt t t t t w w w k h d a w c o m 课后答案网 3 x 22 计算曲线 3 弧的长度 x y 上相应于 1 x 3 的一段 解 xxxy 3 1 xy 2 x 1 2 1 x x y 4 11 2 2 1 4 1 2 xy 1 2 1 x 为 所求弧长 3 4 32 2 3 2 2 1 1 2 1 3 1 3 1 xxxdx x xs 23 计算半立方抛物线被抛物线 3 2 x y 32 1 3 2 xy截得的一段弧的长度 解 由 3 1 3 2 2 32 x y xy 得两曲线的交点的坐标为 3 6 2 3 6 2 所求弧长为 2 1 2 12dxys 因为 2 y x y 2 1 1 2 3 1 1 3 4 2 1 2 y yx 3 2 1 2 4 2 y x y 所以 x x x 1 2 5 9 8 1 1 x3 13 23 2 2 3 12 2 3 2 1 2 1 dxdxxs 抛物线y2 2px 从顶点到这曲线上的一点M x y 的弧长 24 计算 yyy dys yp p dy p y dyyx 0 22 0 2 0 2 1 1 1 解 w w w k h d a w c o m 课后答案网 y ypyp p 2222 2 y py 0 2 ln 2 1 p2 ypyp yp p y 22 22 ln 2 25 计算星形线tax 3 cos 的全长 解 用参数方程的弧长公式 tay 3 sin dttytxs 2 0 22 4 2 0 2222 cossin3 sin cos3 4 dtttatta atdtt6cossin12 2 0 26 将绕在圆 半径为 a 上的细线放开拉直 使细线与圆周始终相切 细线端点画出的轨 迹叫做圆的渐伸线 它的方程为 sin costttax cos sintttay 计算这曲线上相应于 t 从 0 变到 的一段弧的长度 解 由参数方程弧长公式 0 22 0 22 sin cos dttattatdttytxs 0 2 2 a tdta cos t 上求分摆线第一拱成 1 3 解 设t从 0 变化到t0时摆线第一拱上对应的弧长为s t0 则 27 在摆线 x a t sin t y a 1 的点的坐标 00 0 22 0 22 0 sin cos1 t tt dttatadtytxts 2 cos1 4 2 sin2 0 0 0t adt t a t 当t0 2 时 得第一拱弧长s 2 8a 为求分摆线第一拱为 1 3 的点为A x y 令 w w w k h d a w c o m 课后答案网 a t a2 2 cos1 4 0 3 2 解得 0 t 因而分点的坐标为 aax 32 2 sin 2 横坐标 23 纵坐标 33 aay 2 3 3 2 cos1 故所求分点的坐标为 2 3 2 3 3 2 aa a e 相应于自 0 到的一段弧长 28 求对数螺线 解 用极坐标的弧长公式 daeed aa 0 22 0 22 s 1 1 1 2 0 2 aa e a a dea 29线1 相应于自 求曲 4 3 至 3 4 的一段弧长 极坐标公式可得所求的弧长 解 按 3 4 4 3 2 2 23 4 4 3 22 1 1 dds 2 3 ln 12 5 1 1 3 4 4 3 2 2 d 30 求心形线 a 1 cos 的全长 解 用极坐标的弧长公式 daads 2 0 222 0 22 sin cos1 2 ada8 2 0 cos4 w w w k h d a w c o m 课后答案网 习题 6 3 1 由实验知道 弹簧在拉伸过程中 需要的力 F 单位 N 与伸长量 s 单位 cm 成正比 即 F ks k 为比例常数 如果把弹簧由原长拉伸 6cm 计算所作的功 解 将弹簧一端固定于 A 另一端在自由长度时的点 O 为坐标原点 建立坐标系 功元 素为 dW ksds 所求功为 18 2 1 6 0 2 6 0 skksdsWk 牛 厘米 2 直径为 20cm 高 80cm的圆柱体内充满压强为 10N cm2的蒸汽 设温度保持不变 要 使蒸汽体积缩小一半 问需要作多少功 解 由玻 马定律知 80000 8010 10 2 kPV 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变 高度减小x厘米时压强 为P x 牛 厘米2 则 80000 80 10 2 xxP 80 800 xP 功元素为dxxPdW 10 2 所求功为 2ln800 80 1 80000 80 800 10 40 0 40 0 2 dxdxW J 3 1 证明 把质量为 m 的物体从地球表面升高到 h 处所作的功是 hR mgRh W 其中 g 是地面上的重力加速度 R 是地球的半径 2 一颗人造地球卫星的质量为 173kg 在高于地面 630km处进入轨道 问把这颗卫星 从地面送到 630 的高空处 克服地球引力要作多少功 已知g 9 8m s2 地球半径 R 6370km 证明 1 取地球中心为坐标原点 把质量为 m 的物体升高的功元素为 dy y kMm dW 2 所求的功为 2 hRR mMh kdy y kMm W hR R w w w k h d a w c o m 课后答案网 2 5 33 324 11 1075 9 10 6306370 106370 106301098 5173 1067 6 W kJ 4 一物体按规律 3 ctx 作直线运动 媒质的阻力与速度的平方成正比 计算物体由 x 0 移至 x a 时 克服媒质阻力所作的功 解 因为 3 ctx 所以 2 3 cxtxv 阻力 422 9tkckvf 而 3 2 c x t 所以 3 4 3 2 3 4 2 9 9 xkc c x kcxf 功元素 dW f x dx 所求之功为 3 7 3 2 0 3 4 3 2 0 3 4 3 2 0 7 27 99 akcdxxkcdxxkcdxxfW aaa 5 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比 在 击第一次时 将铁钉击入木板 1cm 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等 问锤击第二次 