人教a版高中数学必修5全册同步测控知能训练题集含答案.doc

人教A高中数学必修5知能优化训练人教A高中数学必修5知能优化训练1在ABC中，A60，a4，b4，则()AB45或135BB135CB45 D以上答案都不对解析：选C.sin B，ab，B45.2ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c，b，B120，则a等于()A. B2C. D.解析：选D.由正弦定理sin C，于是C30A30ac.3在ABC中，若tan A，C150，BC1，则AB_.解析：在ABC中，若tan A，C150，A为锐角，sin A，BC1，则根据正弦定理知AB.答案：4已知ABC中，AD是BAC的平分线，交对边BC于D，求证：.证明：如图所示，设ADB，则ADC.在ABD中，由正弦定理得：，即；在ACD中，.由得，.一、选择题1在ABC中，a5，b3，C120，则sin Asin B的值是()A. B.C. D.解析：选A.根据正弦定理得.2在ABC中，若，则C的值为()A30 B45C60 D90解析：选B.，又由正弦定理.cos Csin C，即C45，故选B.3(2010年高考湖北卷)在ABC中，a15，b10，A60，则cos B()A B.C D.解析：选D.由正弦定理得，sin B.ab，A60，B为锐角cos B.4在ABC中，absin A，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选B.由题意有b，则sin B1，即角B为直角，故ABC是直角三角形5在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A，a，b1，则c()A1 B2C.1 D.解析：选B.由正弦定理，可得，sin B，故B30或150.由ab，得AB，B30.故C90，由勾股定理得c2.6(2011年天津质检)在ABC中，如果A60，c4，a4，则此三角形有()A两解 B一解C无解 D无穷多解解析：选B.因csin A24，且ac，故有唯一解二、填空题7在ABC中，已知BC，sin C2sin A，则AB_.解析：ABBC2BC2.答案：28在ABC中，B30，C120，则abc_.解析：A1803012030，由正弦定理得：abcsin Asin Bsin C11.答案：119(2010年高考北京卷)在ABC中，若b1，c，C，则a_.解析：由正弦定理，有，sin B.C为钝角，B必为锐角，B，A.ab1.答案：1三、解答题10在ABC中，已知sin Asin Bsin C456，且abc30，求a.解：sin Asin Bsin Cabc，abc456.a308.11在ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a5，b2，B120，解此三角形解：法一：根据正弦定理，得sin A1.所以A不存在，即此三角形无解法二：因为a5，b2，B120，所以AB120.所以AB240，这与ABC180矛盾所以此三角形无解法三：因为a5，b2，B120，所以asin B5sin 120，所以basin B又因为若三角形存在，则bsin Aasin B，得basin B，所以此三角形无解12在ABC中，acos(A)bcos(B)，判断ABC的形状解：法一：acos(A)bcos(B)，asin Absin B由正弦定理可得：ab，a2b2，ab，ABC为等腰三角形法二：acos(A)bcos(B)，asin Absin B由正弦定理可得：2Rsin2A2Rsin2B，即sin Asin B，AB.(AB不合题意舍去)故ABC为等腰三角形1在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c的值是()A8B2C6 D2解析：选D.根据余弦定理，c2a2b22abcos C1636246cos 12076，c2.2在ABC中，已知a2，b3，C120，则sin A的值为()A. B.C. D解析：选A.c2a2b22abcos C2232223cos 12019.c.由得sin A.3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为_解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为.答案：4在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状解：法一：根据余弦定理得b2a2c22accos B.B60，2bac，()2a2c22accos 60，整理得(ac)20，ac.ABC是正三角形法二：根据正弦定理，2bac可转化为2sin Bsin Asin C.又B60，AC120，C120A，2sin 60sin Asin(120A)，整理得sin(A30)1，A60，C60.ABC是正三角形课时训练一、选择题1在ABC中，符合余弦定理的是()Ac2a2b22abcos CBc2a2b22bccos ACb2a2c22bccos ADcos C解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题2(2011年合肥检测)在ABC中，若a10，b24，c26，则最大角的余弦值是()A.B.C0 D.解析：选C.cba，c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C0.3已知ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D不能确定解析：选B.4216223213，边长为4的边所对的角是钝角，ABC是钝角三角形4在ABC中，已知a2b2bcc2，则角A为()A. B.C. D.或解析：选C.由已知得b2c2a2bc，cos A，又0A，A，故选C.5在ABC中，下列关系式asin Bbsin Aabcos Cccos Ba2b2c22abcos Cbcsin Aasin C一定成立的有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选C.