高考数学一轮复习 12.2极坐标与参数方程课件.ppt

课标版理数 12 2极坐标与参数方程 1 极坐标 1 极坐标系的概念 在平面内取一个定点o 叫做 极点 自极点o引一条射线ox 叫做 极轴 再选定一个长度单位 一个角度单位 通 常取弧度 及其正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 设m是平面内一点 极点o与点m的距离 om 叫做点m的 极径 记为 以极轴ox为始边 射线om为终边的角xom叫做点m的极角 记为 有序数对 叫做点m的极坐标 记为m 一般地 不作特殊说明时 我们认为 0 可取任意实数 2 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点 x轴的正半轴作为极轴 并在两种坐标系中取 相同的长度单位 设m是平面内任意一点 它的直角坐标 极坐标分别为 x y 和 则 3 直线的极坐标方程 若直线过点m 0 0 且极轴与此直线所成的角为 则它的方程为 sin 0sin 0 几个特殊位置的直线的极坐标方程 i 直线过极点 0和 0 ii 直线过点m a 0 且垂直于极轴 cos a iii 直线过点m且平行于极轴 sin b 4 圆的极坐标方程 圆心为m 0 0 半径为r的圆的方程为 2 2 0cos 0 r2 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程 i 圆心位于极点 半径为r r ii 圆心位于m a 0 半径为a 2acos iii 圆心位于m 半径为a 2asin 2 参数方程 1 参数方程的概念一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值 由上述方程组所确定的点 x y 都在这条曲线上 则该方程叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 注意 相对于参数方程而言 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2 常见曲线的参数方程的一般形式 i 经过点p0 x0 y0 倾斜角为 的直线的参数方程为 t为参数 设p是直线上的任一点 则t表示有向线段的数量 ii 圆的参数方程为 为参数 iii 圆锥曲线的参数方程 椭圆 1 a b 0 的参数方程为 为参数 双曲线 1 a 0 b 0 的参数方程为 为参数 抛物线y2 2px的参数方程为 t为参数 1 在平面直角坐标系xoy中 点p的直角坐标为 1 若以原点o为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 则点p的极坐标可以是 a b c d 答案c易知 2 2k k z 2 若直线l的参数方程为 t为参数 则直线l的倾斜角的余弦值为 a b c d 答案b由题意知 直线l的普通方程为4x 3y 10 0 设l的倾斜角为 则tan 由 1 tan2 知cos2 cos 故选b 3 极坐标方程sin2 0 0 表示的图形是 a 两条直线b 两条射线c 圆d 一条直线和一条射线 答案a由sin2 0得 2sin2 0 即2 cos sin 0 化为直角坐标方程为xy 0 表示x 0与y 0两条直线 故选a 4 已知圆的极坐标方程为 2cos 则圆心的直角坐标是 半径为 答案 1 0 1解析由 2 2 cos 得x2 y2 2x 即圆的直角坐标方程为 x 1 2 y2 1 于是圆心坐标为 1 0 半径为1 5 若直线l的参数方程为 t为参数 则直线l的斜率为 答案 3解析 t为参数 消参得普通方程为y 3x 5 故斜率为 3 典例1 1 2014湖南 11 5分 在平面直角坐标系中 倾斜角为的直线l与曲线c 为参数 交于a b两点 且 ab 2 以坐标原点o为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 则直线l的极坐标方程是 2 2014陕西 15c 5分 在极坐标系中 点到直线 sin 1的距离是 答案 1 cos 1 2 1解析 1 曲线c的普通方程为 x 2 2 y 1 2 1 由直线l与曲线c相交所得的弦长 ab 2知 ab为圆的直径 故直线l过圆心 2 1 注意到直线的倾斜角 极坐标方程 为 即斜率为1 从而直线l的普通方程为y x 1 从而其极坐标方程为 sin cos 1 即 cos 1 2 由 sin 1 得 sin cos cos sin 1 直线的直角坐标方程为x y 1 0 又点的直角坐标为 1 点到直线的距离d 1 1 求直线和圆的极坐标方程的关键是将已知条件表示成 和 之间的关系 直线和圆的极坐标方程可以由直角坐标方程转化而来 2 直角坐标方程与极坐标方程的互化 关键要掌握好互化公式 1 1在极坐标系中 已知圆c的圆心为c 半径r 求圆c的极坐标方程 解析设p 是圆上的任意一点 则pc r 由余弦定理 得 2 22 2 2 cos 5 所以 2 4 cos 1 0为圆c的极坐标方程 1 2 1 化直角坐标方程x2 y2 8x 0为极坐标方程 2 化极坐标方程 6cos为直角坐标方程 解析 1 将代入x2 y2 8x 0得 2cos2 2sin2 8 cos 0 即 2 8 cos 0 极坐标方程为 8cos 2 因为 6cos 所以 6 即 2 3 cos 3 sin 所以x2 y2 3x 3y 即x2 y2 3x 3y 0 直角坐标方程为x2 y2 3x 3y 0 典例2 2014课标 23 10分 已知曲线c 1 直线l t为参数 1 写出曲线c的参数方程 直线l的普通方程 2 过曲线c上任意一点p作与l夹角为30 的直线 交l于点a 求 pa 的最大值与最小值 解析 1 曲线c的参数方程为 为参数 直线l的普通方程为2x y 6 0 2 曲线c上任意一点p 2cos 3sin 到l的距离为d 4cos 3sin 6 参数方程 则 pa 5sin 6 其中 为锐角 且tan 当sin 1时 pa 取得最大值 最大值为 当sin 1时 pa 取得最小值 最小值为 1 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数 常用的消参方法有代入消去法 加减消去法 恒等式 三角的或代数的 消去法 2 在将曲线的参数方程化为普通方程时 不仅仅是要把参数消去 还要注意x y的取值范围 即在消去