2019_2020学年高中数学课时分层作业9渐开线与摆线（含解析）新人教A版选修4_4.docx

课时分层作业(九)(建议用时：45分钟)基础达标练一、选择题1已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是()AB2C3D4解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2，故选B.答案B2给出下列说法：圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点其中正确的说法有()A BC D解析错，正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置故错误，故选C.答案C3当2时，圆的渐开线上的点是()A(6,0)B(6,6)C(6，12) D(，12)解析当2时，代入圆的渐开线方程x6(cos 22sin 2)6，y6(sin 22cos 2)12.答案C4已知一个圆的参数方程为(为参数)，那么圆的摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为()A.1 B.C. D.解析根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(为参数)，把代入参数方程中可得即A，|AB|.答案C5已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为()A. B.C. D.解析圆的摆线的参数方程为令r(1cos )0，得：2k，代入xr(sin )得：xr(2ksin 2k)，又过(1,0)r(2ksin 2k)1，r.又r0，kN.答案A二、填空题6已知圆的方程为x2y24，点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为_解析由题意，圆的半径r2，其渐开线的参数方程为(为参数)当时，x，y2，故点P的坐标为P(，2)答案(，2)7已知平摆线的方程为(为参数)，则该平摆线的拱高是_，周期是_解析由已知方程可化为知基圆半径为r1，拱高为2r2，周期为2.答案228渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为_解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r6，其方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2y236，整理可得1，这是一个焦点在x轴上的椭圆c6，故焦点坐标为(6，0)和(6，0)答案(6，0)和(6，0)三、解答题9已知圆C的参数方程是(为参数)和直线l对应的普通方程是xy60.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？(2)写出平移后圆的渐开线方程解(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是(为参数)10有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程解因为基圆的直径为22 mm，所以基圆的半径为11 mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为(为参数)能力提升练1如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中、的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是()A3 B4C5 D6解析根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2，所以曲线AEFGH的长是5.答案C2我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_解析关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于yx对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换答案(为参数)3已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，得x，y，由此可得对应的坐标为.答案24如图，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，