高中数学 242抛物线的几何性质课件 苏教版选修21.ppt

课标要求 1 掌握抛物线的简单性质 2 会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 核心扫描 1 探求抛物线的简单性质 重点 2 用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题 难点 2 4 2抛物线的几何性质 抛物线的几何性质以抛物线y2 2px p 0 为例研究其几何性质 1 范围 抛物线上的点 x y 的横坐标x的取值范围是 抛物线在y轴的 侧 抛物线向 和 无限延伸 2 对称性 抛物线y2 2px p 0 关于 轴对称 抛物线的对称轴也叫抛物线的 自学导引 x 0 右 右上方 右下方 x 轴 3 顶点 抛物线和它对称轴的交点叫抛物线的 y2 2px p 0 的顶点就是坐标原点 4 离心率 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线距离的比叫抛物线的 其值为 5 通径 在抛物线y2 2px p 0 中 通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为与 连结这两点的线段叫抛物线的 它的长为 顶点 离心率 1 通径 2p 想一想 1 抛物线y2 2px p 0 中p的几何意义是什么 提示p是焦点到准线的距离 2 抛物线y2 2px p 0 中的开口大小与p值有何关系 提示p值越大 开口越大 如何确定抛物线的焦点位置和开口方向 一次项变量为x 或y 则焦点在x轴 或y轴 上 若系数为正 则焦点在正半轴上 系数为负 则焦点在负半轴上 焦点确定 开口方向也随之确定 四种位置的抛物线标准方程的对比 1 共同点 原点在抛物线上 焦点在坐标轴上 名师点睛 2 不同点 焦点在x轴上时 方程的右端为 2px 左端为y2 焦点在y轴上时 方程的右端为 2py 左端为x2 开口方向与x轴 或y轴 的正半轴相同 焦点在x轴 或y轴 正半轴上 方程右端取正号 开口方向与x轴 或y轴 的负半轴相同 焦点在x轴 或y轴 负半轴上 方程右端取负号 题型一由抛物线性质求方程 已知抛物线的对称轴在坐标轴上 以原点为顶点 且经过点m 1 2 求抛物线方程 思路探索 由于抛物线的开口方向和对称轴都不确定可设其方程为y2 mx和x2 ny两种情况进行讨论 解 1 当抛物线的焦点在x轴上时 设其方程为y2 mx 将m 1 2 代入 得m 4 2 当抛物线的焦点在y轴上时 设其方程为x2 ny 例1 规律方法利用抛物线性质求抛物线的标准方程仍然是用待定系数法求解 不同的地方是 题目需要利用抛物线的性质来叙述有关条件而已 只要我们熟练地掌握了这些性质 也就能顺利地解题 设抛物线y2 mx的准线与直线x 1的距离为3 求抛物线的方程 变式1 在抛物线x2 y 0上求一点p 使点p到焦点f的距离与到点a 1 2 的距离之和最小 思路探索 据抛物线的定义 抛物线上的点p到焦点f的距离可转化为到准线的距离 再充分利用图形的形象直观分析求解 解x 1则y 1 1 2 2 则a点在抛物线的内部 如图 设m是抛物线上任意一点 l为抛物线的准线 作mm1 l 垂足为m1 作aa1 l 垂足为a1 且交抛物线于点p 题型二求与抛物线有关的最值问题 例2 因为ma mf ma mm1 aa1 pa1 pa pf pa 所以点p即为所求 将x 1代入抛物线方程 得y 1 故所求点的坐标为 1 1 规律方法本题充分体现了定义及数学中转化思想在解题时的作用 本题如果设p点的坐标为 x y 利用两点间的距离公式求解 无法得到答案 由抛物线定义可知 pf等于p点到准线的距离 故当p a a1三点共线时 pa pf最小 已知抛物线x2 4y 点p是此抛物线上一动点 点a坐标为 12 6 求点p到点a的距离与到x轴距离之和的最小值 变式2 解如图所示 将x 12代入x2 4y 得y 36 6 所以a点在抛物线外部 抛物线焦点f 0 1 准线l y 1 过p作pb l于点b 交x轴于点c 则 pa pc pa pb 1 pa pf 1 由图可知 当a p f三点共线时 pa pf 最小 pa pf 的最小值为 fa 13 故 pa pc 的最小值为12 14分 一颗彗星沿一条以地球为焦点的抛物线轨道运行 设彗星 地球都是质点 当彗星离地球d万公里时 经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为30 求此彗星运行时离地球最短的距离 审题指导本题考查抛物线的实际应用以及建系 用代数方法解决问题的所有几何思想方法 规范解答 以抛物线的顶点为原点 顶点与焦点的连线为x轴 建立直角坐标系 2分 题型三抛物线的实际应用 例3 题后反思 解决抛物线的实际应用问题 首先要确定问题中是否建立了抛物线的模型 若没有 则应充分利用抛物线的定义建立抛物线模型 利用抛物线的知识分析解决问题 对于建立抛物线模型问题 要利用抛物线知识解题 首先要分析问题中是否已经建立了直角坐标系 若没有 则应先建系 再求解 只有建立直角坐标系 才能利用代数方法解决有关问题 如图 汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分 灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直 灯泡位于抛物线焦点处 已知灯口的直径是24cm 灯深10cm 那么灯泡与反射镜的顶点 即截得抛物线的顶点 距离是多少 变式3 解取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴 抛物线的顶点为坐标原点 建立直角坐标系xoy 如图 因为灯口直径ab 24cm 灯深op 10cm 所以点a的坐标是 10 12 设抛物线的方程为y2 2px p 0 因为点a 10 12 在抛物线上 得122 2p 10 所以p 7 2 抛物线焦点f的坐标为 3 6 0 因此 灯泡与反射镜顶点的距离是3 6cm 如图 ab是抛物线y2 2px p 0 过焦点f的一条弦 设a x1 y1 b x2 y2 ab的中点m x0 y0 过a m b分别向抛物线的准线l作垂线 垂足分别为a1 m1 b1 则根据抛物线的定义 有af aa1 bf bb1 故ab af bf aa1 bb1 又mm1是梯形aa1b1b的中位线 ab aa1 bb1 2mm1 故有下列结论 方法技巧抛物线的焦点弦 上述性质 5 推导如下 如图所示 设aa2 x轴于a2 bb2 x轴于b2 则由抛物线的定义可知 af aa1 a2n a2f p p af cos 1 如图 1 设抛物线的焦点为f ab为过f的弦 l为准线 aa1 l于a1 bb1 l于b1 m为a1b1的中点 求证 mf ab 2 已知抛物线y2 2px p 0 的一条焦点弦ab被焦点f分成m n两部分 求证 为定值 示例 图 1 图 2 思路分析 解决抛物线的焦点弦问题 要注意抛物线的定义的运用 充分利用图