高三数学一轮复习 第10篇 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理.ppt

第十篇计数原理 概率 随机变量及其分布 必修3 选修2 3 第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 编写意图分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合的基础 是高考常考的内容 但独立考查两个计数原理的题目出现的较少 重点考查的是两个计数原理的综合应用 有时会利用分类讨论思想进行讨论求解 多以选择题 填空题的形式出现 题目难度不大 属中低档题 本节围绕高考命题的规律进行设点选题 重点突出两个计数原理的理解与应用上 难点突破两个计数原理在涂色问题中的应用 转化与化归思想及分类讨论思想的应用 多维审题栏目突破了应用两个计数原理解决涂色问题 一题多解 凸显了思维的灵活性 考点突破 多维审题 夯基固本 夯基固本抓主干固双基 知识梳理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 质疑探究 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理 提示 如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事 用分类加法计数原理 如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分 用分步乘法计数原理 基础自测 1 从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会 则不同的选法种数为 a 6 b 5 c 3 d 2解析 完成这件事 即选出1人当主持人 可分选女主持人和男主持人两类进行 分别有3种选法和2种选法 所以共有3 2 5 种 不同的选法 2 4封不同的信投入3个不同的信箱中 所有投法的种数是 a 7 b 12 c 34 d 43解析 根据分步乘法计数原理4封不同的信投入3个不同的信箱共有3 3 3 3 34 种 投法 b c 3 将一个四面体abcd的六条棱上涂上红 黄 白三种颜色 要求共端点的棱不能涂相同颜色 则不同的涂色方案有 a 1种 b 3种 c 6种 d 9种解析 因为只有三种颜色 又要涂六条棱 所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色 故有3 2 1 6种涂色方案 4 从 1 2 3 4 5 中随机选取一个数为a 从 1 2 3 中随机选取一个数为b 则使得b a的不同取法共有种 解析 当a 1 2 3时 b的取法分别有2种 故此时使得b a的不同取法共有3 2 6 种 当a 4或5时 b的取法分别有3种 故此时使得b a的不同取法共有2 3 6 种 综上可得 使得b a的不同取法共有6 6 12 种 答案 12 c 考点突破剖典例找规律 考点一 分类加法计数原理 解析 1 对子集a分类讨论 当a是二元集 1 2 b可以为 1 2 3 4 1 2 4 1 2 3 1 2 共4种情况 当a是三元集 1 2 3 b可以取 1 2 4 1 2 共有2种情况 当a是三元集 1 2 4 b可以取 1 2 3 1 2 共有2种情况 当a是四元集 1 2 3 4 此时b取 1 2 有1种情况 根据分类加法计数原理得4 2 2 1 9种 故符合此条件的 理想配集 有9个 故选c 2 以m的值为标准分类 分为五类 第一类 m 1时 使n m n有6种选择 第二类 m 2时 使n m n有5种选择 第三类 m 3时 使n m n有4种选择 第四类 m 4时 使n m n有3种选择 第五类 m 5时 使n m n有2种选择 由分类加法计数原理 符合条件的椭圆共有20个 答案 1 c 2 20 解析 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆 则m n 0 以m的取值进行分类 当m 1时 n值不存在 当m 2时 n可取1 只有1种选择 当m 3时 n可取1 2 有2种选择 当m 4时 n可取1 2 3 有3种选择 当m 5时 n可取1 2 3 4 有4种选择 由分类加法计数原理可知 符合条件的椭圆共有10个 答案 10 反思归纳 1 运用分类加法计数原理解决问题就是将一个比较复杂的问题分解为若干个 类别 先分类解决 然后将其整合 如何合理进行分类是解决问题的关键 2 要准确把握分类加法计数原理的两个特点 根据问题的特点确定一个适合的分类标准 完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 考点二 分步乘法计数原理 例2 已知集合m 3 2 1 0 1 2 p a b a b m 表示平面上的点 则 1 p可表示平面上个不同的点 2 p可表示平面上个第二象限的点 解析 1 确定平面上的点p a b 可分两步完成 第一步确定a的值 共有6种确定方法 第二步确定b的值 也有6种确定方法 根据分步乘法计数原理 得到平面上的点的个数是6 6 36 2 确定第二象限的点 可分两步完成 第一步确定a 由于a0 所以有2种确定方法 由分步乘法计数原理 得到第二象限的点的个数是3 2 6 答案 