时 铁钉又击入多少 解 设锤击第二次时铁钉又击入 hcm 因木板对铁钉的阻力 f 与铁钉击入木板的深度 x cm 成正比 即 f kx 功元素 dW f dx kxdx 击第一次作功为 kkxdxW 2 1 1 0 1 击第二次作功为 2 2 1 2 1 1 2 hhkkxdxW h 因为 所以有 21 WW 2 2 1 2 1 2 hhkk 解得12 h cm 6 设一锥形贮水池 深15m 口径20m 盛满水 今以唧筒将水吸尽 问要作多少功 w w w k h d a w c o m 课后答案网 解 在水深 x 处 水平截面半径为xr 3 2 10 功元素为 dxxxdxrxdW 22 3 2 10 所求功为 15 0 2 3 2 10 dxxxW 15 0 32 9 4 40100 dxxxx 1875 吨米 57785 7 kJ 7 有一闸门 它的形状和尺寸如图 水面超过门顶 2m 求闸门上所受的水压力 解 建立 x 轴 方向向下 原点在水面 水压力元素为 xdxdxxdP221 闸门上所受的水压力为 212 5 2 2 5 2 xxdxP 吨 205 8 kN 8 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体 尺寸如图所示 当 水箱装满水时 计算水箱的一个端面所受的压力 解 建立坐标系如图 则椭圆的方程为 1 1 4 3 4 3 2 2 2 2 y x 压力元素为 dxxxdxxyxdP 22 4 3 4 3 3 8 21 所求压力为 2 2 2 3 0 22 cos 4 3 cos 4 3 sin1 4 3 3 8 4 3 4 3 3 8 tdxttdxxxP w w w k h d a w c o m 课后答案网 16 9 cos 4 9 2 0 2 tdx 吨 17 3 kN 提示 积分中所作的变换为txsin 4 3 4 3 9 有一等腰梯形闸门 它的两条底边各长10m和6m 高为20m 较长的底边与水面相 齐 计算闸门的一侧所受的水压力 解 建立坐标系如图 直线 AB 的方程为 xy 10 1 5 压力元素为 dxxxdxxyxdP 5 1 10 21 所求压力为 1467 5 1 10 20 0 dxxxP 吨 14388 千牛 10 一底为 8cm 高为 6cm 的等腰三角形片 铅直地沉没在水中 顶在上 底在下且与 水面平行 而顶离水面 3cm 试求它每面所受的压力 解 建立坐标系如图 腰 AC 的方程为xy 3 2 压力元素为 dxxxdxxxdP 3 3 4 3 2 2 3 所求压力为 168 2 3 3 1 3 4 3 3 4 6 0 23 6 0 xxdxxxP 克 1 65 牛 11 设有一长度为 l 线密度为 的均匀细直棒 在与棒的一端垂直距离为 a 单位处有 一质量为 m 的质点 M 试求这细棒对质点 M 的引力 解 建立坐标系如图 在细直棒上取一小段dy 引力元素 为 w w w k h d a w c o m 课后答案网 dy ya Gm ya dym GdF 2222 dF 在 x 轴方向和 y 轴方向上的分力分别为 dF r a dFx dF r y dFy 22 0 2222 0 22 1 laa lGm dy yaya aGmdy ya Gm r a F ll x 11 1 22 0 2222 0 22 laa Gmdy yaya Gmdy ya Gm r y F ll y 12 设有一半径为 R 中心角为 的圆弧形细棒 其线密度为常数 在圆心处有一 质量为 m 的质点 F 试求这细棒对质点 M 的引力 解 根据对称性 Fy 0 cos 2 R dsmG dFx d R Gm R RdGm coscos 2 d R Gm Fx 2 2 cos 2 sin 2 cos 2 2 0 R Gm d R Gm 引力的大小为 2 sin 2 R Gm 方向自 M 点起指向圆弧中点 w w w k h d a w c o m 课后答案网 总 习 题 六 1 一金属棒长 3m 离棒左端 xm 处的线密度为 1 1 x x kg m 问 x 为何值时 0 x 一段的质量为全棒质量的一半 解 x 应满足 3 00 1 1 2 1 1 1 dt t dt t x 因为212 12 1 1 0 0 xtdt t x x 1 12 2 1 1 1 2 1 3 0 3 0 tdt t 所以 1212 x 4 5 x m 2 求由曲线 asin a cos sin a 0 所围图形公共部分的面积 解 4 3 2 222 sin cos 2 1 2 2 1 da a S 24 3 2 22 4 1 2sin1 28 ad aa 3 设抛物线cbxaxy 2 通过点 0 0 且当 x 0 1 时 y 0 试确定 a b c 的值 使得抛物线 与直线 x 1 y 0 所围图形的面积为cbxaxy 2 9 4 且使该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积最小 ycbxax 解 因为抛物线 2 y 通过点 0 0 所以 c 0 从而 bxax 2 bxaxy 2 与直线 x 1 y 0 所围图形的面积为 抛物线 w w w k h d a w c o m 课后答案网 23 1 0 2 ba dxbxaxS 令 9 4 23 ba 得 9 68a b 该图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为 235 22 1 0 22 abba dxbxaxV 9 68 2 9 68 3 1 5 2 2 aaaa 令0 128 18 1 81 86 3 12 5 2 a aa d dV 得 3 5 a 于是 b 2 4 求由曲线 2 3 xy 与直线 x 4 x 轴所围图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 解 所求旋转体的体积为 7 512 7 2 22 4 0 2 7 4 0 2 3 xdxxxV 5 求圆盘1 2 22 yx绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积 解 2 122 3 1 2 dxxxV 2