2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算讲义苏教版.docx

3.2.3空间的角的计算学 习 目 标核 心 素 养1.理解空间三种角的概念，能用向量方法求线线、线面、面面的夹角(重点、难点)2.二面角的求法(难点)3.空间三种角的范围(易错点)1.通过求平面的法向量，培养数学运算素养2.借助空间角的求解，提升逻辑推理素养.空间角的向量求法(1)两条异面直线所成角的向量求法若异面直线l1，l2的方向向量分别为a，b，l1，l2所成的角为，则cos |cosa，b|.(2)直线和平面所成角的向量求法设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，a与n的夹角为1，l与所成的角为2，则sin 2|cos_1|.(1)(2)(3)二面角的向量求法设二面角l的大小为，的法向量分别为n1，n2，则|cos |cosn1，n2|，取锐角还是钝角由图形确定思考：(1)直线与平面所成的角和直线的方向向量与平面的法向量所成的角有怎样的关系？(2)二面角与二面角的两个半平面的法向量所成的角有怎样的关系？提示(1)设n为平面的一个法向量，a为直线a的方向向量，直线a与平面所成的角为，则(2)条件平面，的法向量分别为，所构成的二面角的大小为，u，图形关系计算cos cos cos cos 1已知向量m，n分别是直线l与平面的方向向量、法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30B60C150D120B设l与所成的角为，则sin |cosm，n|，60，应选B.2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角为_30由题意得，直线l与平面的法向量所在直线的夹角为60，直线l与平面所成的角为906030.3长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AC与BC1所成角的余弦值为_如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，C1(1,1,3)(1,1,0)，(0,1,3)，cos，.综上，异面直线AC与BC1所成角的余弦值为.4已知二面角l，的法向量为n(1,2，1)，的法向量为m(1，3,1)，若二面角l为锐角，则其余弦值为_cosn，m.又因二面角为锐角，所以余弦值为.求两条异面直线所成的角【例1】如图，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90，且OBOO12，OA，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)|cos，|.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.1几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可2由于两异面直线夹角的范围是，而两向量夹角的范围是0，故应有cos |cos |，求解时要特别注意1已知四棱锥SABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为()A.B.C.D.C依题意，建立坐标系如图所示，设四棱锥SABCD的棱长为，则A(0，1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(1,0,0)，E点坐标为，(1,0，1)，cos，故异面直线所成角的余弦值为.故选C.求直线与平面所成的角【例2】如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值思路探究(1)线面平行的判定定理MN平面PAB.(2)利用空间向量计算平面PMN与AN方向向量的夹角直线AN与平面PMN所成角的正弦值解(1)证明：由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n(0,2,1)于是|cosn，|.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.若直线l与平面的夹角为，利用法向量计算的步骤如下：2.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD.所以ABPD.又因为PAPD，所以PD平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0，0,1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cosn，.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1使得.因此点M(0,1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD当且仅当n0，即(1，)(1，2,2)0.解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.求二面角探究问题1建立空间直角坐标系时，如何寻找共点的两两垂直的三条直线？提示：应充分利用题目给出的条件，如线面垂直，面面垂直，等腰三角形等，作出适当的辅助线然后证明它们两两垂直，再建系2如何确定二面角与两个平面的法向量所成角的大小关系？提示：法一：观察法，通过观察图形，观察二面角是大于，还是小于.法二：在二面角所含的区域内取一点P，平移两个平面的法向量，使它们的起点为P，然后观察法向量的方向，若两个法向量同时指向平面内侧或同时指向外侧，则二面角与法向量的夹角互补，若两个法向量方向相反，则二面角与法向量的夹角相等【例3】如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值思路探究(1)先证线面垂直，再证面面垂直；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解解(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.因为ABCD，所以ABPD.又APDPP，所以AB平面PAD.因为AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PFAD，垂足为点F.由(1)可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A，P，B，C，所以，(，0,0)，(0,1,0)设n(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即所以可取n(0，1，)设m(x2，y2，z2)是平面PAB的一个法向量，则即所以可取m(1,0,1)，则cosn，m.所以二面角APBC的余弦值为.利用向量法求二面角的步骤1建立空间直角坐标系；2分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；3求两个法向量的夹角；4判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；5确定二面角的大小3.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，所以CBP30.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量，由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量，由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.故所求的角为60.向量法求角(1)两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即cos |cos |.(2)直线与平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin |cos |或cos sin .(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等()(2)若向量n1，n2分别为二面角的两半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cosn1，n2.()(3)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角()(4)二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角相等或互补()答案(1)(2)(3)(4)2正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.B.C.D.B设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，令x1，n(1,1,1)，又(0,0,1)，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为.3已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_(1,2,0)，(1,0,3)，设平面ABC的一个法向量n(x，y，z)，由n0，n0，得令x2，则y1，z，n.平面xOy的一个法向量为(0,0,3)，cosn，.4.如图，在几何体ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BEAB2，CD1，点