1 36 2 6 反思归纳利用分步乘法计数原理解决问题时要注意 1 要按事件发生的过程合理分步 即考虑分步的先后顺序 2 各步中的方法互相依存 缺一不可 只有各步骤都完成才算完成这个事件 3 对完成各步的方法数要准确确定 即时训练 1 设集合a 1 0 1 集合b 0 1 2 3 定义a b x y x a b y a b 则a b中元素的个数是 a 7 b 10 c 25 d 52 2 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有个 用数字作答 解析 1 由题意知本题是一个分步乘法计数原理 因为集合a 1 0 1 集合b 0 1 2 3 所以a b 0 1 a b 1 0 1 2 3 所以x有2种取法 y有5种取法 所以根据分步乘法计数原理得2 5 10 故选b 2 法一用2 3组成四位数共有2 2 2 2 16 个 其中不出现2或不出现3的共2个 因此满足条件的四位数共有16 2 14 个 法二满足条件的四位数可分为三类 第一类含有一个2 三个3 共有4个 第二类含有三个2 一个3共有4个 第三类含有二个2 二个3共有6个 因此满足条件的四位数共有2 4 6 14 个 答案 1 b 2 14 两个原理的综合应用 考点三 例3 1 2015福州调研 某校学生会由高一年级5人 高二年级6人 高三年级4人组成 若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动 有种不同的选法 2 2014许昌模拟 从1 2 3 4 7 9六个数中 任取两个数作对数的底数和真数 则所有不同的对数的值的个数为 3 2014银川模拟 从黄瓜 白菜 油菜 扁豆4种蔬菜品种中选取3种 分别种在不同土质的三块土地上 其中黄瓜必须种植 则不同的种植方法是 解析 1 分三类 高一 高二各一人 共有5 6 30 种 选法 高一 高三各一人 共有5 4 20 种 选法 高二 高三各一人 共有6 4 24 种 选法 由分类加法计数原理 共有30 20 24 74 种 选法 2 当取1时 1只能为真数 此时对数的值为0 不取1时 分两步 第一步 取底数 5种 第二步 取真数 4种 其中log23 log49 log32 log94 log24 log39 log42 log93 所以不同的对数的值的个数为1 5 4 4 17 3 若黄瓜种在第一块土地上 则有3 2 1 6 种 不同种植方法 同理 黄瓜种在第二块 第三块土地上 均有3 2 1 6 种 故不同的种植方法共有6 6 6 18 种 答案 1 74 2 17 3 18 反思归纳用两个计数原理解决计数问题时 关键是明确需要分类还是分步 1 分类要做到 不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加法计数原理求和 得到总数 2 分步要做到 步骤完整 只有完成了所有步骤 才完成任务 根据分步乘法计数原理 把完成每一步的方法数相乘 得到总数 3 对于复杂问题 可同时运用两个计数原理或借助列表 画图的方法来帮助分析 助学微博 1 分类加法和分步乘法计数原理 都是关于做一件事的不同方法的种数的问题 区别在于 分类加法计数原理针对 分类 问题 其中各种方法相互独立 用其中任何一种方法都可以做完这件事 分步乘法计数原理针对 分步 问题 各个步骤相互依存 只有各个步骤都完成了才算完成这件事 2 混合问题一般是先分类再分步 3 分类时标准要明确 做到不重复不遗漏 4 要恰当画出示意图或树状图 使问题的分析更直观 清楚 便于探索规律 多维审题拓思维明思路 应用两个计数原理求解涂色问题 典例 如图所示 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可供使用 则不同的染色方法总数为 审题 视角一 可分为两大步进行 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用分步乘法计数原理即可得出结论 视角二 以s a b c d顺序分步涂色 视角三 按所用颜色种数分类 解析 法一由题设 四棱锥s abcd的顶点s a b所染的颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当s a b染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染2 则d可染3或4或5 有3种染法 若c染4 则d可染3或5 有2种染法 若c染5 则d可染3或4 有2种染法 可见 当s a b已染好时 c d还有7种染法 故不同的染色方法有60 7 420 种 法二以s a b c d顺序分步染色 第一步 s点染色 有5种方法 第二步 a点染色 与s在同一条棱上 有4种方法 第三步 b点染色 与s a分别在同一条棱上 有3种方法 第四步 c点染色 也有3种方法 但考虑到d点与s a c相邻 需要针对a与c是否同色进行分类 当a与c同色时 d点有3种染色方法 当a与c不同色时 因为c与s b也不同色 所以c点有2种染色方法 d点也有2种染色方法 由分步乘法 分类加法计数原理得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420 种 答案 420 点评涂色问题一般有两种方案 1 选择正确的