由正、余弦定理知一定成立对于由正弦定理知sin Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)，显然成立对于由正弦定理sin Bsin Csin Asin Asin C2sin Asin C，则不一定成立6在ABC中，已知b2ac且c2a，则cos B等于()A. B.C. D.解析：选B.b2ac，c2a，b22a2，cos B.二、填空题7在ABC中，若A120，AB5，BC7，则AC_.解析：由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA，即4925AC225AC()，AC25AC240.AC3或AC8(舍去)答案：38已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x23x20的根，则第三边长是_解析：解方程可得该夹角的余弦值为，由余弦定理得：425224521，第三边长是.答案：9在ABC中，若sin Asin Bsin C578，则B的大小是_解析：由正弦定理，得abcsin Asin Bsin C578.不妨设a5k，b7k，c8k，则cos B，B.答案：三、解答题10已知在ABC中，cos A，a4，b3，求角C.解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2b2c22bccos A，169c26c，整理得5c218c350.解得c5或c(舍)由余弦定理得cos C0，0C180，C90.11在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(abc)(sin Asin Bsin C)3asin B，求C的大小解：由题意可知，(abc)(abc)3ab，于是有a22abb2c23ab，即，所以cos C，所以C60.12在ABC中，basin C，cacos B，试判断ABC的形状解：由余弦定理知cos B，代入cacos B，得ca，c2b2a2，ABC是以A为直角的直角三角形又basin C，ba，bc，ABC也是等腰三角形综上所述，ABC是等腰直角三角形1某次测量中，若A在B的南偏东40，则B在A的()A北偏西40B北偏东50C北偏西50 D南偏西50答案：A2已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A、C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析：选D.由余弦定理可知：AC2AB2BC22ABBCcosABC.又AB10，BC20，ABC120，AC210220221020cos 120700.AC10.3在一座20 m高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为60，塔底的俯角为45，观测台底部与塔底在同一地平面，那么这座水塔的高度是_m.解析：h2020tan 6020(1) m.答案：20(1)4如图，一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15.求此时船与灯塔间的距离解：，且BAC30，AC60，ABC1803010545.BC30.即船与灯塔间的距离为30 km.一、选择题1在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60，C点的俯角为70，则BAC等于()A10 B50C120 D130解析：选D.如图，BAC等于A观察B点的仰角与观察C点的俯角和，即6070130.2一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120夹角的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h，该船的实际航程为()A2 km B6 kmC2 km D8 km解析：选B.v实2.实际航程26(km)故选B.3.如图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高度AB等于()A10 m B5 mC5(1) m D5(1) m解析：选D.在ADC中，AD10(1)(m)在RtABD中，ABADsin 305(1)(m)4(2011年无锡调研)我舰在敌岛A处南偏西50的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A28海里/小时 B14海里/小时C14 海里/小时 D20海里/小时解析：选B.如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，则在ABC中，AC10220(海里)，AB12海里，BAC120，BC2AB2AC22ABACcos 120784，BC28海里，v14海里/小时5台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区内的持续时间为()A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时解析：选B.设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得：(20t)2402220t40cos 45302.化简得：4t28t70，t1t22，t1t2.从而|t1t2|1.6要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45、30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是()A100米 B400米C200米 D500米解析：选D.由题意画出示意图，设高ABh，在RtABC中，由已知BCh，在RtABD中，由已知BDh，在BCD中，由余弦定理BD2BC2CD22BCCDcosBCD，得3h2h25002h500，解之得h500(米)，故选D.二、填空题7一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为_米答案：1058.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的_解析：由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而所求为北偏西10.