高考数学一轮复习 9.2圆的方程及直线与圆课件.ppt

课标版理数 9 2圆的方程及直线与圆 圆与圆的位置关系 1 圆的定义 平面内与定点距离等于定长的点的集合 轨迹 叫做圆 定点就是圆心 定长就是半径 2 圆的标准方程 圆心为 a b 半径为r的圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 3 1 方程x2 y2 dx ey f 0可变形为 故有a 当 d2 e2 4f 0时 方程表示圆 圆心为 半径为 b 当d2 e2 4f 0时 方程表示点 c 当d2 e2 4f 0时 方程不表示任何图形 2 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径 而一般方程突出了方程形式的特点 x2和y2的系数相同 不含xy这样的二次项 3 a c 0且b 0是二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的必要不充分条件 4 直线与圆的位置关系 5 圆与圆的位置关系 o1 o2的半径分别为r1 r2 d o1o2 6 圆的切线方程问题 1 圆的方程为x2 y2 r2 r 0 点m x0 y0 若点m在 o上 则过m的切线方程为x0 x y0y r2 若点m在 o外 则直线x0 x y0y r2与 o的位置关系是相交 若点m在 o内 则直线x0 x y0y r2与 o的位置关系是相离 2 过圆x2 y2 dx ey f 0外一点m x0 y0 引切线 切点为t 切线长公式为 mt 1 若方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 则a的取值范围是 a ab 0 即3a2 4a 4 0 2 a 2 若直线x y 2被圆 x a 2 y2 4所截得的弦长为2 则实数a的值为 a 1或b 1或3c 2或6d 0或4答案d圆心 a 0 到直线x y 2的距离d 则 22 a 0或4 故选d 3 经过点p 2 3 作圆 x 1 2 y2 25的弦ab 使点p为弦ab的中点 则弦ab所在直线的方程为 a x y 5 0b x y 5 0c x y 5 0d x y 5 0答案a设圆心为c 则ab垂直于cp 又c 1 0 p 2 3 则kcp 1 故kab 1 ab x y 5 0 故选a 4 圆x2 2x y2 3 0的圆心到直线x y 3 0的距离d 答案1解析由题意得圆心为 1 0 故d 1 5 已知直线5x 12y m 0与圆x2 2x y2 0相切 则m 答案8或 18解析由圆x2 2x y2 0得 x 1 2 y2 1 则圆心为 1 0 半径r 1 由于直线和圆相切 则 1 得m 8或 18 典例1 2014陕西 12 5分 若圆c的半径为1 其圆心与点 1 0 关于直线y x对称 则圆c的标准方程为 答案x2 y 1 2 1解析根据题意得点 1 0 关于直线y x对称的点 0 1 为圆心 又半径r 1 所以圆c的标准方程为x2 y 1 2 1 求圆的方程 1 常见的求圆的方程的方法有两种 一是利用圆的几何特征 求出圆心坐标和半径 写出圆的标准方程 二是利用待定系数法 它的应用关键是根据已知条件选择标准方程还是一般方程 2 求圆的方程时 如果给定条件易求圆心坐标和半径 则选用标准方程求解 如果所给条件与圆心 半径关系不密切或涉及圆上多点 则常选用一般方程求解 1 1求经过点a 5 2 b 3 2 且圆心在直线2x y 3 0上的圆的方程 解析解法一 圆过a 5 2 b 3 2 两点 圆心一定在线段ab的垂直平分线上 易知线段ab的垂直平分线方程为y x 4 设所求圆的圆心坐标为c a b 则有 解得 c 2 1 r ca 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 解法二 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 则解得 圆的方程为 x 2 2 y 1 2 10 解法三 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则解得d 4 e 2 f 5 所求圆的方程为x2 y2 4x 2y 5 0 典例2 2014江苏 9 5分 在平面直角坐标系xoy中 直线x 2y 3 0被圆 x 2 2 y 1 2 4截得的弦长为 答案解析易知圆心 2 1 r 2 故圆心到直线的距离d 弦长为2 2 圆的弦长 弦中点问题 1 有关圆的弦长的求法已知直线的斜率为k 直线与圆c相交于a x1 y1 b x2 y2 两点 点c到l的距离为d 圆的半径为r 代数法 弦长 ab x2 x1 几何法 弦长 ab 2 2 有关弦的中点问题圆心与弦的中点连线和弦所在直线垂直 利用这条性质可确定某些等量关系 2 1已知点p 0 5 及圆c x2 y2 4x 12y 24 0 1 若直线l过p且被圆c截得的线段长为4 求l的方程 2 求过p点的圆c的弦的中点的轨迹方程 解析 1 解法一 如图所示 ab 4 d是ab的中点 cd ab ad 2 x2 y2 4x 12y 24 0可化为 x 2 2 y 6 2 16 圆心c 2 6 半径r 4 故ac 4 在rt acd中 可得cd 2 当直线l的斜率存在时 设其斜率为k 则直线的方程为y 5 kx 即kx y 5 0 由点到直线的距离公式得 2 解得k 此时直线l的方程为3x 4y 20 0 当直线l的斜率不存在时 其方程为x 0 由y2 12y 24 0 解得y1 6 2 y2 6 2 y2 y1 4 故x 0满足题意 所求直线的方程为3x 4y 20 0或x 0 解法二 当直线l的斜率存在时 设其斜率为k 则直线的方程为y 5 kx 即y kx 5 联立直线与圆的方程得消去y 得 1 k2 x2 4 2k x 11 0 设方程 的两根分别为x1 x2 由根与系数的关系得 由弦长公式得 x1 x2 4 将 式代入 解得k 此时直线l的方程为3x 4y 20 0 又可知直线l的斜率不存在时也满足题意 此时直线l的方程为x 0 所求直线的方程为x 0或3x 4y 20 0 2 设过p点的圆c的弦的中点为e x y 则ce pe 即 0 x 2 y 6 x y 5 0 化简得所求轨迹方程为x2 y2 2x 11y 30 0 典例3 2014江西 9 5分 在平面直角坐标系中 a b分别是x轴和y轴上的动点 若以ab为直径的圆c与直线2x y 4 0相切 则圆c面积的最小值为 a b c 6 2 d 答案a解析由题意得以ab为直径的圆c过原点o 圆心c为ab的中点 设d为切点 要使圆c的面积最小 只需圆的半径最短 也只需oc cd最小 其最小值为oe 过原点o作直线2x y 4 0的垂线 垂足为e 的长度 由点到直线的距离公式得oe 圆c面积的最小值为 故选a 圆的切线问题 求过一点的圆的切线方程 首先要判断此点是否在圆上 若在圆上 该点为切点 若不在圆上 切线应该有两条 设切线的点斜式方程 用待定系数法求解 注意如果只解出一条 就要检验是否有斜率不存在的情况 3 1已知点a 1 a 圆x2 y2 4 1 若过点a的圆的切线只有一条 求a的值及切线方程 2 若过点a且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切 求a的值及切线方程 解析 1 由于过点a的圆的切线只有一条 则点a在圆上 故12 a2 4 a 当a 时 a 1 切线方程