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自主探究利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意什么 提示 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 不符合实际意义的值应舍去 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 3 在解决实际优化问题中 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中自变量的定义区间 3 如图所示 某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场 一边可以利用原有的墙壁 其他三边需要砌新的墙壁 当砌壁所用的材料最省时 堆料场的长和宽分别为 4 用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架 如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3 4 那么容器容积最大时 高为 m 注意 1 求实际问题的最值时 一定要考虑问题的实际意义 不符合实际意义的理论值要舍去 2 在实际问题中 若在函数的定义域内 使f x 0成立的值只有一个 且函数在这一点处取得极大 小 值 则不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 题型一容积 或面积 最大问题 例1 在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去边长相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱子的容积最大 最大容积是多少 题型二时间 费用最省问题 例2 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经测算 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 当x 20时y有最小值 即轮船以20km h的速度航行时 能使每千米的费用总和最小 答案20 题型三利润最大问题 例3 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x 单位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 一星期多卖出
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