答案：北偏西109海上一观测站测得方位角240的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里此时海盗船距观测站10 海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过_分钟，海盗船即可到达商船解析：如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20分钟后，海盗船到达D处，在ADC中，AC10，AD20，CD30，由余弦定理得cosADC.ACD60，在ABD中由已知得ABD30.BAD603030，BDAD20，60(分钟)答案：三、解答题10如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD1000米，ACB30，BCD30，BDA30，ADC60，求AB的长解：由题意知ACD为正三角形，所以ACCD1000米在BCD中，BDC90，所以BC米在ACB中，AB2AC2BC22ACBCcos 30100022100010002，所以AB米11如图，地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线AB，测得AB20 m，在A处测得点P的仰角为30，在B处测得点P的仰角为45，同时可测得AOB60，求旗杆的高度(结果保留1位小数)解：设旗杆的高度为h，由题意，知OAP30，OBP45.在RtAOP中，OAh.在RtBOP中，OBh.在AOB中，由余弦定理，得AB2OA2OB22OAOBcos 60，即202(h)2h22hh.解得h2176.4.h13(m)旗杆的高度约为13 m.12一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A处获悉后，即测出该商船在方位角为45距离10海里的C处，并沿方位角为105的方向，以9海里/时的速度航行“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程解：如图所示，若“黄山”舰以最少时间在B处追上商船，则A，B，C构成一个三角形设所需时间为t小时，则AB21t，BC9t.又已知AC10，依题意知，ACB120，根据余弦定理，AB2AC2BC22ACBCcosACB.(21t)2102(9t)22109tcos 120，(21t)210081t290t，即360t290t1000.t或t(舍)AB2114(海里)即“黄山”舰需要用小时靠近商船，共航行14海里1在ABC中，A60，AB1，AC2，则SABC的值为()A.B.C. D2解析：选B.SABCABACsin Asin 60.2已知ABC的面积为，且b2，c，则()AA30 BA60CA30或150 DA60或120解析：选D.Sbcsin A，2sin A.sin A.A60或120.3在ABC中，AC，AB，cos A，则SABC_.解析：在ABC中，cos A，sin A，SABCABACsin A.答案：4在ABC中，已知B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB.解：在ADC中，cos C.又0C180，sin C.在ABC中，AB AC7.一、选择题1在ABC中，a2b2c2bc，则角A为()A. B.C. D.或解析：选A.a2b2c2bc，cos A，即A.2在ABC，下列关系一定成立的是()Aabsin A Babsin ACabsin A Dabsin A解析：选D.由正弦定理知，sin Bsin A.又在ABC中，0sin B1，0sin A1，absin A故选D.3已知ABC的三个内角之比为ABC321，那么对应三边之比abc等于()A321 B.21C.1 D21解析：选D.由已知得A90，B60，C30.又由正弦定理得abcsin Asin Bsin C121.故选D.4在ABC中，已知b2bc2c20，且a，cos A，则ABC的面积等于()A. B.C2 D3解析：选A.b2bc2c20，(b2c)(bc)0.b2c.由a2b2c22bccos A，解得c2，b4，cos A，sin A，SABCbcsin A24.5三角形两边长之差为2，其夹角的余弦值为，面积为14，那么这个三角形的两边长分别是()A3和5 B4和6C6和8 D5和7解析：选D.设ab2，cos C，sin C.又SABCabsin C，ab35.由ab2和ab35，解得a7，b5.6在ABC中，a1，B45，SABC2，则此三角形的外接圆的半径R()A. B1C2 D.解析：选D.SABCacsin Bc2，c4.b2a2c22accos B132825，b5.R.二、填空题7在ABC中，已知a7，b5，c3，则ABC是_三角形解析：法一：725232，即a2b2c2，ABC是钝角三角形法二：cos A0，ABC是钝角三角形答案：钝角8(2011年江南十校联考)在ABC中，A30，AB2，BC1，则ABC的面积等于_解析：由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 30，AC22AC30.AC.SABCABACsin 302.答案：9在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积SABC，则边BC的长为_解析：由SABC，得ABACsin A，即2AC，AC1，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A22122213.BC.答案：三、解答题10在ABC中，已知a2bcos C，求证：ABC为等腰三角形证明：由余弦定理，得cos C.又cos C，.整理得b2c2.bc.ABC是等腰三角形11在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，又c，b4，且BC边上的高h2.(1)求角C；(2)求a边的长解：(1)由于ABC为锐角三角形，过A作ADBC于D点，sin C，则C60.(2)由余弦定理可知c2a2b22abcos C，则()2a2422a4，即a24a50.所以a5或a1(舍)因此a边的长为5.