经济决策课件系列 第七章 马尔可夫预测法.ppt

第七章马尔可夫预测法 1 基本概念与基本理论 一 马尔可夫过程 当随机过程在tK所处的状态为已知条件时 过程在时刻t tK所处的状态仅与tK时的状态有关 而与tK以前的状态无关 这种随机过程为马尔可夫过程 用分布函数来描述 若在条件Y ti Yi i 1 2 n 下的Yn的分布函数恰好等于条件Y tn 1 Yn 1下的分布函数 即 F Yn tn Yn 1Yn 2 Y1 tn 1tn 2 t1 F Yn tn Yn 1 tn 1 则称Y t 为马尔可夫过程 马尔可夫链 离散化的马尔可夫过程就是马尔可夫链 它具有无后效性的特征 即它在将来取什么值只与它现在的取值有关 而与它过去取什么值无关 二 状态概率向量 设马尔可夫链在tK时取状态E1E2 En的概率分别为p1p2 pn而0 Pi 1 则向量 P1P2 Pn 称为tK时的状态概率向量 三 状态转移概率 设系统可能出现N个状态E1E2 En 则系统由tK时刻从Ei转移到状态tk 1时刻的概率就称为从i到j的转移概率 也称一步转移概率 记为 四 状态转移概率矩阵 在一定条件下 系统只能在可能出现的状态E1E2 En中转移 系统所有状态之间转移的可能性用P表示 定义P为状态 转移概率矩阵 3 定理1 设马尔可夫链在初始状态的 一步 转移概率矩阵为p 1 p则由初始状态经过n个时间间隔 n步 转移到新的状态的转移概率为 即n步转移概率等于一步转移矩阵的n次方 定理2 若记Pn的元素为Pij n 则有 系统处在j状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关 例已知市场上有A B C三种牌子的洗衣粉 上月的市场占有分布为 0 30 40 3 且已知转移概率矩阵为 试求本月份和下月份的市场占有率 解 1 求本月份市场占有率 2 求下月份市场占有率 计算结果说明 在顾客 或用户 购买偏好改变不大情况下 下个月A牌洗衣粉市场占有率22 5 B牌洗衣粉市场占有率为34 7 C牌洗衣粉的市场占有率为42 8 例设东南亚各国主要行销我国大陆 日本 香港三个产地的味精 对目前市场占有情况的抽样调查表明 购买中国大陆味精的顾客占40 购买日本 香港味精的顾客占30 顾客流动转移情况如下表所列 试预测第4个月味精市场占有率和预测长期的市场占有率 解 1 预测第4个月的市场占有率 即求三步转移后的市场占有率 已知S0 0 40 30 3 及转移概率矩阵P为 三步转移概率矩阵为 于是 4个月市场占有率为 即预测第4个月 中国大陆味精的市场占有份额为50 08 日本 香港各为24 96 2 预测长期的市场占有率 由定义4知 本例的一步转移概率矩阵P是标准概率矩阵 所以 长期的市场占有率将趋向稳定状态 设 a x1x2x3 根据标准概率矩阵的性质 有aP 即 又有x1 x2 x3 1 于是得线性方程组 解之得 x1 0 5x2 0 25x3 0 25于是 终极用户点有率为 中国大陆产的味精占50 日本 香港产的味精均各占25 例 某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下 商品销售量统计表单位 千件 试预测第21月的商品销售量 解 依上述步骤1 划分状态接盈利状况为标准选取 1 销售量 60千件属滞销 2 60千件 销售量 100千件属一般 3 销售量 100千件属畅销 2 计算初始概率P 为了使问题更为直观 绘制销售量散点图 并画出状态分界线 如图所示 销售量散点图 由图可算出处于滞销状态的有M1 7一般状态的有M2 5畅销状态的有M3 8 3 计算状态转移概率矩阵在算转移概率时 最后一个数据不参加计算 因为它究竟转到哪个状态尚不清楚 由上图可得 M11 3M12 4M13 0M22 1转22 3M31 2M32 0M33 5从而 所以 4 预测第