江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第3讲 直接证明与间接证明课件.ppt

第3讲直接证明与间接证明 知识梳理1 直接证明 1 综合法定义 从命题的条件出发 利用 通过演绎推理 一步一步地接近要证明的结论 直到完成命题的证明 这样的思维方法称为综合法 其中p表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 q表示要证的结论 定义 公理 定理及运算法则 3 分析法定义 从求证的结论出发 一步一步地探索 直到归结为这个命题的条件 或者归结为定义 公理 定理等 这样的思维方法称为分析法 保证前一个结论成立的 充分条件 2 间接证明 1 反证法定义 在证明数学命题时 要证明的结论要么正确 要么错误 二者必居其一 我们可以先假定命题结论的反面成立 在这个前提下 若推出的结果与定义 公理 定理相矛盾 或与命题中的已知条件相矛盾 或与假定相矛盾 从而说明命题结论的反面不可能成立 由此断定命题的结论成立 这种证明方法叫作反证法 2 反证法的证题步骤是 作出否定结论的假设 进行推理 导出矛盾 否定假设 肯定结论 辨析感悟对三种证明方法的认识 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 2 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 3 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 感悟 提升 两点提醒一是分析法是 执果索因 特点是从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是寻找使结论成立的充分条件 如 1 二是应用反证法证题时必须先否定结论 把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推理 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 所谓矛盾主要指 与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定义 公理 定理矛盾 与公认的简单事实矛盾 自相矛盾 考点一综合法的应用 例1 2013 新课标全国 卷 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 规律方法综合法往往以分析法为基础 是分析法的逆过程 但更要注意从有关不等式的定理 结论或题设条件出发 根据不等式的性质推导证明 审题路线从结论出发 观察不等式两边的符号 移项 把不等式两边都变为正项 平方 移项整理 平方 移项整理可得显然成立的结论 规律方法 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法证明这个中间结论 从而使原命题得证 证明 m 0 1 m 0 所以要证原不等式成立 只需证 a mb 2 1 m a2 mb2 即证m a2 2ab b2 0 即证 a b 2 0 而 a b 2 0显然成立 故原不等式得证 规律方法用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实矛盾等 且推导出的矛盾必须是明显的 训练3 已知a 1 求证三个方程 x2 4ax 4a 3 0 x2 a 1 x a2 0 x2 2ax 2a 0中至少有一个方程有实数根 1 分析法的特点 从未知看需知 逐步靠拢已知 2 综合法的特点 从已知看可知 逐步推出未知 3 分析法和综合法各有优缺点 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题的思路和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后再用综合法叙述出来 4 利用反证法证明数学问题时 要假设结论错误 并用假设的命题进行推理 没有用假设命题推理而推出矛盾结果 其推理过程是错误的 答题模板13 反证法在证明题中的应用 所以四边形oabc不是菱形 与假设矛盾 所以当点b不是w的顶点时 四边形oabc不可能为菱形 14分 反思感悟 1 掌握反证法的证明思路及证题步骤 明确作假设是反证法的基础 应用假设是反证法的基本手段 得到矛盾是反证法的目的 2 当证明的结论和条件联系不明显 直接证明不清晰或正面证明分类较多 而反面情况只有一种或较少时 常采用反证法 3 利用反证法证明时 一定要回到结论上去 答题模板用反证法证明数学命题的答题模板 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相矛盾的假定綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因 在于所作的假设綈q不真 于是原结论q成立