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos A，AA3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值解：(1)因为cos A，所以sin A.又由AA3，得bccos A3，所以bc5.因此SABCbcsin A2.(2)由(1)知，bc5，又bc6，所以b5，c1或b1，c5.由余弦定理，得a2b2c22bccos A20，所以a2.1数列1，是()A递增数列B递减数列C常数列 D摆动数列答案：B2已知数列an的通项公式an1(1)n1，则该数列的前4项依次是()A1,0,1,0 B0,1,0,1C.，0，0 D2,0,2,0答案：A3数列an的通项公式ancn，又知a2，a4，则a10_.答案：4已知数列an的通项公式an.(1)求a8、a10.(2)问：是不是它的项？若是，为第几项？解：(1)a8，a10.(2)令an，n2n20.解得n4.是数列的第4项一、选择题1已知数列an中，ann2n，则a3等于()A3 B9C12 D20答案：C2下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A1，B1，2，3，4，C1，D1，解析：选C.对于A，an，nN*，它是无穷递减数列；对于B，ann，nN*，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，an()n1，它是无穷递增数列3下列说法不正确的是()A根据通项公式可以求出数列的任何一项B任何数列都有通项公式C一个数列可能有几个不同形式的通项公式D有些数列可能不存在最大项解析：选B.不是所有的数列都有通项公式，如0,1,2,1,0，.4数列，的第10项是()A. B.C. D.解析：选C.由题意知数列的通项公式是an，a10.故选C.5已知非零数列an的递推公式为anan1(n1)，则a4()A3a1 B2a1C4a1 D1解析：选C.依次对递推公式中的n赋值，当n2时，a22a1；当n3时，a3a23a1；当n4时，a4a34a1.6(2011年浙江乐嘉调研)已知数列an满足a10，且an1an，则数列an是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列解析：选B.由a10，且an1an，则an0.又1，an10成立的最大正整数n的值为_解析：由an192n0，得n0，b0，c0.因为()0，所以.所以，不能成为等差数列11已知an是等差数列，且a1a2a312，a816.(1)求数列an的通项公式；(2)若从数列an中，依次取出第2项，第4项，第6项，第2n项，按原来顺序组成一个新数列bn，试求出bn的通项公式解：(1)a1a2a312，a24，a8a2(82)d，1646d，d2，ana2(n2)d4(n2)22n.(2)a24，a48，a816，a2n22n4n.当n1时，a2na2(n1)4n4(n1)4.bn是以4为首项，4为公差的等差数列bnb1(n1)d44(n1)4n.12某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月，求分期付款的第10个月应付多少钱？最后一次应付多少钱？解：购买时先付150万元，还欠款1000万元依题意知20次可付清设每次交付的欠款依次为a1，a2，a3，a20，构成数列an，则a15010000.0160；a250(100050)0.0159.5；a350(1000502)0.0159；an50100050(n1)0.0160(n1)(1n20)所以an是以60为首项， 为公差的等差数列则a1060955.5，a20601950.5，故第10个月应付55.5万元，最后一次应付50.5万元1若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为()A360B370C380 D390答案：C2已知a11，a86，则S8等于()A25 B26C27 D28答案：D3设等差数列an的前n项和为Sn，若a6S312，则an的通项an_.解析：由已知故an2n.答案：2n4在等差数列an中，已知a514，a720，求S5.解：d3，a1a54d14122，所以S540.一、选择题1(2011年杭州质检)等差数列an的前n项和为Sn，若a21，a33，则S4()A12 B10C8 D6解析：选C.da3a22，a11，S44a128.2在等差数列an中，a2a519，S540，则a10()A24 B27C29 D48解析：选C.由已知解得a1029329.3在等差数列an中，S10120，则a2a9()A12 B24C36 D48解析：选B.S105(a2a9)120.a2a924.4已知等差数列an的公差为1，且a1a2a98a9999，则a3a6a9a96a99()A99 B66C33 D0解析：选B.由a1a2a98a9999，得99a199.a148，a3a12d46.又a3n是以a3为首项，以3为公差的等差数列a3a6a9a9933a3333(4846)66.5若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有()A13项 B12项C11项 D10项解析：选A.a1a2a334，anan1an2146，又a1ana2an1a3an2，得3(a1an)180，a1an60.Sn390.将代入中得n13.6在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于()A9 B10C11 D12解析：选B.由等差数列前n项和的性质知，即，n10.二、填空题7设数列an的首项a17，且满足an1an2(nN*)，则a1a2a17_.解析：由题意得an1an2，an是一个首项a17，公差d2的等差数列a1a2a17S1717(7)2153.答案：1538已知an是等差数列，a4a66，其前5项和S510，则其公差为d_.解析：a4a6a13da15d6.S55a15(51)d10.由得a11，d.答案：9设Sn是等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.解析：由等差数列的性质知S99a59，a51.又a5a12a1a169，S168(a1a16)72.答案：72三、解